数列放缩.docx
数列放缩【命题规律】数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题(压轴题)，有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢.【核心考点目录】核心考点一：先求和后放缩核心考点二，裂项放缩核心考点三，等比放缩核心考点四：£><»/()型不等式的证明r1核心考点五：ai<(»/(«)型不等式的证明i=1核心考点六，象4<(>)力型不等式的证明r=1核心考点七：ai<(>)b型不等式的证明Z-I【真题回归】1、(2023全国高考真题)已知函数f(x)=erX.(1)当=1时，讨论/O)的单调性；(2)当x>0时，F(x)v-1,求的取值范围；设wN'证明：7÷7÷+号,("I).2、(2023全国高考真题)记S“为数列qj的前项和，己知q是公差为g的等差数列.(1)求4的通项公式；11IC(2)证明：一+一<2.卬出%3、(2023.天津高考真题)已知qj是公差为2的等差数列，其前8项和为64.2是公比大于0的等比数列，=4.-=48.(I)求q和2的通项公式；(II)记(i)证明归-4是等比数列；(ii)证明WJ芈1<2(a)*=1Vqc2k4、(2023全国高考真题(文)设%是首项为1的等比数列，数列2满足r=等.已知q,3%,9%成等差数列.(1)求q和的通项公式；C(2)记S0和7；分别为6和仇的前项和.证明：Tn<.【方法技巧与总结】常见放缩公式：(1) -X-<-.=(w2)；n(2-1)m/2-1nv(2) ±>JJ-一n+nn+i(3)144=<=2n24n24"一2n-12+1(4)Tr+x=Crn=n<1<-1-=J-_1(r2);nrr!(n-r)!nrrr(r-1)r-rv(5),111<1+1+-+<3；1×22×3(w-1)>ny/n+GJn-+G2(-yn-+>n)(2)；G4n+4n-Jn+Jn+(8)2j2口曲一所十所=0(-2"-1+J2+1)；2"(2”一if(2"-1)(2-1)(2"-1)(2"-2)(2"-1)(2-,-1)2n",-12w-1("2):(10)_TT_yT4rynn2J(-1)(.+1)J(-1)(+1)J+1-Jn-122yn(11)-=2Jn32w+w2<.一丁=I一一周，11+(n-)4nJ(-1)(«+J-1)-2g-«）上底币；gG），(12)=<=2n-1(1+1)"-1C+G-1H(n+1)(13)2"T2w-1(2n1-1)(2-1)2w,-12n-152)(14)2(J+1-册)1S=<-=<=yn+1÷>fnn石+>n-1=2(Myn-).(15)二项式定理53),于是2n-1n(n+1)53)2">2"+1("3),2=(1+1)=C÷Cz,t+C+C：C：+2C=2+1；2w>+w÷2(5),2w=(1+1=C+q,f+C;+÷Cf2+C：-'+C:2CH+2Cf!+2C；=z2+H+2(16)糖水不等式b-nb若b>o>0,m>0,则±>；若b>>m>O,则1<y.【核心考点】核心考点一：先求和后放缩例1.(2023全国模拟预测)己知S.为等比数列q的前项和，若44,26，4成等差数列,且S4=802-2.(1)求数列4的通项公式;(2)若O=Q+2)；、+2)，且数列的前项和为小证明：T</例2.(2023江苏南京模拟预测)记数列,的前项和为S.,已知“=-2,+1÷2Srt=(-2,.(1)求/的通项公式；记数列4的前项和为，证明：K71<3.例3.(2023重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知数列”满足4=1,6的前项和为S.,且2%=2-S,GwN)(1)求数列/的通项公式；设2=了q，记=4+a+b”,证明：Tn<.例4.（2023黑龙江海伦市第一中学高三期中）在各项均为正数的数列%中，4=3,且心=4（一+6。“）.（1）求4的通项公式；（2）若仇=噌可二数列也的前项和为7；，证明：Tn<.（+"（一+I）4例5.（2023山西临汾高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列q中，S“为其前项和,4=1,生，2S2,4成等差数列.求叫的通项公式；若=1og,（Sz,+1）,数列，整望一|的前项和为北，证明：7:<i例6.（2023浙江慈溪中学高三期中）已知数列q的前项和为S“，若工+&+邑+2=z+345+2求数列4的通项公式；11113（2）证明：三+二+不+÷V<.332>3“核心考点二：裂项放缩例7.(2023天津市新华中学高三阶段练习)已知S.