第24讲 视角不同殊途同归数式图形相映成辉.docx

第24讲视角不同殊途同归，数式图形相映成辉典型例题【例1己知/(x)是定义在区间(o,E)上以2为周期的函数，对AZ,用人表示区间(201,2"+1,已知当Z0时/(x)=x2.求/(x)在Ik上的解析表达式；对自然数3求集合“4=H使方程/(x)=Or在(上取两个不相等的实数根.例2如图244所示,在RtVABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,Iiuuuu1umimu向量P。与BC的夹角J取何值时,BPCQ的值最大?并求出这个最大值.【例31在平面直角坐标系Xoy.中,设定点4(,),P是函数y=1(x>O)图像上一动点,若点P、A之间的最短距离为2日,则满足条件的实数。的所有值为一.强化训练1 .已知函数/(x)=x2%一一2有零点APX2,函数g(x)=Y一(+1)%一2有零点工3，工4,且曰X儿V%,则实数。的取值范围是().A.f2B.f,0jC.(2,0)D.(1,+e)2 .在平面直角坐标系中，已知A(1O),8(0,T),P是曲线y=JI二厂上的一个动点,则UU1UU8P8A的取值范围是.3 .在VABo儿角4,B,C所对的边分别为,"c,已知/A=上,=6c,则-=3h解答过程【例1已知/(x)是定义在区间(-00,48)上以2为周期的函数，对ZZ,用，表示区间(2左一1,2Z+1,已知当xe1o时f(x)=x2.(1)求/(x)在Ik上的解析表达式；(2)对自然数左，求集合<t=使方程/。)=依在人上取两个不相等的实数根.【解析】(1)/2是/(x)的周期，当kZ时，2人也是/(x)的周期，又当x4时,x-2k)0,.f(x)=fx-2k)=(x-2k)2,女Z,当XW1k时，F(X)=(X-2女尸.(2)【解法1】(转化为求直线y=斜率。的取值范围)方程/(x)=",即-22)2=ar有两个不等实根，(2女一1,2女+1次N.令M=(X-2%)2,4,kN,%=6,如图24-1所示,在同一坐标系中分别作出必，必的图像，必的图像是过原点，斜率为。的直线,方程有两个不等实根的充要条件是两图像有两个不同交点,由图像24-1可知,当0<4,又(AN)时两图像有两个不同交点.从而,原方程有两个不等实根时,M*=0<&.图24-1【解法2】(分离变量，将方程转化为函数模型，寻求问题的几何意义)Ab2X2-(4k+a)x+4k2=O<a=x+4k,令Ab2丫=4心")=丹;一4女,1(2"1,22+1,作这两个函数的图像如图24-2所示,图像有两个不同交点的充要条件是2)Jx-4k<a,min(2k-1),(2k+1)j=(2k+1),SPO<,Mk=<c0<aj->.【解法3】(用根的分布理论求解)令"x)=x2-(4Z+)尤+4,则问题转化为了()的图像在区间(2Z-1,2Z+1上与X轴有两个不同的交点(如图24-3所示).其充要条件是c,.4k+a-，2k-1<,2k+12解得O<4,2k+i>0,”21)>0,"2%+1).0,.=3O<%【例2】如图244所示,在RtVA5C中,已知BC=若长为2。的线段尸。以点A为中点,UUUUUU1U1IIftJU向量PQ与BC的夹角。取何值时,BPCQ的值最大?并求出这个最大值.【解析】【解法1】II11IUUUII1IUII1H1UUUIK1UUUUUUII1M1U1IIUI11JIUQABJ_AC,.ABAC=O,=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-ACuururn/uin.uxzuuuxUunUiniUunuunuuuum.BPCQ=AP-ABAaQ-AC=APAQ-APAC-ABAQ+UunuuuuunuuuniuunuunzunxABAC=-d1-APAC+ABAP=-a1-AP(AB-AC=-a1+-C1UUUUUPQ-BC=-cr+/cosO,U1IUUUU1UU1UI1U故当8se=1,即e=O(PQ和3C的方向相同)时,3PCQ最大,其最大值为O.【解法2以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立.如图24-5所示的平面直角坐标系.设IABI=C,Aq=O则A(0,0),6(c,0),C(0,b)月PQ=2,5C=.设点P的坐标为(不)则(-x,-y),U11U11U11UUI1UUBP=(x-c9yCQ=(-xi-y-bBC=(-cbPQ=(-2xi-2y).UUUUU.BPC=(x-c)(-x)+y(-y-Z7)=-(x2+y1)+cx-by,UUUUUUC_PQBCcx-by八2nAQcos=mtinn=,s.cx-by=aCQs,:.BPCQ=-a+tzcosPQBCaU11UU1UUUUUU故当8SO=1,即e=O(P。和BC方向相同)时,8尸。最大淇最大值为0.例3在平面直角坐标系M)y.中,设定点A(a,Q),尸是函数y=g*>O)图像上一动点,若点P、A之间的最短距离为2近,则满足条件的实数的所有值为一.