解三角形的中线、垂线、角平分线问题4大题型.docx

解三角形的中线.垂线,角平分线问题4大题型解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增加中线、垂线、角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考中出现的频率很高。这部分内容一般需要综合使用正弦定理和余弦定理。考题难度会稍大。J满分技巧一、中线推导过程：在AABD中,CosB=AB2-VBD2-AD22ABBD1、中线长定理：在AA8C中，4。是边BC上的中线,贝(Mb2+人。2=2(BD2+D2)4B2+bc2tc22ABBC联立两个方程可彳导：A82+AC2=2(8。2+AD2y)【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中2、向量法：D2=(b2÷c2+2bcCOSA)推导过程：由而=(AB+AC),则前2=X荏+硝2=浑2+济2+g西园COS4所以前2=1(/)2+¢2+2bcCOSA)4【点睛】适用于已知中线求面积(已知詈的值也适用).二、角平分线如图,在AABC中，AD平分4B/C,角4B,C所对的边分别问Q,b,c1、利用角度的倍数关系：乙BAC=2BAD=2CADc=推导过程：在中ABBDsinZADBSinZBAD在ACO中，ACCDsinZADCsinZCADABBDAC-CD2、内角平分线定理：4。为AABC的内角乙BAC的平分线该结论也可以由两三角形面积之比得证,即>=M=券>acdACC1f说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。3、等面积法：因为S2UBO+SkACD=1ABCI所以TcADsin?+T匕ADsinbcsinA,所以(b+c)AD=2bcCoSs整理的：4。=(角平分线长公式)三、垂线1、%3分别为MBC边4,b,c上的高，则A.:o：¼=：-=：-:abcsinAsinBsinC2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：(1)产生直角三角形；(2)与三角形的面积相关。热点题型解读题型1与中线有关的解三角形解三角形的中线、垂线、角平分线问题题型2与垂线有关的解三角形题型3与角平分线有关的解三角形题型4其他等分点型解三角形【题型1与中线有关的解三角形】【例1】(2023.河南开封.开封高中校考模拟预测)在锐角1BC中,BC=4,sinB+sinC=2sin,则中线4)的取值范围是()A.(2,2JB.2,13)C.23,4)D,23,3)【变式1-1(2023秋辽宁葫芦岛高三统考期末)在/BC中，角A,8,C所对的边分别为c1,b,c1且COS8-4.cZc(1)求C;(2)已知6=2,设。为边AB的中点,若8=",求。.【变式1-2(2023春四川成都高三校联考期末)在斜三角形ABC中，内角A,B1C的对边分别为C1,b1Ct日满足siA+4SinCeos?A=Z?SinB+CSinC.(1)求角A的大小；(2)若4=2,且BC上的中线AO长为6,求斜三角形"C的面积.【变式1-3(2023春湖南高三校联考阶段练习)在)BC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,满足以si/B-3cos2B)=-a(a+b)且SinC=Sin23.(1)求角B的大小；(2)若/BC的面积为，求AC边上的中线长.【变式1-4(2023秋山西太原高三统考阶段练习)如图,在/8C中，已知AB=3,AC=6,ZBAC=pSC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P.(1)求8C的长度；(2)求的余弦值.【题型2与垂线有关的解三角形】例2(2023春河南高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习)在锐角三角形BC中,3=60。，AB=I,则AB边上的高的取值范围是()A停)B.停用C.俘可D.隹可【变式21】(2023春四川资阳高三四川省乐至中学校考开学考试)在A8C中，内角A、B、。满足$而4=5”8+$由2。-应$而屈11。.(1)求A；(2)若AB边上的高等于;AB,求COSC.【变式2-2】(2023.全国高三专题练习)已知_ABC的内角A,B,C的对边分别若Z>cos"=CSin8,U2(1)求角C；(2)若c=6,求BC边上的高的取值范围.【变式2-3(2023秋江苏南通高三江苏省如东高级中学校考阶段练习)在在下面的横线上，并加以解答在1BC中，角A,8,C的对边分别为Jb,C月若4=2,c=4,AB边上的中垂线交AC于。点，求3。的长.【变式2-4(2023秋.湖北.高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习)已知二ABC的内角A8,C满足CoS28+cos?C-COS2A=I-SinBsinC.(1)求角A；(2)若BC=6,设A”是ASC中BC边上的高，求/汨的最大值.【题型3与角平分线有关的解三角形】例3(2023全国高三专题练习)在“BC中,角A,B,。所对的边分别为a,bjc从中选取两个作为条件补充在下面的问题中并解答.COSA=一*;,ABC的面积是率；©c=3.问题：已知角A为钝角，b=5(1)求/BC外接圆的面积；(2)AD为角A的平分线，。在BC上，求AO的长.【变式3-1(2023.山西晋中.