第04讲 最值求法丰富多彩视角不同贵在构造.docx

第04讲最值求法丰富多彩，视角不同贵在构造典型例题/(x)=x+J3(1-x)z,、【例I】求函数Yv'(一1<R<1)的最大值.【例2】函数y=3j+j82X的最大值是的最小值.【例3】求二元函数尸(x,y)=*-y)2+x+1例4已知彳，y£R,4+/+封=1,则2x+y的最大值为.【例5】将边长为战的正三角形铁皮沿一条平行于某边的直线前成两块,其中一块是梯形,记(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小值是强化训练1 .已知2x+y=1,则x+Jd+y2的最小值是设二次函数/(x)=Or2-4工+以。0)的值域为0,+oo),且O/(I),4,则=(3)若函数f(x)=2x3-or2+ImR)在区间0,+o)内有且只有一个零点,则/(x)在区间-1,1上的最大值与最小值的和为.已知函数j=2匚幺里O的最小值为1,求实数k的值.x2÷4x+6【解析】【解法1】(平方变换)不妨设y=x+，(1一i己-=sin20,.,.X=3sin2+,'y=3×V3sin2+V×>3-3sin2f3VJsine+而COSe=>/55sin(。+*),其中tan=,当6+=%时，y有最大值33.【解法2】(构造向量法)E1y=3万+,.构造平面向量a=(3,&),)(Tvxv1),则)，九=何二7J,两边平方,得y2-xy+X2=30-2).整理得4/一2+)尸一3=0.设f(x)=4x2-2yx+y2-3.依题意知方程在区间(-1,1)内有实数根，注意到/(-I)="+。？，。，/=(y-1)220且等号不能同时成立，A=S)?-4x4(/-3)20,团只需满足条件v,解得-2WyW2.4所以函数/(x)的最大值为2.【解法2(三角换元)设X=CoSe,O(0,),则x+3(1-x2)=cos6+TJsin=2sin。+.),当e=?时，即x=g时Ja)有最大值2.【解法3(均值不等式)彳+13(1-*)=1+>/(3-3»1+1).工+。一3幻;(1+工)=2国当x=g时,/*)有最大值2.(不等式(3-3x)(1÷x,(3-3x)J1+J的右边不是定值,但从整体上看,x+©Z也弛R=2是定值,且能保证“="成立,这是灵活运用基本不等式求函数最2大值的范例,符合“正、定、等三字诀)(均值不等式).【解法4】(构造向量)设=(1,J),J1,由|闻,得x+j30-f)12+(3)2Jx2+(1-x2y=2,即/(x)的最大值为2.【解法5(数形结合)设"=x,y=-x2,y=u+-VJv,则I?+F=1(y>0).当直线y=u+瓜与半圆w2+V2=1(v>0)相切时,y最大.由.)=1,得Iy1=2,ymx=212+(3)2此时X=；.所以函数/(x)的最大值为2.【例2】函数y=3j+j82X的最大值是.【解析】【解法1】(三角换元法)Vy=3×d+2×47,x1,4,0x-13,则6=(j4-x)4J=,7=J,7=3T+24-x 6=I£I1方ICOS&,£,，IaiI0,当且仅当a与£同向时取等号.03XJX-I+&x,4-X7XG=>/33,当且仅当-=半，0,即X=424-x架寸,等号成立.13%=后.【解法3】(数形结合法转化为直线与曲线位置关系问题) /y=3XJX-I+J2×4-x,1,4,设u=x-1O,-J3,v=4-x0,3.Meg(y=-时最小),即F(x,y)的最小值为;.+v2=(x-1)2+(J4_+)2=3,y=3u+J1v>0. 原问题转化为直线)，=3"+v与圆2+y2=3在第一象限的图形相切时取得最大值.由d=*=得,，=后,即为所求的最大值.9+211【解法4】(对偶思想应用)y=3xJ+0×",x1,4,记u=3×4-x->2×Vx-I，-u在1,4上单调递减，则一痣w3邪.故027.又0y2+u2=(3×Vx-I+×>4-x)2+(3×>4-x-×x-1)2=33,故33-w2.6W33-rW33,故6,W33,.y<屈,故y有最大值班.【解法5】(导数法)由y=3jT=T+J82x0,xI,4,:y,=3×1=+-z-,令y'=O,得=X.228-2x11记/(x)=3x-1+yS-2xzx1,4f38=33,(1)=6(4)=33zax=小.解法6(柯西不等式法旭y=3+而二三0zxe1,4,由柯西不等式有y=3×j-+y2×j4-y32+(y/2)2×y(yX-1)2+(5/4-=J33,当且仅当g=即X=时,等号成立照ynx=33.24-xH【例3】求二元函数/(x,y)=(x-y)2+卜+一+iJ的最小值.【解析】【解法1】(二次函数极值法)首先将函数看成关于大的二次函数,y为参数.(1Yf(x)=(x-y)2+X+1,(jI=2x+2-y+1X+y2+1顶点在玉=一；1一丁+_!_+,且开口向上的抛物线.