专题2.10 已知不等恒成立讨论单调或最值（解析版）.docx

专题10已知不等恒成立，讨论单调或最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：分离参数+函数最值；直,接化为最值+分类讨论：。缩小范围+证明不等式；分离函数+数形结合。通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值,的优点是函数结构简单，是不等式.恒成立的通性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标。准。【典例指引】例1.设y="x)是g(x)=e在点(0,1)处的切线.(I)求y=(x)的解析式;()求证：/(x)g(x):(In)设MX)=g(x)+1n(x)-r,其中R.若(x)1对x0,+oo)恒成立，求的取值范围.【思路引导】(I)由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f(X)的解析式；(II)令MX)=求导证得n(x)n(0)=0;x+1,可得/(x)0,进而得MX)在区(111) x)=ev+a,当2时，由(I)得e*v7x+1间0,内)上单调递增，MX)z(0)=1恒成立，当>2时，可得(力在区间0,+8)上单调递增,存在(0,+8),使得力'(o)=O,(xo)<(O)=1,此时力(x)1不会恒成立，进而得的取值范围.试题解析：<I)设g(x)=e"则g'(x)=e"所以g'(0)=1,所以/(x)=x+1.(11) w(x)=g(x)-(x).m(%)满足m(0)=0,fiw,(x)=g,(x)-1=ex-1.当x<0时，M(X)<0,故m(x)单调递减；当X>0时，77,(x)>0,故m(x)单调递增.所以，/w(x)w(0)=0(Vx/?).学*科网所以f(x)g(x).<)MX)的定义域是乂忖一1，且川(力=3+9-4.当2时，由(I)得exx+1,所以z,(x)=exH-x+1da2-a0.x+1x+1所以MX)在区间m+8)上单调递增，所以MX)NMo)=I恒成立，符合题意.当。>2时，由xc0：+8),目"(x)的导数/(x)=ex-=(U)UO，+i)a+】)所以I(X)在区间O,+)上单调递增.因为Y(O)=2-<0,r(1)=->0,1+1na于是存在毛e(0,+8),使得“(毛)=0所以MX)在区间(0,七)上单调递减，在区间(如+8)上单调递增，所以()<(0)=b此时Mx)1不会恒成立，不符合题意.综上，4的取值范围是(2点睛：导数问题经常会遇见恒.成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若f)>°/(x)>0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为/(x)nin>,Wmm>,若/(x)<f(%)Vo恒成立Ofa)maxV0"x)a<0;(3)若X)>g(x)f(%)>g(%)恒成立，可转化为fWmin>g(x)max(需在同一处取得最值)f(%)min>9(，)max.例2.函数/(x)-Jn(w+1)(4工O).(I)讨论/(外的单调性；(II)若>O且满足。：对Wq,26(-1jp都有(j-/(K)IIiB-InJ试比较广，与J:的大小,并证明.【思路引导】(1)求出尸(x),讨论两种情况分别令1(x)>O可得增区间，/(x)<O可得得减区间；(2)由(I)知/(外在上单调递减，在0上单调递增，所以对V$，.卜1川，都有1/(“一PIn3一m2等价C：；鲁可得。斗令g3小外研究其单调性，可得HI)=火(I)=0,进而可得结果.e、”一一.ax、raxa(r+2)试题解析：(I),(,r)=1n(v+1)+-,/(-0=-÷7-B=T1-.v+1t÷1(v+1)(ar+1f当。>0时,fM>O,/'(X)单调递增，又/'(0)=0,所以当TTq时，v)<o,/(K)单调递遍；当工6。*0)时，V)>0,/O)单调递熠；当。<0时，Jr(X)<o,/'(X)单调递减，又/'(0)=0,所以当xw(-8,0)时，/'(X)>0,/(X)单调递增；当x(,-时，/'(幻<0,/3单调递减(II)当>0时,由-1之一1得1a由(I)知/(X)在-1O)上单调递减，在0,1上单调递增，所以对W,七w-U),都有|/«)一/区心也3-1112等价于夕)W3-E2,即)4号解"1学*科网10)-(0)n3-n1n(a÷1)1nv3令g(r)=x->h-1Injr,gV)=-f-=4°T"",Ve)IeJXea当JrdOJ时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当JrGjI-1y时，g'(x)>0，g(x)单调递增；。即n-(-1)ns>0,所以二9.学*科网例3.己知函数/(力二擀-1"R,e为自然对数的底数)在点(OJ(O)处的切线经过点(2,2).(I)讨论函数*x)=(x)+Qx(K)的单调性：(I1)若PxwR,不等式eV(x)c(x-1)+1恒成立，求实数C的取值范围.【思路引导】(I)求出,(x),由过点(O,b1),(2,-2)的直线的斜率为2二生±'义=一叱=/(0)=-6可得0-22b=1,讨论两种情况，分别由f'(x)>0得增区间，Ir(X)<0得减区间；(II)原不等式等价于不等式e*+cx-c0恒成立，利用导数研究g(x)=e*+cx-c的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：<1)因为"0)=6T,所以过点(0力-1),(2,-2)的直线的斜率为左=1一;二,2)=一空,而“力=一名，由导数的几何意义可知，"0)=-6=-空，所以6=1,所以f(x)=±-1.