专题1.4 试试韦达定理+刘智勋.docx
1.4试试韦达定理若方程OX2+bx+c=0(a0,b24tjc>)有两个实根x,M，则OX2+bx+c=(一汨心一足)，比较bc系数可得玉+占=-巳=上，这个性质揭示了一元二次方程的根与系数的关系，称之为韦达定理.运aa用这个定理可以不解方程确定两根之和，两根之积与系数之间的关系，从而可以求出关于两根的对称式的值，得出系数的取值或取值范围，构造新的一元二次方程等等，下面分几种情形来说明.一、由韦达定理求有关两根的代数式的值2例1已知s,1是方程f6x+7=0的两根，且s>b不解方程求(1)sf；一+3户的值.s【解】由于5,t是方程-6x+7=0的两根，且S>tf由韦达定理可得s+=6,St=I,所以ST=J(STF=J(s+fI-4r=2后22(2)令A=+3/,B=-+352,则St4+8=2+2+3(/+产)=2(s+f)+3(s+f)2一2”=%stst722»22、2(-s)C,、,、2562CA-B=+3(r2-S2)=+3(f+s)QS)=Srst75fSf474+256222237-1282由+得2A=,故4=一+3/=7S72【注】在题中，由于*+3/是非对称式，因此采取“配对”的方法，引人与之对应的另一个非s2对称式*+3-,从而达到整个式子为对称式的目的.计算它们的和与差，利用基本对称式m+m.即X2,运t7用韦达定理最后求出-+3t2的值。s例2设Xi,是方程*一4如+2加2+3?-2=0的两个实根，当相为何值时，有最小值，试求这个最小值2解:因为/=16加一8(2加+3加一2)20,即一24"i+1620,解得"2-,又由题意得，%÷X2=2n,32m2+3m-2XX2=，故,>,/3V7x12+%2=(X1+/F_2x1x2=2m2-3m+2=21z-+72997R因"z*<1所以当"z=W时，x；+后有最小值2(*-')2+_;.=234334893【注】在运用韦达定理时，最容易忽视的条件是要在有实数根的前提下，本题也要防止出现当?=一时,47X；+4有最小值、的错误。二、由韦达定理构造方程来解题若X+x2=p,4X2=q,则可构造方程X2px+q=0(其两根为X1，及)来处理问题例3解方程(2+扬、+(2-石尸=4【分析】直接解方程比较难，观察到2+后与2-后互为倒数，可以得到(2+g)'(2-今"=1,再结合(2+3)j+(2-3)x=4,可以构造一元二次方程用韦达定理来解题【解】因为(2+招)(2-君)=1,(2+3)(2-3)j=1,令f=(2+3)b=(2-xa+b=4ab=2+3=2-3=2-30=2+6所以(2+石尸=2+后或(2+百)*=2-y3,解得x=1或X=-I三、用韦达定理解有关一元二次方程的整数根的问题例4设方程x2-px+夕=0,/一"+P=O的根都是正整数，求正整数P，4的值.【解】设X2px+夕=0的两根为X”X2，A2qx+p=0的两根为X3,A4，由韦达定理得为+%2=P,XIX2=4，右+必=4，X*C4=P，故X1+X2=XiX4VX3+x4=X1X2由得XX2XX2÷X3X4-X3XA0即(x-1)(x2-1)+fe-1)(4-1)=2因为为，X2，13，X4均为正整数，所以(x,-i%2-1)=2(x,-IXx2-1)=1(x1-IXx2-1)=0i(x3-1Xx4-1)=01(x3-1Xx4-1)=r1(x3-1Xx4-1)=2解得M+=p=5或x1x2=q=6玉+x2=P=4<x1x2=q=4或，xi+x2=p=5xix2=q=6或<7=42例5已知，“为整数，并且是关于X的方程f一号一x+R'+g)+*°的两根求，"的值.P2+11【解】由韦达定理得VP+好一15z、Pq=丁(p+q)+i64由知p+q>O,代入得的>。，故/>0，9>0由得16pq=60(p+q)+162,即(4-15)(4415)=481=1X481=13X37,J4p-15=1_f4p-15=481故或或，4-15=13_4p-15=37或-15=37-15=13p=44=124P=I24q=4P=74=13p=137=7-15=4814g-15=1代入得p2=1141(舍去)或p2=169,所以"=13,q=7,此时方程化为一20%+91=0,它的两根为13和7.所以,p=13,q=7.例6给定了ti(m>1)个二次三项式X2ax+b,，x2-anx+b,n其中2个实数内,»斯,b,，儿互不相同.试问：是否可能每个多项式的根都是白,，a,b,中的数？