专题2.9 函数图象高与低差值正负恒成立（解析版）.docx

专题09函数图象高与低，差值正负恒成立【题型综述】数形结合好方法：对于函数f(x)与g(x)的函数值大小问题，常常转化为函数y=(x)的图象在y=g(x)上方(或下方)的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数y=f(x)-g(X),即利用作差法，转化为论证恒成立问题.【典例指引】.例1.设函数/(x)=(1-1r)In(I+x).(1)若当0<x<1时，函数/(x)的图象恒在直线y=x上方，求实数机的取值范围;(2)求证:IOO1Y0004Io(Xb【思路引导】(1)将问题转化为不等式(ITnX)In(I+x)>x在0<<1上恒成立，求实数机的取值范围的问题。可构造函数F(X)=/(x)-x=(1-w)I(1+x)-x,经分类讨论得到尸(x)>0恒成立时机的取值范围即可。(2)先证明对于任意的正整数，不等式(1+：)5<e恒成立，即("+1)1n(1+1)-ICO恒成立，也(2(121即1+In1+<0恒成立，结合(1)的结论，当加二一一，/=一时5nJnJn52P(X)=1+x)1n(1+x)-x<0在x(,g上成立，然后令X=1("2)可得试题解析：令尸(X)=/(x)r=(1-F)III(I+4)r,贝IJ尸'(力=-w1n(1+x)+-1,1+x(x)=-w1n(1+x)+-1xe(OsI),1+xc/wx+2w÷1z,x则(力=-(+Je(Oj)当加-?时，有V(X)=一竺3±1o,于是Fa)在XW(U)上单调递增，从而2(1+x)(x)>F(O)=O,因此尸(%)在XW(OJ)上单调递增，所以尸(x)>尸=0,符合题意。当机0时，有/(X)=-竺吆M<0,于是F(X)在x(0,1)上单调递减，从而(1+。F(x)<T(O)=O,因此尸("在r(O,1)上单调递减，所以尸(X)<-0)=0,不合题意；当一;<m<0时，令/=min1,-2zw+1,则与x(O,o时，,(x)=_：+2-<°于是产'(力在x(0,ao上单调递减,从而9(X)VF'(0)=0,因此尸(x)在x(0,与上单调递减，所以尸(X)<F(0)=0,而且仅有/(O)=0,不合题意.综上所求实数机的取值范围是(-,-g.学*科网(2)对要证明的不等式等价变形如下：n+2对于任意的正整数，不等式(1+/)<e恒成立，即+一IeO恒成立“变形为。+2皿。+，一，<0恒成立，2在(1)中，令m=-gV5)n)5n)nJnXO=；,则得7(X)=1+x)1n(1+x)-X在x(,;上单调递减,所以F(X)CF(O)=0,即(1+2m(1+x)-x<O,5,I)I+1000jIO(X)<0.十口<0成立.n)n当=IOOo时，可得(1+二一1n(1I500OJI(o(IOO1An',0004即IOoO+In-1<0,所以e>成立。学*科网I5)UOoOjUoooJ点睛：本题难度较大，解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在(1)中将问题转化为不等式恒成立的问题处理，在解题中需要在对参数m分类讨论的基础上再求其值。(2)中的问题更是考查学,生的观察分析2z、十二问题的能力，在得到需要证明不等式卜+：15<e成立的基础上仍需作出相应的变形，并利用上一问的结论来解决，所以需要学生具有较强的想象力。例2.已知函数f(x)=1n(x+1)-ax,g()=心为常数，其中e是自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当x>0且a2时，函数f(x)的图象恒在g(x)的图象上方.【思路引导】(1)求出函数f(x)的导数f'(),利用导数判断f(x)的单调性，并求出单调区间；(2)构造函数h(x)=f(x)-g(x),利用导数证明h(x)ffi(O,+8)上为增函数，且求得h(0)=。得答案.试题解析：<Df(x)=-a=3(X(x>-1)当aOf1寸，贝犷(X)>0,增区间为(7,引；当a>00寸，令Rx)>0x<-bx+1×÷1a令f(x)<小导>>-1,所以增区间为卜1,一1卜减区间为(T,8(2)h(x)=f(x)-g(x)=1n(x+1)-ax+ex-1?贝IJh(X)=+e"-a,当as2且>>0时,exx+1>X+1h(x)=-e*-a+x+1-a2-a0,故h(x)为增函数,h(×)h(O)=O,由于x>0,所以f(x)>g(x)成立,x+1×÷1困数f(x)的图象恒在g(x)的图象上方。点睛：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：(1)确定f(x)的定义域；(2)计算导数f'();(3)求出f'()=o的根；(4)用f'(x)=O的根将f(x)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f'()的符号，进而确定f(x)的单调区间：f'(x)>(b则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；*)<S则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.例3.