+1-+1一y+J-+1【解法2】（构造法）由二元函数结构特点,可将函数关系看成是点Pa,-X-D和点Qy1的Iy）距离的平方，而点P（X,-1）的轨迹是直线x+y+1=0,点。卜J的轨迹是双曲线Ay=1，原问题转化为直线+y+1=0上的点和双曲线不，=1上的点的距离平方的最小值,由图51可知:AB连线过原点且与直线x+y+1=0垂直时,其交点C到点8最近,此时A、B、C【例4】已知X,ywR,4炉+y?+个=1,则2+y的最大值为.【解析】【解法1】（代换，用判别式法）设2x+y=/,则y=-2x,代入4x2+y2+孙=1,得6f-3a+/一1=0,由&.0得”“|,因此2x+为10.【解法2】（代换，构造一元二次方程用判别式法）设2x+y=乙则2.=§（一1）,则2x,y可看作关于加的方程4一切+产一I）=O的两个实根,由&.0得产”，故2x+y,10.【解法3】目（构造向量法）令a=（；x+y,*x）S=（1,则2x+y=ab”Ia1IbI=JgX+y+x2=,即2x+y的最大值为2师54m+=4,【解法4】（待定系数法）令4/+/+孙=皿2%+）,尸+（X_/y）2j乂），则，=,解1/IX(61262-(x+1)-(1-x)-(1-)78m=-5_n,故i(2x+y)2”1,化简得2x+%.285Z=I2=a+bf1=12【解法5】（代换消项结合放缩法）令广一三一则2,2x-yy=a-bb=22则原题等价于:己知5a2+3b2=2,求2a的最大值.由5/+3从=2的几何意义得心-zgp得2«,一即2x÷y,9J1O.【解法6】（换元法，转化为三角函数求解）X=7"COS夕,7。,八、则4产cos20+4;*2sin2-2r2cossin=1.y=2rsin即/(4+2SineCoSe)=I,即二一4二sin2。1,1,则r2.r52M128412厂,，4=55(2x+y)2=42(1+sin26)=4r2f-3故2x+%J12.【解法7】（三角换元结合均值不等式求解）x=rCOSay=rsin。,则(2x+»=r2(4cos2+sin2e+4sin9cos6)=1+3sinOcos，4cos2夕+sin?夕+CoSeSin。=1+4cot÷tan+1故2x+%>1（）【例5】将边长为M的正三角形铁皮沿一条平行于某边的直线前成两块,其中一块是梯形,【解析】【解法1（求导数法）如图5-2所示,设梯形上底边长为X,则梯形两腰为1-工,高为/7（1-x）,0<x<1.2x+1+2(1-x)2(3幻2_4(P?令w(x)=丁?)一,0<X<1Jr-I2(x-3)(x2-1)-2x(x-3)2_2(x-3)(3x-1)X)=z=(I)d.当0<X<,时,(x)>0,u(x)单调递增;当!<%<1时,(X)<0,u(x)单调递减.33化-3丫.i¼_1(HZAPCMIC_4UJ_32_323当X=7时，"(X)最大，S最小,Smin二一一r×772=F=-33(1.33图5-24(3X)2解法2】(配方法)同解法1可得S=尸X1-÷-(0<x<1).3i-设3X=，,则，(2,3),x=3-z,.当即=w(2,3)时,S取得最小值,此时x=J,Snun="Zo3334(3-x)2【解法3(利用"耐克函数"的性质)同解法1可得S=r=x=一J(O<x<1),31-xhc43f161()1人6x-10a1即S=1+-5,令/(X)=2I,O<xv1,31x-1jJr-I、E，SEf+10/、,、t36，设/=6九一IO,则x=-,.()=g(f)=7=-6(r+1Vr+20/+64-6-J10<x<1,.-10<r<-4,.g(f)=r÷+20t641又f+-p,-16,当且仅当，=8时取等号,得gQ).9,此时，=一8,X=(0,1).当Xq时,"(X)min=9,即Smin=邛4(3-2【解法4(判别式法)同解法1,可得S=-=×、一J(O<x<1).31-x2设y=I1(O<<1),则y>O,y(1-f)=(3-)2展开整理得(y+1)d-6x+9-y=0,由yR,.A.0.即36-4()，+1)(9-y).0,解得y,0或y.8,由y>0知y.8.把y=8代人函数解析式,得X=1(0,1),.二ynin=8.U而C32323从而Sman=F=二4(3-x)2【解法5】(数形结合法)同解法1,可得S=-0V-(0<x<1),令X=Sin仇其中Ow31-x2(0,勺，则S=SIn°.设&=上吗,其几何意义是表示定点A(0,3)和动点I2)3IkO-COS<9JO-COSeP(COSaSine)(e(,9两点连线的斜率.如图5-3所示,设直线AP的方程为y=H+3,当直线与圆弧相切时,由圆心到直线距离等于半径,求得=-2应,由数形结合的方法易得Z京J-2,.r&5?邛即Sgn=杵叵.4(3-2【解法6(辅助角公式法)同解法1,可得S=r=J(0(XCI),令X=COSe,其中y3I-X'/K2则S=2/3-COSq,记f=