二级结论专题6 平面向量.docx
二级结论专题6平面向量二级结论h极化恒等式【结论阐述】rD=C2-j,（1）极化恒等式：（0）；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABC。中,即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与“差对角线”平方差的I;4（3）极化恒等式三角形模型：在ABC中，M为边BC中点，则；abac=am说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）、最值、范围等问题.【典例指引1】（2023.甘肃高台县第一中学模拟预测）1 .如图，在A8C中，。是BC的中点，£产是A,。上的两个三等分点，84CA=4,【典例指引2】2 .已知一A8C是边长为2的等边三角形，。为平面48C内一点，贝IJPA（PB+PC）的最小值是（3 4A.2B.C.D.123【针对训练】（2023山东日照市高三二模）3 .如图，在平行四边形ABCO中，己知A8=8,A。=5,CP=3PO,APBP=2,贝IJABAo的值是（）A.44B.22C.24D.72（2023.河北武强中学高三月考）4 .如图，在平面四边形ABC。中，O为8。的中点，且OA=3,OC=5.若A84。=一（2023全国福建省漳州市高三期末）5 .在A8C中，+卜B-AC,4A=2,AC=1E尸为BC的三等分点，则AEA厂=a8d10c25c26A.-b.-C.D.9999（2023海南海口二模）6 .在正三角形ABC中，点Ei是线段484C的中点，点尸在直线EF上，若三角形ABC的面积为2,则PCpB+BC?的最小值是（2023南通期末）7 .在面积为2的-ABC中，E,尸分别是A8,AC的中点，点尸在直线EF上，则PCPB+BC的最小值无（天津高考）38 .如图，在四边形ABCO中，/B=60',AB=3,8C=6,且A。=/IBCADAB=一一，2则实数4的值为，若M,N是线段Be上的动点，且IMN1=1,则。MON的最小值为二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件【结论阐述】设。为ABC所在平面上一点，内角A,B,。所对的边分别为。，b,J则（1）。为ABC的外心<z>O=O=OC=-<>（+O）A=（B+OC）BC=（+OC）AC=0.（如图I）（2）如图2,。为A8C的重心。QA+08+0C=0（3）如图2,。为A8C的垂心OQ408=080C=0CQ4（4）如图3,。为ABC的内心=aOA+bOB+cOC=OOSinAQA+sin8OB+sinCOC=O说明：三角形“四心”重心，垂心，内心，外心（1）重心一中线的交点：重心将中线长度分成2：I；（2）垂心一高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.【典例指引19.在，ABC所在平面内有三点。，N,P1则下列说法正确的是（）A.满足IoA1=Io8ROC,则点。是/8C的外心B.满足¼+N8+NC=0,则点N是AABC的重心C.满足P4PB=P8PC=PCPA，则点P是J8C的垂心D.满足（也+*）8C=0ABACDt1且上生=：,贝IJABC为等边三角形ABAC2【典例指引2】10 .已知。AB,C是平面上的4个定点，ABQ不共线，若点尸满足OP=OA+AB+AC其中；1R,则点P的轨迹一定经过的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【针对训练】11 .在4ABC中，AB=3fAC=4,BC=5,。为A8C的内心，若4O=M8+"BC,则4+=()2 353A.B.C.-D.3 46512 .已知。是平面上的一个定点，A、民C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+ABAC1AB1Iac(1R),则点P的轨迹一定经过JIBe的(A.重心B.外心C.内心D.垂心13 .设G为，ABC的重心，若AB=2,BC=23,AC=4,贝JaG8C=14 .设。为ABC的外心，若AB=4,BC=23,则80AC=.15 .设/为aA8C的内心，若AB=2,BC=23,AC=A,则A8C=二级结论3:奔驰定理【结论阐述】奔驰定理：设。是ABC内一点，NBOC,AOC,AO8的面积分别记说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：。是A8C的重心。S八：S“：Sc=1:1:1OQA+OB+OC=0。是A8C的内心OS八：SSc=:：COaQ4+/2O8+C。C=0。是ABC的外心=S八:Sp:SC=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2B(?B+sin2C-OC=O.。是MBC的垂心<=>SA:SB:Sc=tanA:tanB:tanC<=>tanAOA+tanB-OB+tanCOC=0奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.【典例指引I(2023四川西昌高二期末)16 .