为数列4的前项和，且s=普也数列4前"项和为I,且4=2,2.=q+2.求凡和"的通项公式；设C”=(-1)”。：，设数列匕的前项和为乙，求七;(3)证明:例8.(2023山东济宁市育才中学高三开学考试)已知数列m的前项和为S，且4S=(2h-1)1+1,/=1.(1)求数列的通项公式；“-为奇数加“+2,为偶数叱(2)设双'数列加的前项和为TTb证明<例9.(2023天津一中高三阶段练习)已知数列q满足4=2M向=a2n-1(1)证明：数列2为等比数列，并求出数列d的通项公式；求数列勺的前2项和S?.1.3(3)设C”=(+)og，2记数列%的前项和为好求证：Tn<-.例10.(2023.全国.成都七中高三开学考试(理)记数列4前项和为S”,2Sn+n2=Inan+n.(1)证明：4为等差数列；若4=1,记，为数列3的前项积，证明：E盘J<2.例11.(2023河南模拟预测(理)若数列qj满足4=1,a-an=2n.(1)求4的通项公式；11Ir(2)证明：一+'+<2.6aIan核心考点三：等比放缩例12.(2023重庆八中高三阶段练习)记S“为数列4的前项和，己知4=2,3an-2Sn是公差为2的等差数列.求叫的通项公式；1111(2)证明：一+<1.4%M例13.(2023广东高三阶段练习)已知数列(的首项为1,S”为数列4的前项和,S1t+=qSf,+1，其中q>0w.若+2成等差数列，求应的通项公式；设数列2满足N=JiV,且仇=?，数列4的前项和为(，证明：例14.(2023.天津南开中学高三阶段练习)记S0是公差不为O的等差数列%的前项和,已知%+34=&,Ws=S4,数列也满足d=3+2"T(“2),且b=4-1.求4的通项公式，并证明数列(/+1是等比数列；(2)若数列匕漏足S=(Tr_),求t的前项和的最大值、最小值.III3(3)求证：对于任意正整数，T+T+T<3Ub2b,12例15.(2023浙江大学附属中学高三期中)记S”为数列“的前项和，己知q=2,3an-2Sn是公差为2的等差数列.求证4+1为等比数列，并求4的通项公式；(2)证明：7+7+I%a2an例16.(2023浙江模拟预测)已知正项数列4满足q=1,当2时，-<1=2/2-1,”的前项和为S”(1)求数列%的通项公式及S”；,、(2Sa+1数列"是等比数列，4为数列包的公比，且4=q=%,i己%二一九,=-，证明:27-c1+c2+c<-例17,(2023江苏泗洪县洪翔中学高三开学考试)已知数列q的前项和为s“，4=3,S“=2+%.证明：数列S,-2为等比数列：记数列的前项和为7；,证明：TnV2.核心考点四：£><(»/()型不等式的证明r-!例18.(2023山东省实验中学模拟预测)已知函数f(x)=1曲.X求函数y=()的最大值；若关于X的方程InK=Xe+履-1有实数根，求实数&的取值范围;C口In2In3Inn2n2-n-/2(3)证明：F+亨+7<7ir("N,f)例19.(2023全国高三专题练习)设各项均为正数的数列4的前项和为sr,满足S；-(+z-3)5-3(1+)=O,hN求的值：(2)求数列/的通项公式：12+2+=%也+24(3)证明：对一切正整数，有4yai+2a2Ja2+2例20(2023上海模拟预测)在数列q中，4=5,%=3z,-4"+2,其中eN".设证明数列出是等比数列；(2)记数列勺的前项和为S“，试比较S“与"+2023的大小.例21.(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=XeH-e1当=1时，讨论/")的单调性；(2)当x>0时,F(X)VT,求。的取值范围；例22.(2023湖南周南中学高三阶段练习)已知函数/(X)=上手.求函数y=(x)的最大值；.r,In2In3Inn2n2-n-(k,.人证明：亍+宁+丁<年旬÷wN2)例23.(2023全国高三专题练习)已知单调递减的正项数列%,“2时满足4(%+1)÷1&÷1)-*(anan-i+«,+1)=0.4=g'S"为q1前项和.(1)求勺的通项公式；(2)证明：Sn>-=.例24.(2023广东铁一中学高三阶段练习)记S“为数列勺的前项和，已知是首项为3,公差为1的等差数列.(1)求4的通项公式；,111a-I1(2)证明：当2时，v+T+T*cTT9d2d3，a,1+1N例25.(2023全国高三专题练习)已知数列仅“和也满足4=4，且对任意N都有(1)求数列4和也J的通项公式;证明:+-+<,n+rtt+t+t+V例26.(2023福建莆田第五中学高三期中)数列凡满足4+2%+/zr=4-,"N*.(1)求数列4前项和(；(2)证明：对任意的N*且zz2时，I
