极化恒等式及其拓展：平面向量专题.docx

平面向量专题一极化恒等式及其拓展（向量中的范围、模长问题）一、知识点1.极化恒等式的证明证明：不妨丽=z而=5,贝IJ衣=3+双丽=35,同=耐=0+4=+必则彳（I）同2=请=G一引=口。.诩（1）（2）两式相减，可以得到:工=；&+2一心一寸2,几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的143 .两个模型平行四边形模式：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差,的即:4三角形模式：在三角形力初中M为BC的中点,a-b=AMi-DI4 .注意点：两个向量要同起点二、要点分析1 .求数量积的值【典例精析】（浙2012理15）在aABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=IO,则ABBC=.变式训练1：若A3C的外接圆是半径为1的圆。，且NAoB=I20°,则ACC8变式训练2：在平行四边形ABC。中，已知A3=8,AO=5,CP=3PD,4P8P=2,则ABAD=.DP变式训练3：如图,在4/5C中,。是8C的中点,E是上的两个三等分点，BACA=4,BFCF=-I,则而近的值是.变式训练4：（2023七彩阳光高一期中联考15）如图，BC,OE是半径为1的圆。的两条直径，尸为BO的中点，则方而等于_.2 .求数量枳的取值范围【典例精析】在AABC中，AB=3,AC=4,N84C=60,若尸是AABC所在平面内一点，且AP=2,则PBPC的最大值为,变式训练1：（2019全国2理12）已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则B4（P8+PC）的最小值是（）3 4.-2B.C.D.-1变式训练2：已知AB是圆。的直径，48长为2,。是圆。上异于A,8的一点，P是圆。所在平面上任意一点，则(PA+尸8卜PC的最小值为.变式训练3：已知点。为坐标原点，A8C为圆(x-1)2+(y-5)2=1的内接正三角形,则d(5+5)最小值为.变式训练4：在AABC中，NBAC=60若A8=2,BC=G。在线段AC上运动，DBDA的最小值为变式训练5:(2019江苏金陵中学高考模拟)已知菱形ABCO中，对角线AC=Q,8。=1,P是4。边上的动点(包括端点)，则方正的取值范围为3 .解决与不等式相结合的数量积问题【典例精析】(2013浙江理7)在A5C中，外是边48上一定点，满足=且对于边AB上任一点P,恒有PBPCRBR)C0贝M)A.ZABC=90B.ZBAC=90C.AB=ACD.AC=BC变式训练1：在面积为2的平行四边形ABCQ中，点尸为直线A。上的动点，则丽正+就"的最小值为.4 .其他综合类型的数量积问题【典例精析】已知A、8是单位圆上的两点，。为圆心，且NAOB=I20",MN是圆。的一条直径，点C在圆内，且满足云=/1a+(1/1)而(0<4v1),则丽丽的取值范围是()A./,1)B.1,1)C.-4,D，-1'。)变式训练1：如图，已知在AAbC中，AB=AC=4,N8AC=90o,O是BC的中点，若向量AM=上48+AC,且AM的终点M在A8的内部（不含边界），则AMBM的取值范围是.变式训练2：如.图，在直角梯形488中，AB/CD,AB1BC,AB=4,CD=2,3。=2有，点尸为线段40（含端点）上的一个动点，若有且只有2个不同的位置，使得港正=团成立，则实数m的取值范围是.课后习题1 .在AABC中，AB=3,AC=4,ZBAC=60,若P是AA8C所在平面内一点，且AP=2,则P3PC的最大值为22 .若点。和点F（-2,0）分别是双曲线=一丁=1（。0）的中心和左焦点，点P为双曲线右a支上任意一点则OPFP的取值范围是.3 .在用A43C,AC=BC=2t已知点尸是AABC内一点，则正（HA+丽的最小值是.4 .正AABC边长等于石，点P在其外接圆上运动，则而丽的取值范围是（）33d3I113n11221221221225 .在锐角AABC中，已知8=5，,5-44=2,则ABAC的取值范围是.6 .矩形ABCO中，AB=3,8C=4,点M,N分别为边BC8上的动点，且MN=2,则AMAN的最小值是.7 .如图，在四边形MNP0中，已知NO=OQ,0M=61。P1=IO，MNMQ=-28,则NPQP=.MN1