【解】假设有这样的可能性，那么由于0,，斯,仇，儿这2个实数互不相同，它们构成了个二次三项式的所有根的全体，其中每个二次三项式均有两个根，假设叫,是二次方程/一。泼+"=0的两个根，则由韦达定理知“=*+4，bi=aii,既然个二次三项式的所有根的全体就是。1，斯,加，瓦，所以就有Eai=E(%+4)=Z3+H)=Z4+Zar1Z=IZ=Ir1Z=I因此S>f=0.另一方面,有a；+0：=a+d)2-2%仇=a：-组Z=I从而支+好)=(2+A2)=(+2，)=%;J=If=11=1I=I这表明t>j=O,于是所有的A都为0,与题意相矛盾.从而本题的结论是否定的r=1【注】这里通过韦达定理的过渡，实现了总体和与部分和在代数上的相互衔接.练习1.41 .若a、b为正整数，试问：关于X的方程/一加犹+g(+9=0是否有两个正整数解？2 .当。为何值时，方程f+2以+24一=o至少有一个正根？3 .若m为负实数，求证：方程上+'一+-1W=O有两个符号相反的实数根，其中正根必小于-*?，Xx+mx+m32负根必大于-m234 .已知：方程X2+px+4=0的系数P与g被改变为新系数，新旧系数之间相差0.001.试问：新方程的较大根与旧方程较大根之间的差能否大于等于1000?5 .给定二次三项式/(x)=f+&r+b.现已知方程用3)=0有4个不同的实根,其中有两个根的和等于一1.证练习1.4x.+x1=ab1 .不妨设aWb,设方程的两个整数根为x1,x2(xy刈)，则1，所以X1X9=-(a+b)2x1x2-x1-X2=+b-ah即4(制-D(X21)+(2-1)(261)=5。因为,匕都是正整数，所以为，M均是整数，于是XI-Ieo且刈-120,且2。一121,2/?11,从而有：F(X1-I)(X9-I)=Of(x1-1)(x2-1)=1(2a-1)(2?-1)=51(2-1)(2/?-1)=1当前一个方程组成立时，由于。，b都是正整数且WA可得。=1,方=3,此时方程为f-3%+2=0,两根为修=1,X2=2;当后一个方程组成立时，同理可得=1,b=1,此时方程为f-+1=0,无整数解。综上所述，当且仅当。=1,8=3时原方程有整数解汨=1,x2=2=-4a2+402 .设原方程的两根总，也，分三种情况讨论：若两根皆为正，则,的+=一2。>0,解得x1x2=2a2-1>0-111a<0即一1。<若两根为一正一负，则xx2V0,即2a21<0,故上2a>W1a<22IX1+x7=-2a>022一J<<J(3)若两根一正一零，则1,2故。二一综上所述，一<J,22XW=2-1=022方程至少有一个正根3 .原方程两边同乘以X(X+M(x+"2)得/()=32+2m(M+1)x+"23=O，由于机V0,故0)=加W0,/(一m)=m2(-m)0,jnr=nr,(m1)0,所以方程与原方程同解。因为a=4"P(zw+1产葭3=4加2(源>0,所以原方程有两个不相等的实根，又x/2=g<°,故两根异号,设H>0,MV0,由于一R(0)=4/7?24,772a1IY1t2-(w+1)+am3=<0,所以OVX<一§机；4:7724)772、6r)-(w+1)+H3m3=一大_<0,所以一_1帆2<%2<0,从而原方程有两个符号相反的实根,22其中正根必小于一-m,而负根必大于-rn1334.可以。不妨设原来方程x2+px+夕=(x-r)2=0,则p=-2r且q=r2,设新方程2÷x+=(-)(-z)=0,取=r+103+103,r2=r-103,从而=-(r1+r2)=-2r-10夕'=q+103,若选取r,使10V=IO6+1+103即z=1()9+IO?+1,则这时有P=-2r=-2(IO9+IO?+独且q=()9+)3+1)2满足要求.5.将方程TW=O的两个根记为和C2,不妨设CNC2;将方程/(ZW)=O的两个和为-1的根记为由和Q易知方程用(X)=O的根的集合等于,/W=Ci与y=。的根的集合的并集.若即和X2是后两个方程之一的两个根，那么由韦达定理知一。=X+X2=-1,从而4=1.再由韦达定理知C+C2=-1,故有c.-,由题中条件知方程y=C2的判别式非负，所以1一4b+4c220,故8-'如果即和M24分别是两个方程的根，那么不失一般性，可以认为X：+ori+b=c，xa2+b=c1,将两式相加，得到xj2+X2+a(x÷X2)÷2Z?=c1+c2,由韦达定理知C+°2=-,由题意知加+必=一I，所以该式即为x：+x；+2b=0,即b=-幺；乜/(X+工2)144