在平面上有工ABC及内一点O满足关系式：SAcOA+SzAcO8+SaawOC=(1称为经典的“奔驰定理”，若ABC的三边为小b,c,现有OA+6O8+cOC=O则O为的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【典例指引2】17 .设G是AABC重心，K(56sinA)GA+(40sinB)GB+(35sinC)GC=0,则NB=【针对训练】一、单选题18 .若。是平面上的定点，A,B,C是平面上不共线的三点，且满足OP=OC÷(cb+Ca)(4R),则P点的轨迹一定过48C的()A.外心B.内心C.重心D.垂心19 .若0是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线的三点，若点P满足OPy+"2+2APa£(0,+8)，则点P的轨迹一定通过AABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心20 .已知。是平面内一定点，AdC是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA儡+而We(O,+),则点尸的轨迹一定通过MBC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心21 .在IaA8C中，CB=a，CA=b,且OP=。+？rr*+r3,mRt则点6fsinBMsinA,P的轨迹一定通过SABC的（）A.重心B.内心C.外心D.垂心二、多选题（2023重庆实验外国语学校高一期中）22 .对于给定的AABC,其外心为O,重心为G,垂心为"，内心为Q,则下列结论正确的是（）C.HA+HB+HC=OB.GAGB=GAGC=GBGCD.若A、P、Q三点共线，则存在实数使AP=ABAC+ABIAC1J（2023.广东.东莞市光明中学高一阶段练习）23 .点O在,ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）B.若0AACIJAC1ABB,OB-BCBA=0,则点。是abc的内心.A.若QA+OB+OC=0,则点。是ABC的重心.C.若(OA+O6)A8=(O3+OC)8C=0,则点0是“8C的外心.D.若。4OB=O8OC=OCOA，则点。是J1Be的垂心.三、填空题24 .已知。是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足op=oboc+,b÷,c,/10,-HX),则动点P的轨迹一定通过2UABkOS8CcosCj.4BC的（填序号）.内心垂心重心外心参考答案:【详解】因为8A,CA=(18C-AD)(-,8C-AD)=44DC-36/O8C-4,BFCF=C-BC-AD)(-BC-AD)=4fdBC=-1因此产户=工,配J身,82【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解.2.B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A(O,J),6(-1,0),C(1O),设P(x,y),则PA=(-y),PB=(-xi-y)tPC=(1-x,-y),贝IJPA(PB÷PC)=2x2-2岛+2/=¾x2+(y-)2-J.当冗=0,y=正2时，取得最小值2x(-；)=-；故选：B.【分析】以aH,AQ为基底分别表示出AP,8P,再利用平面向量数量积的运算律即可解出.【详解】因为CP=3PD,所以AP=4。+。P=4O+1a4,413BP=AP-AB=AD+-AB-AB=AD一一AB,而APBQ=2,所以，44(4O+；A8)(AD-(AB)=2,化简得：52-fiD-×82=2,WABAD=22.故选：B.4. 9【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用4B4O=(A0+08)(A0+0O),求出O8=OO=4,再利用5COC=(3O+OC)(Oo+OC),运算可求出结果.【详解】在平面四边形48CD中，O为8。的中点，且。4=3,OC=5,.O8+Oo=O若ABAD=-7则(A0+04)(AO+OO)=a02+AOOD+AOQ8+O8QD=AO2+OA(OD+OB)-OB2=32-O2=-7».OB?=16，1081=OO|=4，BCDC=(BO+0C)(DO+OC)=BODO+BOOC+ODOC+OC2=-BCf+OC(BO+OD)+OC2=-42+O+52=9.故答案为：9【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.5. B【详解】试题分析：因为k4+人4=k4-所以A8_1AC，以点A为坐标原点，AB,AC分别为MN轴建立直角坐标系，设AB=(2,0),AC=(OJ),又E尸为BC的三等分点所以,【一题多解】+C=B-AC,5!Jab2+A(j2+2ABAC=AB2+AC2-2ABAC»即有4BAC=0,E尸为BC边的三等分点，则AE4尸=(4C+CE)(a8+8尸)=(AC+gc8)(AB+gBC)AC+AC+=24。2+2而+948."=2(+4)+0=",故选B.99
