第16讲 等差等比相映成趣生成数列精妙绝伦.docx
第16讲等差等比相映成趣，生成数列精妙绝伦典型例题【例1】已知等差数列4的公差为2,前项和为S”,且5、S2、Si成等比数列.(1)求数列%的通项公式；M(2)令bn=(-1)n,求数列bn的前项和Tn.【例2】设等差数列的的公差为d,点(4也)在函数f(x)=2的图像上("N)若q=-2,点(仆,44)在函数/(/)=2的图像上,求数列q的前项和5；(2)q=1,函数/*)的图像在点(,4)处的切线在X轴上的截距为2-1,求数列<M>nn.的前n项和Tn.强化训练1 .设q、。2、/、%是各项为正数且公差为d(dw°)的等差数列.求证24、2%、2%、24依次成等比数列；是否存在卬乙使得q、W、嬉、依次构成等比数歹U?并说明理由.2 .已知数列J的首项q=相,其前k项和为S”,且满足S”S-=31+2”，若对任意的"N',与。+1恒成立,则相的取值范围是3 .等比数列4的前项和为S”,现已知S3dWS6成等差数列.求证:%d术七成等差数列,由此猜想还能得到什么结论?并说明理由.解答过程【例1】已知等差数列qj的公差为2,前项和为S”,且S1、S2、St成等比数列.(1)求数列4的通项公式；4/7(2)令”=(-1)w-',求数列的前n项和Tn.2×I4x3【解析】(1)S=4，$2=24+=><2=24+2,84=44+2=44+12,由题意得(2q+2)2=4(4r1+12),解得a,=.an=2n-(2)【解法1(归纳一猜想一证明)=(-D,-'X(1+与=1+!=1+(T)IX-1-I3j32×1+1(=4+%=(-1尸1+；)+(-1广，；+1=_=1+(-1产1X2x2+1T3=h+b2÷=1-(-1)3-÷-(57J=÷-=+(-i)3",×!72×3+1=b.+a+by+b.=1÷_÷(-1)411I=1=1+(-I)41X123471k79j92×4+1于是猜想得出Tt1=1+(-1)-'.2+1下面用数学归纳法证明：(i)当=1时,由上述推理可知猜想成立.(ii)假设当"=MkwN*)时猜想成立，即=+(-1-1_2k+成立，而4+1=(-1)+(2&+12k+3,于是当=&+1时,*尸卜+严H2(Z+1)+1112A+2A+3+1=+¾+1=1+(-i)ft,一+(-1/+=1+(T)I川a*+12k+(2Z+12k+3)(2Z+1也就是说当九=攵+1时猜想也成立.综合(i)和(ii)可知对任意的N,猜想都成立,即7；=1+(-1)w,2n+4m【解法2=(-1)m-1=(-1,4%当"为偶数时，7；4(2-1)(2«+1)1n(=(-1112/?-12+1I+35)12n-32n-+2n-2n+1>22n+12+1当为奇数时，（=1+.12n+2=1+=2h+12n+22h+12、2+12+1,n为奇数,为偶数4【解法3=(-ir,=(-ir,2¾+当为偶数时,7；=21-43)2-32m-1-In<3512(n-2)+2(-1)_2n-32n-3,2n2n-2+=2n+12n+122+111+232/71J1212+1,2n-12n+1；÷61-1(57J+2(1I)2-2n-2n+)1)+3_2-12/1-124+33,In2/?+1当为奇数时+2一321+22一12+1,46、+55)=2-2+2-2+-2+2-68+772n2h+14655)68、+77)22+22+-+2-2(n-1)2(-2)I2(-1)_2-32-3In_2n+2.2n+1-2+1,1212n+22+1'2+2n-In2?+1空2,n为奇数综上得2n+1为偶数2+1【例2】设等差数列“的公差为d,点（,，）在函数/（幻=2'的图像上6n）.若q=-2,点（4,4）在函数/（X）=2r的图像上,求数列4的前项和Sn；4=1,函数/3的图像在点（生也）处的切线在X轴上的截距为2-七,求数列%,的前项和【解析】（1）:由已知,4=2。也=2。=4",有24=4x27=2”厂2,解得d=%-%=2.S11=na+Dc1-2n+nn1)=w2-3?(2)解:函数/(x)=2'的图像在点(生也)处的切线方程为y-2"2=(2”n2)(x)它在X轴上的截距为a、,由题意,=2.In2-In2In2解得2=2,d=%-q=1从而也=2",即一="x=.v22"下面探求1的前项和raz._12377-1n_123n【解法1】71=2+2+2+-F+F,2=T+2+F+FCTTII11"c12n+,-n-2因此=1+齐+产一矛=2一产一F=2w+,-n-22解法2由/=x(g=5+1)(g)_(+2)x(gnYfYffYfYnCII2JJ+1jj+N+I2J+2)设g()=+d+”,则g，(X)=I+2+HI.