第01讲 集合旨在运算正难则反补集法.docx
第O1讲集合旨在运算，正难则反补集法典型例题【例1】已知集合A=(x,y)：2+znr-y+2=o,3=(xy)|xy+1=O且°x«2若AnB0f求实数用的取值范围.【例2】设集合A=(x,*-(2f2="(x,如驷若对任意实数。，均有则实数力的最大值为【例3】试求实数k的取值范围,使抛物线V=K的所有弦都不能被直线y=%(-3)垂直平分.强化训练1 .设a,b是两个实数.集合A=(x,y)x=",y=w+b,"Z.集合B=f(x,y)=m9y=3m2+15,mzj.集合C=(x,y)+y2,Id是平面xy内的点集,试问是否存在实数。、b能同时满足如下两个条件:2 .集合A中的元素个数用符昊card(A)表示,设A=x(Inx)2+rwc2Inx>,?/为自然数集.若Card(ACN)=3,则实数m的取值范围是参考答案【例1】已知集合4=(y)2+mr->+2=,8=(无y)x-y+1=O且2.若AnB0z求实数机的取值范围.【解析】【解法1】由卜+-"2：。消去y,得x2+(m-)x+i=0.(1)x-y+1=O(减2)ACBH0,.方程在区间0,2上至少有一个实数解.首先，由A=(n-1)2-4.0,得机.3或八一1.设方程(1)的两个实数根为x1,x2.当机.3时，由X1+x2=-(w-1)<0及x1x2=1>0知方程(1)只有负根,不符合要求；当mi,-1时,由x+x2=-(n-1)>0及x1x2=1>0知,方程只有正根，且必有一根在区间0,1内，从而方程至少有一个根在0,2J内,综上,实数m的取值范围是S,TVy*+tux+2【解法2】问题等价于方程组P"在0,2上有解，即y=x+x2+(w-1)x÷1=0在10,2上有解.令/(x)=x2+(n-1)x+h则由/(0)=1知抛物线y=/(x)过点(0,1).抛物线y=f(x)在0,2上与X轴有交点等价于/(2)=22+2(m-1)+1,0=(w-1)2-4.0CI-WC或s<<2,2/(2)=22+2(n-1)+1>033解(1)得见，解(2)得</72,1.22综上所述,实数m的取值范围为(-8,-1【例2】设集合A=(x,y)2j(2%+y)+442=,8=(x,y)y.2x,若对任意实数。，均有B,则实数b的最大值为【解析】【解法1当。=0时，A=(x,y)x=O,yR,此时A中任意元素均能使Iy1bx成立,则R.当a0时，A=(x,y)y=-(x2-20x+4tz2)j>.ABi:.-(x2-20r+4a2).bxav7I当x=0时，bR;I1当x0时，b,-+-2.aXV-+-2S2,.2ax综上，b的最大值为2.【解法2当白0时，8=(x,y)J.b*.A=J(x,j)Z=一三+4%依题意可知，当直线y=bx与抛物线y=x2-2x+4aa)a相切时力=2,切点为(2,4).当a=0时，A=(xfy)x=O,yeR,此时A中任意元素均能使Iy1能|%|成立，则R.b的最大值为2.【解法3】以。为主元原方程整理为4a2-(2x+y)a+x2=O.由R得=(2x+y)2-16.0.(6x+y)(-2x+y).0当x0时，有解得上.2或2剌-6.口2.当x=0时,无八无)XXIX1Z?eR.综上，b的最大值为2.【例3】试求实数k的取值范围,使抛物线y=f的所有弦都不能被直线y=%(-3)垂直平分.【解析】【解法1】设抛物线y=x2上两点A(XE2),8(x2,*)关于直线y=k(x-3)对称,AB的中点为P(¾,y0),1X1+x7.r2+,7.rt.X：-JC,1x+x1口”则x0=-j1,%=-j=-由题设知-=一一-1=，且AB的°202xi-2k22k中点P(AO,%)在直线y=Kx-3)上.gW=A("三31=一警1因此中由于点P在y>2的区域内一竺里.2V2k)整理得(2Z+1)(6&2-2Z+1)<0,解得k<-g因此当&<一；时,抛物线y=/上存在两点关于直线y=k(x-3)对称.当k.-g时,抛物线y=x2上不存在两点关于直线y=k(x-3)对称，故实数A的取值范围为一；，+001【解法2】强化训练1 .设a,b是两个实数.集合A=(x,y)x=niy=na+b,nZ.集合B=(x,y)=m,y=3m2+15,wZ.集合C=(x,)x2+144.是平面xy内的点集,试问是否存在实数a>b能同时满足如下两个条件：【解析】【解法1(1)AnB0;(a,b)C.n=m,假设存在使得关于的方程组至少有一组整数解.na+b=3m+15可知点P(a,b)在直线nxr+y-(3+15)=0上，原点0(0,0)到此直线的距离为小嵯里埠UE4.2g=12,J/?+1n2+1n2÷1y72+1当n2=3时等号成立.但nZ,/.W23,/.d>12,/.OP=>Ja2b2>12.即a2+Z>2>144与02+2,144矛盾.故不存在,bZ能使题中的两个条件同时成立，即满足已知两个条件的实数a,b不存在.【解法2】假设存在实数a,b同时满足题中的两个条件,则必存在整数，使3"一。+(15)=0,于是它的判别式=(-a)2-12(15-Z>).0,即4.12(15。).又由/+尻,144,得/,Md-/.由此可得12(15-。),，144一。2,即S-6)2,0,故b=6.代人上述解Z.12(15-Z?)及a,44-h2t得2=108.«=±6>将a=±6>B,b=6代人方程32一。+158=0,求得=±3Z.满足已知两个条件的实数a,b不存在.【解法3】假设存在实数久b同时满足题意中的两个条件，即有I"；+"：%+15消/+此,144,去6,得(1+2"2_2(3/+15)4+(3川+15)2-1440=-2(3n2+15)2-4(1+H2)(3i2÷15)2-144=-36(n2-3)2<0(.zZ)又.1+2>0,关于a的二次不等式无解.这样的。、b不存在.2 .集合A中的元素个数用符昊card(A)表示,设A=x(1nx)2+mx21nx>,V为自然数集.若Card(ACN)=3,则实数m的取值范围是【解析】【解法1】由题意,当X=I时，(Inx)2÷nc2nx>0不成立.故(Inx)2÷nc2nx>0存在3个大于1的整数解.此时，1nx+nd>o等价于m>一_?存在3个大于的JT整数解.人Inx.r,21nx-1令f(x)=-t由于fx)=-r-故/(x)在(0,6)上单调递减，在(公,+力)上单调递增.由答图1-1知,/(4)<,(5),即-【解法2】由题意，当x=1时，(1nx)2+21nx>O不成立.故(Inx)2+nx21nx>O存在3个大于1的整数解.1y此时，1nx+2>O等价于nvc>-存在3个大于1的整XInX数解令/(x)=fx,g(x)=,XIn525如答图1-2所示,易知