【解析】【解法H(运用两点距离公式并通过换元转化为二次函数区间上的最值问题)设P卜,(x>0),则PA2=(x-a)2+=X2HZ-2tzXH+2=(x+-2ax+2/-2.令tx-,得Xx)X)x)X.2JPAI2=r2-Iat÷22-2=(r-)2+2-2.由IPA1取得最小值，当a<2时，IPA12=2?4+2/-2=(2)2,解得¢/=-1;当4.2时,|PAI2=/-2=(2&)2,解得。=加,所以实数。的所有值为一1,加.【解法2(构造图形,转化为动圆与双曲线一支相切,利用判别式求解)由题意可知,若v,则=一1满足题意；若a>0,则圆(X-a)2+(y-)2=8与y=(%>0)相切，联立方程组，消去y得X2c212。2a.x2<ZX+。HFd=8.Jr%(2(1A即x+-2ax÷-+2/-10=0.VX)X)令=0,得(2)2-4(2。2_10)=0,解得a=-JO.此时方程的解为x=M土娓满足题意.综上,实数Q的所有值为-1,10.强化训练1.已知函数/(x)=x2无一一2有零点,函数g(x)=f(+1)x-2有零点x3,z，且看<M<七</，则实数。的取值范围是().a(-1-2b(-(,o)C.(-2,0)D.(1+(x>)【解析】【解法1】由f(x)=x2-x-a-2=0Jx1-x=a+2.X2-O77由8(幻=/一(。+1)工-2=(),可得。+1=x一一,则。+2=%+1分别作出函XXX7数y=/一苍、2=工一一+1的图像,如答图241所示.X可知交点为A(-1,2)、8(2,2)、C(1,0).则直线y=a+2与M=X2一元的图像交点的横坐2标分别为、x),与=%-+1的图像交点的横坐标为七、七，X可使当电，结合图像可知0<+2v2,解得-2<<0,【解法2】由/()=-x-2=0,Wa=2-x-2.由g(x)=f-(。+1)%-2=0,可得Cix=X2-X-2在平面直角坐标系内作出函数y=/-X-2、y=,y=办的图像如答图24-2所示,曲线旷=/一/一2与直线、=。的交点的横坐标分别为王、/，与直线y=奴的交点的横坐标分别为工3，七要使工3<%<ZV2,结合图像可知。°，而当。=一2时，直线y=与y=c相交于点(1,-2),不满足条件,一2V<0,【解法3】由/(x)=2-x-o-2=0可得+2=f-X=MX-1).由g(x)=/(+1)x2=0可得+2=Y-(a+)x+a=(x-a)(x-1).2 作出函数y=Mx-D与%=-)(x-1)的图像，它们与直线y=Q+2的交点的横坐标即为对应的零点，由于七大%工2，结合答图24-3可知，。0且+20,解得2VaV0,【答案】C.3 .在平面直角坐标系中，己知4(1,0),3(0,-1),P是曲线y=JTT上的一个动点,则UU1UUBPBA的取值范围是.【解析】【解法1设P(cos,sin0)(照IB"),则BA=(1,1),BP=(cos&sin6+1),因此8PBA=cos6+sin0+1=Vsin夕+()+10系砂乃,.0领sin(+(+12+1故3P84的取值范围是0,0+1.【解法2】设P(X,y),一掇Ik1,则丽丽=x+y+1.则(x+y)2=f+1一丁+271-x2(+x2+1-x2=2,.x+y&.当且仅当X=Ji2,即X=当时等号成立.当X=-I时,x+y=-1,.Ok+y+1JE+1,即8P84的取值范围是0,+1【解法3】如答图24-4所示,由BPBA=BPBAcosZPBA,BA=2知BP84的最大值就是BP在BA上投影的最大值,只要作BA的垂线且与半圆相切,即图中的直线PM.设直线PM的方程为y=-x+b,圆心到直线的距离A（BPBA）max=3P84=q应+I）x0=应+1当点P位于处时,直线P力恰与BA垂直,数量积最小,最小值为O.综上所述,BPBA的取值范围是O,2+1.4 .VABC中,角AB,C所对的边分别为a,b,c,已知/A=,a=j3c,则=.3b【解析】【解法1】（利用正弦定理，边化为角求解）.由=5c,NA二生，由正弦定理得3SinA=sinC=也,得SinC=1,又由于NC是三角形内角,NC=工.226由NA=红得NB=工,从而由正弦定理得£=孚C=I36bsinB【解法2】（利用余弦定理,角化为边求解）由余弦定理和=Gc,得cosA='+d=b-2c2=一J_.化简得+儿._2c2=0,2bc2bc2得（2+22=0,解得2=1或2=一2（舍去）.从而有£=1.c）cccb【解法3】（利用ABC的面积两种不同算法,结合条件求解）如答图24-5所示,过点A作BC的垂线AO,则A3C的面积通过算两次得到如下方程组解得AO=1A2则A(0,0),3(c,0),C-1,=。，又2）由两点间距离公式可得3C=又由AC=力,NAOC=得NACB=，又由NBAC=,得NA8C=-.从而可得26368=g即£=1.b【解法4】（建立平面直角坐标系,运用解析法求解）根据题意，以点A为原点，48所在直线为X轴建立如答图24-6所示平面直角坐标系.27F由题意可设A3=C,BC=4,NCAB=3由于=3c.得从+/2/=0,即（2）+22=0.解得2=1或2=一2（舍去）,从而有2=CCC【解法5】（运用向量运算构造2的一元二次方程求解）C由BC=Ac-AB,得IBcT=IAC一AB2=IAC12_2ACy45+1ABF又由IB