-n+,当XH1且X0时,g(x)=,此时1-x强化训练1.设q、%、%是各项为正数且公差为d(dw()的等差数列.(1)求证2)、2%、2的、2%依次成等比数列；(2)是否存在q、d,使得q、媳、依次构成等比数歹U?并说明理由.【解析】(1)解由题意知4=%。2=4+d,a3=a+2J,a4=6+3d,2“+d2"324i+242"s2°+3d故二丁二2。=2”,=2”又2"工O且2"#O,则2f1',2%,24,24是以2a为首项,2“为公比的等比数列.【解法1】假设存在满足条件的4、d,则4=4,W=(4+d)2=(q+2d)a：=(4+3d)4若满足题意,则须使H=a*，即H=吗，1%=药。41%=4圆#+小(%+2”化简得(d1+2J)'=(a,+J)(a1+3J),(2)2礴+6；/+4“3一/二0<ad+3a1d2+d3=0mo,故Ff+6吐?胸-八。不妨设W¢+34/+/=0d则有+6f+4rT=0(4)由式得r-I.2+3z+1=0,代入式得2(-3-1)÷6r2÷4-1=0.化简得2"1=0,即Z=12易见r=1不满足式,故方程组无解,即不存在满足条件的%、d.2【解法2】假设存在满足条件的外d,则必有成立.不妨设4=a-d,a2=a,a3=+d,而知q=a-d>OzWa>d,从而tz4=(a-d)(a+dp,即/=一/)(笳+2加+/)=4+2a3d+后屋一a2d2-2ad3-dA.整理得2/d-Iad3-a=O,.dHO,故设，=0d则2/一211=0,另外,还需有a；=a；a；,即W=a2a1,(a+d)3=a(a+2d)2.整理得a2d+ad2-d3=0,仿照上面的步骤得“”1=0.由方程可知t=7季,代入方程,无解,因此不满足题意.综上所述,不存在满足条件的4、d.2.已知数列(的首项4二机,其前项和为S”,且满足5+S向=3/+2%若对任意的“GN”,4<。向恒成立,则相的取值范围是【解析】【解法1】由Sn+Sn+1=32+2，4=z,令=1,则ai+ax+a2=5,a2=5-2m,令=2,则q+生+4+/+6=16,=6÷2?.当几.2时,有S+St=351)2+2(1)=324+1.二.%+an=6-1，。“+2+%=6+5,an+2-a1i=6.偶数项是以外=5-2机为首项,以6为公差的等差数列.即an=5-2机-1)x6=6t1一2机；除第一项以外的奇数项是以外=6+2机为首项，以6为公差的等差数列，即a2n+1=6+2，z?+(-1)x6=6+2ma<a2,(m<5-2m,:an<an+1,a211<a211+,:即<6一I-2mv6+2mIA+i<%”+2，卜+2m<6(n+1)-1-2m解得，TTJ【解法2】由己知a=m,Sn+Sn+1=32+2,得出=5-2/w,当九.2时,有，s.+s,E,+S,=31+2,=32-4+1ai<a2<an,m<5-2man<1+1解得mj_54,44+4+=6"-VMJ/-"+)+*-(a？+).4一3+2是以%-6+2=1-2机为首项,以4=T为公比的等比数列.m,n=1,(I)"“。_2?)+3-2,/7.2'(-1)3(1-2w)+3n-5<(-1)2(1-2m)+3n-2一.(一1)”-2(1-2w)+3n-2<(-1),(1-2w)+3n+13.等比数列4的前项和为S”,现已知S3d峭$6成等差数列.求证:。2依琛为成等差数列,由此猜想还能得到什么结论?并说明理由.【解析】【解法1】VS3.S9、&成等差数列,.S3+S6=2S9.a.q是等比数列,其前项和为szi,.40-V)i-q(I-/)(j6)-F=N1-q1-q约分化简得2-=2-2<79,+=2",.q+/=2q7,两边同乘以4得qq+q=2q,故4+a5=2aii.*.a2>必、成等差数列.由此,对上述命题可以有如下推广性结论：等比数列也的前n项和为5(q1),若SqS卅、Sn成等差数列,则akatn+va,1+x成等差数列,证明过程如下：S+S“=2S,(a),.”+，=2中工-q-q-q.2-qk-q,=2-2qn,.qk+qn=2q"；两边同乘以0q'得。闯小(g*+q,)=2a1q-1-qm.qgg+=24尸即"+j=2%.%，一，。"”成等差数列J/+"+WT=24+,即%÷4+产2向%14+1S+1成等差数列4(1-g')4(1-4,)4(1-)【解法2】VS3+56=259,-£Y”)-q-q-q约分化简得2-_。6=2_2d,./+/=2/,1+/=21,号d=x.22-X-I=0,解得X=I或X=-g,
