第08讲 综合法由因导果 分析法执果索因.docx
第08讲综合法由因导果，分析法执果索因典型例题例题1：已知>0,b>0且+b=1,求证：例题2若。、b、C是不全相等的正数,求证：怆等+ig等+ig宰>ig+igb+igc.例题3：已知,x,y均为正数,且0+2=1,求证：3+丁2（&+扬）2.Xy强化训练2.已知。+匕+c=°,求证:3+d=3"Cr1-Q.1h,.t(1V.IY1V10003,若函数Q两足4+b+c=1,求证:+-Jb+,Jc+解答过程【例1】已知>0,6>0且4+b=1,求证：（a+：。+（）?日。【解析】【解法1】(综合法)1+-Yb+-1=+-+-+-=«/>+-+Ia)b)abab6abab6ab【解法2】（分析法）欲证原不等式成立,即证（/+I）W+1户日血也即证4（而）2+4（2+力2）-25必+420.a+b=t故a2+b2=(a+b)2-2ab-1-2ab,代入式得4(ab)2+4(1-2ab)-ISab+420,即证4（必）2_33。+820也即证必Wj或必28,而必28不可能成立，4故即证必w1由o>0,b>0,a+b=2>fab,得HW1因此原不等式成立.44【解法3】（三角换元结合函数单调性）令=sin20=cos2j（0vJv乃），sin4+1cos4+1sin46>cos4+(sin2+cos2-2sin2cos2+1sin20cos20sin2cos21,81(,=-sin22<9+2=-sin226>+4sin224132Sin226>32令f=si?26,O<e<r,.0<1,Sy=Z+-.32z÷-32，A>%，即。=1+7在OVrW1上为减函数,0y233.1）3325力+乙性二一2二三,等号当且仅当时成立.b）44【例2】若。、b、C是不全相等的正数,求证:收学+喧容+ig岩>ig+igb+igc.【解析】【解法1】（分析法）要证Igg萨+Ig管+1ggf>1g+1gb+1gc,即证1g（等容等）>IgSbc）成立,只需证誓警.专>abc.又0小2必>0,但2痴>0,£±£2疝>o,团丝.£i£»MC>o222222又团a、b、C为不全相等的正数,团式等号不成立.原不等式成立.【解法2】(综合法).4>0,b>0,c>0a+Jab>0,+cJbc>0,a+c*jac>0,222又团。、b、C是不全相等的正数,团巴W"史上>Hc.222.1(a+hb+c+c1.z,x,怆2-J>g("c)«.+,b+c,+c.,即电下一+吆三一+1gW>1g+1g6+1gc【例3】已知,0,x,y均为正数,且+2=i,求证:+y2(夜+后了Xy【解析】【解法1】（综合法门”的代换）团。、。、4、y均为正数,且+=1.Xyx+y=(X+y)x1=(x+y)(印、IXy)+"乃+效妥+"2Xy=(>a)2+2>ab+(7)2=(G+>b)2,当且仅当把=曲时"=成立，即x+y2（G+的）2.Xy【解法2】（综合法,消元转化证之）由+=1,得=2（y>b>°,>0）Xyy-b(y-Z?)2+(«+b)(y-b)+abayy2-by+ay.t=+y=+y=工-y-by-b=(y-b)+-+a+b2(y-b)°)+a+h=(G+扬V,y-byy-b当且仅当y-b,即y=力+而时“=成立,故原不等式得证.y-b【解法3】(综合法,条件式三角代换转化证明)依题意设?=sin2。,；=COS2%。£(0,9.ab2c,“.,.x+v=-+-=acsc6+bsecsin28S"=(1+cot26)+b(1+tai?6)=+b+cod6+6tan?a+b+2>JabcoVtan2=a+b+2>JabBpx+y.(>fa+>b)2.【解法4】(分析法，三角代换由结论出发推出一个显然成立的不等式)依题意设a=xsin2,b=ycos2.:.x+y(yfa+yfb)2OX+y2xsi26+ycos?6+2JSineCos。,<=>x(1-sin2夕)+y(1s2夕)22sin，cosyxy<=>(rcos-yysin)2.0 =>XCos2+ysin2e.2sinecos65/,故原不等式得证.【解法5】(综合法，三角代换运用辅助角公式及正弦函数有界性)由题设可得五=«sin。，yfb=cos. Ja+Jb=<rsin+/ycos=yJx+y心=Sin6+-=CoS'(Jx+y"+y)=JX+ysin(6+0)WJx+yz/.x+y.(G÷>b)2.解法6(综合法与分析法相结合,变用定值条件证明) ：冗+丁,(而+扬)2O(X-a)+(y-8)22V由,b,x,y均为正数,且0+2=1,得0<g<i,0<2<.XyXy.x-a>O,y-b>O1ay+bx=xy,®：(无一0)+(yZ?)22x-d)y-b)=2yxy-ay-bx+ab=2>ab，不等式成立，即x+y2(右+而2强化训练1.若。+6=1求证:+Jw2.【解析】【解法1】(综合法),当x,yR+时,x+y.2j.,.2(x+y).(J7+J7)2,即证:"1+2,4.+b=1,故就是证±Jc即证：ab+g(a+Z?)+；,1.即证。友，；,只需证出?”a+bY,也就是证:2aby,a2+b2,这是显然成立的,故原不等式成立.2,已知4+b+c=°,求证:/+/=3而C.【解析】【解法1】(综合法)”“+6+c=°,S+b+c)3=°(+h)+c3=(a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3=3+,+3(+b)c(+b)+c+c3=(+6)3+c3=+3"3加+C?=/+3+。3+3ab(a+b+c)-3abc._3abc=O,BPf13+Z?3+c3=3abc解法2(分析法)：.a3+3+c3-3abc=(。+)3+c3-3ab(。+。)一3abc=(+b+c)(+b)2-(a+/?)。+。?一34b(+b+c)=(+b+c)(/+Z?2+c2-ab-be-ca=0.,.a3+/?3+c3=3abc【解法3】(构造法)：构造函数/(x)=(x-4z)(x-)(x-c).令/(X)=。得X=。或x=b或X=J即X3+(b+bc+c4)X-QbC=O有解X=。或X=Z?或X=C.则有a,+(而+be+。)。一"C=O,Z+("+8。+Ca)力一4Z?C=O三式相加得/+03-3abc=Ogpa3+Z?3+c3.若函数,b,c满足+b+c=1,求证:(4+工)(/，+【解析】【解法1】(综合法一,运用均值不等式):，1 f11I"If1Ya9。949JN9aJ,1.f11n15b+-=b+.IOJZ?-b9b9b9b)V19b,同理:1_(11I)SC)c÷=c+1+FH.104c,C9c9c9c)Vv9cJooo.,I1。八b八c)W9"("c)8又,a+b+c=,a>0,Z?>0,c>0,.,.0<abc,f3=3abc喈当且仅当=J时等号成立.39当且仅当b=c=1时等号成立.93+?+cA3_13J27c,+ab-bc+ca)c-abc=0IO(X)I1=329.当且仅当4=方=0=时等号成。"C'273立.【解法2】（综合法二,运用均值不等式结合函数单调性）.+邛"邛c+血+佟+丝+出+信+2+<+-1八人八c)abc)hccaahJabc.abc+3iabc注意到X=Nabc,100027令X=NabC普馆/()=f+1的单调性,Ss=1邛,Ir(X)=3，+用川<0,33,3(XJIX)
