第04讲 函数性质四方联结互相渗透八面生风.docx

第04讲函数性质四方联结，互相渗透八面生风典型例题【例1】已知函数f(x)=x2+nc-f若对于任意xm,m+1.都有/(x)<0成立,则实数m的取值范围是【例2】函数f(x)=X3+(k-1)x2+(k+5)x-1在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.【例3】给出定义:若6-！<用，机+工(其中团为整数)，则优叫作离实数X最近的整数,22记作x,即x=m.在此基础上给出下列关于函数/(x)=x-x的4个命题：(1)y=f(x)的定义域是R,值域是(一;,g;(2)点伏,0)(&Z)是y=f(x)的图像的对称中心；(3)函数y=f(x)的最小正周期为1;其中真命题是一强化训练1 .已知f(X)=In(IX1+1)-,满足f(2x-)>/(x),求x的取值范围.X+12 .已知函数/(x)=x2-(2a-I)X+/-2与X轴的非负半轴至少有一个交点,求a的取值范围.3.若函数F(X)=Iogg在(1,+oo)上是增函数,则a的取值范围是(2)设函数"x)=x2+4-1,若当1,2时,不等式f(x)v1有解,则实数b的取值范围是解答过程【例1】已知函数/()=2+-1,若对于任意皿m+1.都有/(x)<0成立，则实数m的取值范围是解析【解法IX直接解不等式组)由/(x)<0得Tn7,+4<<->+上对任意x,w+1都有f(x)<0成立,则力加+1是不等式X2+nx-1<0的解集的子集.-m-ym2+4m>(F)：.<2_.实数m的取值范围是一型,0.-m÷n2+42)m+<2类讨论)由题意知f(x)=X2+mx-<0对xem,m+i恒成立，则nx<1-X2,设y1=mx,y2=-x1,作出两个函数的图像,如图4-1所示.当"Z.0时,只需m(w+1)<1-(w+1)2,即2>+3加<0,解得一己Vm<0t2此时n0.(2)当/72<0时，只需，团<1？'解得-<m<0f此时(w+1)<1-(+1)22(2m,02)综上所述,实数m的取值范围是f-,0.I2J【解法3】(直接以形助数,数形结合)函数f(x)x2+mx-的图像为开口向上的抛物线，又对任意xmym+t都有/(x)<()成立，f(tn)=2n-1<O,2_.V9,解得一+<2<0,f(m+1)=2m2÷3/w<O2.实数m的取值范围是f-,<2>【例2】函数/(x)=x3+(k-)x2+(k+5)x-1在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围【解析】【解法T】(正难则反,补集法)若f(x)在区间(0,3)上单调递增,则ff(x).0在(0,3)上恒成立，即k(2x+).-3x2+2x-5在(0,3)上恒成立，由2x+1>0得,-3x2+2x-5k.2x+12741+；)t=x+-f则2(I7)273-,-1则3f+巴.9(当且仅当t=-时取等号).U2)4t2274t4/fx在区间(0,3)上单调递减,则f'(x),0在(0,3)上恒成立，即(2x+1),-3x2+2x-5在(0,3)上恒成立，由2x+1>0得在(0,3)上恒成立.令t=x-t21(27A5(13、<3则g«)=一23/+七+在上二上单调递增,在上单调递喊.214/J2122；(22)8。=-5,后)=一争飞").弋；)=-5,贝Uk,-5由和：求其补集，可知k的取值范围为(-5,-2).【解法2】(由条件得方程/'")=0,参变分离转化为求函数值域)f,(x)=3x2+2(k-)x+k+5由题意知,(x)=0在区间(0,3)内有实根,且无重根,由(x)=O得.c。CUrtn13x2÷2x_53_八910.k(2,x+1)=-3x÷2x5,即A=(2X+1)H令2x+14|_2x÷13t=2x+f则r(1,7),记z(r)=r+-.thit)在区间(1,3J上单调递减,在区间3,7)上单调递增.故(r)6,10)(-5,-2z当=一2时，ff(x)=O在(0,3)内有相等实数根X=I,故舍去.因此k的取值范用为(-5,-2).【解法3】(由条件得方程f,(X)=Of通过分类讨论研究二次函数零点问题)f,(x)=3x2+2(k-)x+k+5由题意，/'(X)=O在区间(0,3)(1)y=f,(x)的图像与X轴在内有实根,且无重根.(0,3)内有一个交点，由(0)r(3)<0z得-5<攵<-竺7(2)由y=ff(x)的图像与X轴在(0,3)内有两个交点,0<-<36<A=4(A-1)2-12(Z+5)>O,得一生V女<一27广(0)=4+5>0,/=7Z+26>0,(3)当/'(O)=O时，k=-5t方程f,(x)=0的另一根为4,不合题意,舍去.(4)当尸(3)=0时，k=卷,方程,(x)=0的另一根为g,符合.综上，k的取值范围为(一5,-2).【解法4】(由条件得方程ff(X)=Of利用求根公式求实根再解不等式)r*)=312+2(A-1)为+k+5.由题意，f'(x)=0在区间(0,3)内有实根,且无重根.