圆锥曲线巩固题.docx

圆锥曲线复习题XV一1.已知双曲线。与椭圆g+：=1有相同的焦点，P(3,遍)是C上一点.(1)求双曲线C的方程；(2)记C的右顶点为“，与X轴平行的直线/与C交于A,B两点，求证：以AB为直径的圆过点汽2y2【分析】(1)由已知设双曲线。的方程为：1(a>O,b>0),所以/+廿=6,再把点P的坐标代入，解出。，方的值，从而得到双曲线的坐标方程.(2)设直线/的方程为：y=m(m0),与双曲线方程联立，求出点A,B的坐标，再利用斜率公式计算函在M=-1,所以即以AB为直径的圆过点X2V2【解答】解：(1)由已知设双曲线C的方程为：-yr=1(>0,h>0),96由已知得/+2=6,且F一0=1,a2b2解得:a2=b2=3,y2.二双曲线C的方程为一-一=1.33(2)设直线/的方程为：y=机(m0),与2-y2=3联立解得：=2+3或%=-m2+3,不妨设a(-2+3,m),B(m2+3,m),由(1)知点M(10),Jm2+3+3Jm2+3-3二AM,的斜率分别为：kAM=-=,心M广普，Jm2+3+3Jm2+3-3所以故以AB为直径的圆过点M.【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，是中档题.X2y22 .已知点Q(2,1)在椭圆C-+7=1(>>0)上，且点。到C的两焦点的距离azbz之和为4(1)求C的方程；设圆0：x2+y2=I上任意一点P处的切线I交C于点M,N,求QMQW的最小值.【分析】（1）运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，解方程可得。，上进而得到椭圆方程;（2）分别讨论切线的斜率不存在和存在，结合直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，可得所求最小值.41【解答】解：（1）由题意可得二+77=1,且2q=4,azbz解得q=2,b=2,X2y2所以椭圆C的方程为丁+.=182（2）当直线MN的斜率不存在时，可设切线方程为X=等,八、。F210210210代入椭圆f+4y2=8,可得Af(-,-),N(-,贝IJ血碗=0,且(WCW=器:当直线MN的斜率存在时，设切线的方程为y=丘+如由切线与圆/+/=卷相切，可得无=Jg,化为5m2=8+82,由y=kx+m与椭圆方程联立，可得(1+42)%2+8mx+4m2-8=0,设M(J,y),N(X2,>2),贝IJXI+X2=8771xx=1+41+4OM*ON=x1x2+y1y2=x1x2+(to+m)(te+m)=(1+2)x1x2+km(x1+x2)+m2=c-+.代入后=%可得俞加=。，即（W_1ON,由OP1M7V,所以eMQN=ePMN=CMNI，而ITwI="+f2J(%+%2)2-4x1%2-V1+fc2/轨、2-2(I+4c)1+4ZC=1+c242+8c2-m21+4H16c4+17c2+116c4+8c2+1等1+9匕等5R16/c+8c+15当左=O时，上式取得等号.Io41016所以QMON的最小值为J5一-=.【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题.3 .已知抛物线C/=心的焦点为尸，过点尸且斜率为1的直线与抛物线相交于A,B两点.设直线/与抛物线C相切，且/AB(1)求直线/的方程；(2)若P为/上一点，求二Z的最小值.【分析】(1)求得抛物线的焦点尸，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求得A,B的坐标，设出直线/的方程：y=x+A,与抛物线的方程联立，运用相切的条件，由判别式为0,可得A进而得到直线/的方程；(2)可设P(m,m-1),运用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法，可得所求最小值.【解答】解：(1)抛物线C=4y的焦点尸(0,1),直线AB的方程为y=x+1,与抛物线的方程联立，可得A(2+2,3+22),B(2-22,3-22),设直线/的方程为y=x+A联立抛物线的方程，可得/-以-4=0,因为直线/是抛物线的切线，可得=(),即16+16方=0,即8=-1,所以直线/的方程为y=x-1；(2)设P(m,m-1),PA=(2+22-m,4+22-m),PB=(2-22-m,4-22-m),所以MPB=(2-m)+22(2-m)-22+(4-m)+22(4-m)-22=(2-m)2-8+(4-m)2-8=2m2-12m+4=2(m-3)2-14,>>当机=3时，PZPB取得最小值-14.【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系、向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题.第4页共4页