统考二模)ZABC的内角A,B,C的对边分别为a,(1)求aABC的外接圆半径；(2)若NB的平分线8。交AC于点。，且AD=6，求aABC的面积.【变式3-2(2023福建厦门统考二模)A8C的内角4，氏。的对边分别为区*已知加-C=2Z?COSC.(1)求3；(2)4的角平分线与C的角平分线相交于点O,AD=3fCD=5f求AC和肘).【变式3-3】(2023浙江模拟预测)已知锐角,ABC1a,b1C分别是角A1B1C的对边,且2CsC=b-a.(1)证明：C=2A；(2)若8为/ACB的角平分线，交AB于。点，且CD=Ascd二亚.求。的值.【变式3-4】(2023春广西柳州高三统考阶段练习)已知/BC的内角A1B1C(1)求SinA；(2)若ABC的面积为g,求内角A的角平分线AO长的最大值.【题型4其他等分点型解三角形】【例4】(2023春重庆沙坪坝高三重庆一中校考阶段练习)在/BC中，。为BC上的中点，满足/班。+AC8=5(1)证明：为等腰三角形或直角三角形；(2)若角A为锐角，E为边AC上一点，AE=2ECE=2,8C=褥，求IBC的面积.【变式41】(2023河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习)记.MC的内角A,B,C的对边分别为,A,c,已知(cos3+cosC)+(Z?+C)CoS(B+C)=0.求人；(2)若D为线段BC延长线上的一点，S.B1D,BD=3CD,求sin48.【变式4-2(2023.河南郑州.统考一模)在AABC中，内角A,5,C所对的边分别是"b,C,曰力+c=assB+JJasinB.(1)求角A的大小；(2)若。是BC边上一点，且8=2以，若AD=2,求面积的最大值.【变式43】(2023春江西高三校联考阶段练习)在ABC中，已知>(sin2A+sin2B-sin2C)=2sinAsinBsinC.(1)求/C；(2)若。是AB边上的一点，且8D=2ZM,C*2,求,ABC面积的最大值.【变式4-4】(2023春湖北高三校联考阶段练习)在锐角JABC中,>31+cos2A)_y3cosB-2sinC=.sin2ASinB(1)求A；(2)若,ABC的面积为有，点。在线段AB上,且AD=2/，求8的最小值.(建议用时：60分钟)1.(2023春河北石家庄高三石家庄二中校考阶段练习)已知一ABC内角43,C所对的边分别为岫，。，面积为26,且G(+c2-*=2cSinB,求：(1)求角A的大小；(2)求8C边中线AD长的最小值.2.(2023春河南洛阳高三新安县第一高级中学校考开学考试)设.ABC的内角(1)求角A的大小；(2)若黑=孝，BC边上的中线AM=亚，求“C的面积.3.(2023秋浙江嘉兴高三统考期末)记，他。的内角48,。的对边分别为也。，已知三角形S诙=¥(+/_/),角A的平分线AD交8C边于点。(1)证明：AD=维；b+c(2)若BD=2DC,AD=4小,求二ABC的周长4 .(2023.全国.本溪高中校联考模拟预测)“BC中，角A,3,C所对的边分别,b,c,AC=4,BC=2,AD=A(0<<1).(1)4CB=120。，八；时，求Cz)的长度；(2)若C。为角C的平分线，且8=2,求ABC的面积.5 .(2023辽宁沈阳统考一模)在ABC中，角A、0、C的对边分别为、b、C.已知A+WcosA=O.(1)求角A的大小；(2)给出以下三个条件：=46/=4j(2)-2+c2+10Z.=0;SAeC=I5J.若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求SinB的值;(ii)/BAC的角平分线交BC于点。，求AD的长.6.(2023秋江西赣1朴高三统考期末)在JBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足cos8+sin(竽)=0.(1)求4的值；(2)若"与BC边上的高之比为3：5,且/)=7,求C的面积.7 .(2023春浙江绍兴高三统考开学考试)已知二ABC的内角儿脱。的对边分别为a、b、C且8528-852。=5111/4回114一0出8).(1)求角C的大小；(2)若3AB于D,8=6,求退BC的面积的最小值.8 .(2023.湖北统考模拟预测)记,4?C的内角A1B1C的对边分别为a,h,c1已知%cosC=2+c.(1)求8；(2)设。=9,若点M是边AC上一点,2AM=MC,且ZMAB=ZMBA,求ABMC的面积.9.(2023.重庆.统考模拟预测)在JBe中，,。，c分别是/BC的内角A1B1C所对的边，且.，尸一厂.尸.sinA+snCS1nB-S1nC(1)求角A的大小；(2)记:ABC的面积为S,若,求回的最小值.10.(2023湖南湖南师大附中校联考模拟预测)已知她，c分别为三角形ABC三个内角AIC的对边,且有2sin(c+=等.(1)求角A；(2)若。为边BC上一点，且2C£>=AD=BfJ,求SinC参考答案【题型1与中线有关的解三角形】例1(2023.河南开封.开封高中校考模拟预测)在锐角3BC中zBC=4,sinB+sinC=2sinA,则中线AD的取值范围是()A.(2,23B.2,13)C,23,4)D.23,13)【答案】D【解析】令1BC的内角4氏。所对边分别为,也c,由正弦定理及Sin8+sinC=2sin4得b+c=2o=8,即c=8-b,锐角.ABC中，COSA=>0.BPh2+c2-2>O,同理2bca2+b2-c2>0,c2+a2-b2>0,从+(8-力2-16>0于是16+/-(8-。)2>0,解