则e2e产(X)=OX+3T,尸'(x)=a-3,当0时，尸(x)<O,函数尸在及上单调递遍；当a>0时，ee由尸(x)=-±=0得X=Tna,当XW(YD1Ea)时，Fa)<0,函数尸(0单调递减，当eXW(Tn久钮)时，尸'(x)>0,函数尸单调递增.(II)不等式e"(x)c(x-1)+1恒成立，即不等式/+s-c0恒成立，设g(x)=e'jt-cx-c,x)=ex+c,若c0,则g'(x)>O,函数g(x)单调递烟”.不存住最小值，不满足题意；当c<0时，由g'(x)=F+c=O得X=InX(-c),学*科网当Xe(-,In(-C)时,(x)<0,g(x)单调递减,当e(皿-c),+)时，(x)>0,g(X)单调递增，所以g(x)g(In(F)=+dn(-c)-c=-2c+dn(-c),要使得g(x)O恒成立,只需-2c+c1n(-C)0恒成立，由于c<0,所以有1n(y)W2,解得-c<0,即当cc-J。时，g(x)0恒成立，即/+cx-cO恒成立，也即不等式<f(x)Wc(x-1)+1恒成立，所以实数C的取值范围为-a0).【新题展示】1.12019江苏常州上学期期末】已知函数m(x)=2,函数n(x)=a1nx+1(aCR).(1)若a=2,求曲线y=n(x施点(1,n(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)=m(x)-n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(3)若函数g()=n(x)-1+e'-exO对xG1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数，e2.71828)【思路引导】(1)代入值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；(2)求导数，通过讨论。的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求。的范围；(3)求g(x)解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定。的范围.【解析】，2.(1)当a=2时，n(x)=21nx+1,则n(x)=-,所以n(1)=1,n(1)=2，所以切线方程为y=2x-1r2、,，a2x-a(2)f()=x-a1n×-1,f(x)=2x-=，当a0时，*)>o恒成立，所以f(x)单调递增，因为f(1)=O,所以f(x)有唯一零点，即a0符合题意;当a>0时，令f'()=o，解得X=H列表如下:X岫(+Hf'(x)-0÷f()极小值71由表可知，f(x)min当1,即a=2时，R×)min=f(D=O,所以a=2符合题意;J2GD当F<1,即0<a<2时，f(aj<f(1)=O,*J22/.?13-1=ea>0,且e隈J所以e,<故存在Xea,1使得"1)"(1)=0,所以0<a<2不符题意;(iii)当即a>2时，f/M<f(1)=0,因为f(a-1)=(a-1)2-a1n(a-1)-1=a(a-2-1n(a-1)>设a-1=t>1,3-2-1(1)=t11t=h(t),1则h(t)=1->O,t所以h(t)单调递增，即h(t)>h(1)=O,所以f(a-1)>O,又因为a-1>1所以使得f(x2)=f(1)=0,所以a>2不符题意:综上,a的取值范围为(-8,ou2.<3)g(x)=a1nx+ex-ex,贝IJg(X)=一，(x)=e”4,xX当C耐，g(”O恒成立，所以g(x)单调递增，所以岭)Ng(D=0,即a2。符合题意；当a<00寸，g"()>0恒成立,所以g(X)单调递增，.a1-1n(e-a)又因为g(1)=a<O,g(1(e-a)=a=a>0,1n(e-a)1(e-a)所以存在XOW(IJna),使得g'(%)=0,且当xW(1,X°)时，b(x)<O,即g(x)tt(1,Xo)上单调递遍所以8(%)<取1)=。，即a<。不符题意J综上，a的取值范围为0,+8).2.12019安徽江淮十校联考】已知函数可)=a2+x1nx(a为常数，aR,e为自然对数的底数，e=2.71828.).(1)若函数小正时亘成立，求实数a的取值范围；f()若曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y=(2e+2)x"-e,kEz且k对任意x>1都成立，求k的最大值，【思路引导】(1)由题意转化为a£配恒成立，设g(x)=-核，求得导数和单调性，可得极值和最值，即可得到所求范围；××(2)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a=1,k<也对任意X>1都成立，可得k<立独XX-IX-I对X>1恒成立，设h(x)=/+JnX，x>1,求得导数，设k(x)=2-X-InX-1，×>1.求得导数，由零点存在定×-1理和单调性，可得h(x)的最小值，可得k的最大值.【解析】、Inx函数f(x)0t同成立，即ax?+x1nx0恒成立，可得a-一恒成立，XInx、InX-I设g(x)=-，g(x)=一丁，XX当0<x<e时，g'(×)<0,g(x)递减；当x>e时，g'(x)>O,g(x)递增,Ine11可得x=e处g(x)取得最小值，且g(e)=所以a-;e