已知函数/(x)="2-1-241n(r)÷g,(力为其导函数设g(x)=(x)+J求函数g(x)的单调区间；(2)若a>0,设A($,/(%),B(,(x2)为函数/(%)图象上不同的两点，且满足/(x,)+(x2)=h设线段AB中点的横坐标为,证明：x0>1.【思路引导】(1)求出函数的导数，通过讨论Q的范围，尸(另>0得增区间，/'(x)<0得减区间即可；(2)问题转化为证明1一/(占)>/"|一超)(*)令/(X)=一)+()T=2y！21(2-0r)+tz2x-2Hnr,根据函数单调性证明即可.a试题解析：(1) g(x)=2x-2a1n0x+-,g'(x)=2=aax_2XX>0时，且(刈定义域为(0,+<®)O1j±g(x)<O,故g(x)在；0,j；上单调递减；WyI上g'()>0,故g()在(：田)上单调递增.<0时，g(x)定义域为(一0；-X,；上g,(x)>0,故g(x)在；一肛二：上单调递埼iij±g(x)<,故g(可在/,上单调递减-4.1X+X912(2) 法一:C1X>1<=>>-<=>>X)2aa0,故f(x)在定义域(O,+00)上单调递增.只需证：/(x1)>-x21即证1_/()>/(2马)(*)学*科网注意到f(xj+/(w)=IjM=不妨设O<玉<一<Z令F(X)=/(：-4+/(力一1=/(1._入.2an(2-ax)+a2x-2anax,XIhIm/12。2a2则F(X)=r7+=-×(2-or)X2-ax故尸(毛)<尸(J=O，即得(*)式.4(av)'11、OVX-从而F(X)在,÷oo上单减法二：*(x)=a2+4-=：-；0故f(x)在定义域(0,+)上单调递增.XxJ设Aa)a4(IY1+-2中心对称.，则双力单调递增且图象关于构造出数g(x)=(x)-/(x)当X>1时，g,(x)>0,g(x)单增；当O<x<1时，g'(x)<0,g(x)单减,aaK(x3)=/(x),(x4)=/(x2),则显然有%>冗3/2>%，x1+x2>x3+X4,22另外由三次函数Mx)的中心对称性可知W+z=，则有X,+X2>上学*科网【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数向题发挥着奇特功效，大大.提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.【新题展示】1【2019河南周口期末调研】已知函数f()=nx-(a+2)2-ax(aWR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意X6(0,+8),函数f(x)的图像不在X轴上方，求a的取值范围.【思路引导】(1)对函数求导，分当a2时和当a>2时，讨论导函数的正负，进而得到单调区间；(2)原式子等价于对任意XW(0,+8),都有f(x)O恒成立，即在(O,+-)上f(x)ma4°,按照第一问分的情况，继续讨论导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到函数的最值，得到结果.【解析】(1)函数f()的定义域为O+-),jet1、2(a+2)x2+ax-1(2×+1)(a+2)x-1f(x)-2(a+2)x-a.当a£2时，f(x)>O恒成立，函数"外的单调递增区间为(O,+-)当A2时，由f(x)=O,得X=或舍去),Wf(x)>0,得0<x<>由f(x)<O,得>a+2a*2所以取)的单调递增区间为单调递减区间为*-1.a2a÷2(2)对任意xW(0,+8),函数f(x)的图像不在X轴上方，等价于对任意XW(0,+8),都有f(x)O恒成立，即在(0z+oo)±f(x)ma0.由(1)知，当a-2时，f(x)在。+8)上是增函数，又f(1)=2(a+1)>0,不合题意；当a>-2时，f(x)在x=一处取得极大值也是最大值，f()=-1n(8+2)+1.11,11令u(a)=f()=-1n(a+2)+1(a>-2),所以U(a)=a+2a+2a+2(a+2)在(-2,+8)上，u(a)<0*u(a)是减函数.又u(-1)=0,所以要使得f(x)max°,须u(a)O,即a-1故a的取值范围为-1,+8).2.【2019北京东城区高三期末】已知函数f(X)=axex-x2-2x.(1)当a=1时，求曲线y=f(X)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)当x>0时，若曲线y=f(X)在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围.【思路引导】(1)根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；(2)根据题意，原问题可以转化为a>=亘成立，设gM=T，求出g(x)的导数，由exex函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答，案.【解析】(1)当a=1时,f()=xe-x2-2x?其导数f(x)=ex1)-2x-2,f(0)=-1.又因为*0)=0,所以曲线y-f(X)在点(0,f(0)处的切线方程为V="(2)根据题意，当>0时，”曲线yf(X)在直线V=7的上方等价于re1-2>-X恒成立”，X1又由x>0,则axex-2-2x>=ae-x-1>0=*a>-丁,e则原问题等价于a>T恒成立JeX+1，X设g()=,则g(x)=,XXee又由x>0,则