由=4(-1)2-4×3×+5)>0可得k2-5k-4>0f解得左一2或k>1设方程/'(X)=O的两个实根为x1,x2.2(1-2)八X+Z=-<当k>7时,由4f和两根x1,x,均小于0,不合题意，k+5八'玉彳2=二>0，故k<-2.I-kyjk,-5'-141&+k,5A:14nox1=,x2=由题意得0<X<3或0<x2<3,解得-5<Zv-2.故k的取值范围是(-5,-2).【例3】给出定义:若机一,v,m+1(其中阳为整数)，则加叫作离实数X最近的整数，22记作xf即R=m.在此基础上给出下列关于函数/Cr)=x-x的4个命题：(1)y=f(x)的定义域是R,值域是(一；1;(2)点(ZQ)(AwZ)是y=(x)的图像的对称中心；(3)函数y=f(x)的最小正周期为1;(4)函数y=(x)在(-;，|上是于函数；其中真命题是【解析】不关于(1,0)对称.回错误.-；，但f号错误.中,1Va+1)=(x+1)-x+1=x-力=(X),周期为1,故正确.故答案为:.【解法2先对函数进行化简,然后作出函数的图像,根据函数的图像可判断各个命题是否正确.强化训练1.已知/(x)=1n(x+1)-J,满足f(2x-1)>/(幻,求X的取值范围.X+1【解析】【解法1】依题意,由于y=1n(国+1),y=Wj均为偶函数，.函数/(x)=In(W+1)-WJ是R匕的偶函数,且x>0时,力单调递增,则不等式/(2x-1)>/(x)<>2x-1>W.当X一时,2x-1>%,解得工>1,.1>1.2八，1/1.八,10"X<一X<一,.0,XV一当2时J2x>x,解得33,当xv()时,1-2x>X,解得XV1.v.综上M的取值范围为一8,；)U(I,+8).【解法2】同【解法1得不等于“2x-1)>f(jr)o2xT>M两边平方后分解因式得(3尢-IxX-I)>0,解得XC或x>1即X的取值范围为(y,§)u(1+e)2 .已知函数fM=X2-(2a-1)x+/-2与X轴的非负半轴至少有一个交点,求的取值范围.【解析】【解法1*直接法):由题意知关于X的方程£_(2一1卜+/-2=0至少有一个非负实根,.0,设根为则X得，0或'x1x2>0,解得-0b即的取值范围为4x1+x2>0/(0)>0,【解法2】(根的分布).由题意知/(O),。或<_一(2-1)>0解得J即的取240,值范围为-,2.4_%，解得一强/<04V。或【解法3】(逆向考虑):当函数/(力=冗2一(2一1八+/-2与非负无轴没有交点时,则23 .函数/(x)=X2-(2a-1)x+/一2与X轴的非负半轴至少有一个交点时,的取值范围4 .(1)若函数/(乃=噢9(工+8-雪在(1,+00)上是增函数,则。的取值范围是【解析】【解法1.,X2(1,+<x>),且XJVX2,则/(%)</()即0g9M+8<Iog9fX)÷8,得+8<X2*8,I天J玉w/即(王一工2)1+<0.'Ixx2)'：xx-X2<0,/.1+>O,Hpa>-X1X2.中2Vx2>x1>1,.欲使>-X恒成立,需求a.-1.还要考虑函数有意义,欲使x>1时,尤+8-9>0恒成立.X只要X=I时,x+8-0.0即可,得9X综上可得,所求a的取值范围是-1,9.【解法2：令f=x+8乌,当a=0和。>0时,函数f=x+8显然单调递增；XX当v时,要使，=X+±+8在(1,+8)上单调递增,只需",1X即以.-1,从而可知么.-1.还要考必函数有意义,同【解法1】可得知9.综上可得,所求。的取值范围是-1,9.(2)设函数/(x)=d+bx-1,若当X1,2时,不等式幻<1有解,则实数b的取值范围是设g()=X2+b-2,结合图像知,只需满足.g=1.0,(2)=2+2.0,解得A.I./+笈2VO在区间1,2上有解时V1,即实数Z;的取值范围为(-,I).解法四(利用函数图像特征找到突破口)由题意可知f+以一2v()在区间1,2上有解，设g(x)=x2+取一2,则g(x)<O在区间1,2上能成立.易知函数y=g(x)的图像经过点(0,-2),g(x)v0在区间1,2上能成立,只需g(1)<0,.bV1.即实数b的取值范围为(TXU)【解析】【解法1】(利用函数的对称轴与区间的位置关系分类讨论求解)曲题意可知f+加一2<0在区间1,2上有解.令g(尤)=f+法一2,则等价于g()在区间1,2上的最小值小于0.当一g.2,即白，一4时,g()在1,2上单调递减，.g(x)min=g(2)=2+2<0,即/?<!,b,4,当1<v2,即YVjV-2时,g(x)在1,尚上单调递减,在(一*2上单调递增，g(r)man=g12=1一2V0恒成立,-4V一2；当一、，1,即。2时,g(x)在1,2上单调递增,.g(x)nw=g(1)=AT<0,即bV1,2,b<1.综上,实数b的取值范围为【解法2(参变分离,构造新函数求其最值从而确定参数匕的取值范围):由题意可知%？+一1<1在1,2上有解.2-X*22二.分离参数得匕<=一X在区间1,2上有解.XX2