专题10 三角形的外心与内心+许欢.docx

10三角形的外心与内心三角形外接圆的圆心简称为外心，它是三角形三边垂直平分线的交点；三角形内切圆的圆心简称为内心,它是三角形三个内角的平分线的交点.三角形的外心和内心有许多有趣的性质，许多平面几何问题都涉及到它们，它们之间也互相有联系，关于外心和内心有如下常用的性质.外心的性质：性质1三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.性质2三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.性质3直角三角形的外心是斜边的中点；锐角三角形的外心在三角形的内部；钝角三角形的外心在三角形的外部.性质4设点。是三角形ABC的外心，则N8OC=2NA或NBOC=360。-2/4内心的性质：性质1三角形的内心是三角形的三条内角平分线的交点.性质2三角形的内心到三角形三边的距离相等.性质3设/为AABC内=点，A/所在直线交448C的外接圆于点O./为AABC内心的充要条件是/D=QB=OC性质4设/是/!BC的内心，则NwC=90。+,NA,ZCM=90°+-ZB,ZA=90°+-ZC.例1如图101,ZXABC中，三边上的高AD、BE、CF交于点H,连接OE、EF、FDf证明：H为AEFD的内心.BD图IOT证明因为Cr_1_AB于点尸，8E_1AC于点E,则B、F、E、C四点共圆，故NA尸E=NAC8,同理NBFo=NACB,即NAFE=N8FO,故NCFE=/CFD,从而CF平分NDFE,同理BE平分NOEF,A。平分N7）E,所以H为AEFD的内心.说明三角形的垂心（各边高的交点）是垂足三角形的内心，反映三角形“心”之间的内在联系.例2如图102,/为aABC的内心，BC=a,AC=b,AB=cfN4的平分线交BC于点K,交aABC的外接mi-r上C.1»-r-AIADD1bc1d求：*：一=K1DIDKa证明首先，连结。8、DC、BI、C1,由内心的性质3知。8=O=DC.其次，ZADB=ZCK,ZBAD=ZKAC,从而4084SckA,所以由型=且得KC=C4.°B=U(CKCAADAD同理由ABAKsXDkC得KB=BA匹=ADAD所以“=8c=KC+K8=酒+出=9+b)川从而丝=心ADADADDIa再次，注意到NKCO=N03C=Nf)AC,故KS/A0C,所以丝=空=必D1DKDK最后，根据角平分线的性质得当.=丝=4G=b+ac=史.IKBKCKBCaiAIADDIb+cKID1DKa说明这也是内心的一个很常用的性质.例3如图103,己知点"在AABC内部，且/8MC=90。+'N84C,又直线AM经过MC的外接圆圆2心0,求证：点M为AABC内心.图10-3证明连结8。、CO,则BO=OM=Ca从而NOBM=NOMB,NOCM=NOMC,从而ZBoC=NBOM+ZCOM=180o-2ZOf+180o-2ZC=360o-2ZC=180o-ZB4C,所以A、B、0、C四点共圆.结合OB=OC可得OA平分NBAC，也由于OB=OC,故/OBC=/OCB=NOAB.从而NA8M+NMAB=ZOMB=NMBo=NMBC+ZOBC,所以ZABM=ZMBC.即BM平分NA8C，由、得点M为AABC内心.例4如图104,设AABC的内心为/,连结A/与AABC的外接圆O交于另一点E,AE与BC交于点D设R、r分别是BC的外接圆与内切圆的半径.求证：(I)E为aBC/的外心；(2)AZ)AE=AB-AC：(3)AIE=2/?r：(A)OI2=R12Rr.证明连结BE、CE,因为EB=EC=EI,所以E为48C的外心.ADAB(2)因为Z148OsAEC,所以E=丝，gpADAE=ABAC.ACAE(3)过点/作/1AG垂足为E则/r=r.连结EO并延长，交圆。于点J,连结JC,则RfZA"'sRZjec,所以4£=工JEEC所以A/EC=JE/尸，由(1)知，EC=IEiftA1EC=IRr.(4)设直线O/与圆O交于点M、N,由(3)和相交弦定理，得2Rr=AIEC=IMIN=QR+01)(R-O1)=R2-OI2,所以O2=R2-2Rz.说明本题的结论都是基本的、重要的，请读者熟练掌握.(4)式称为欧拉公式，这是一个非常著名而有用的公式，用途颇广.图10-5例5如图10-5,设AKB1.CM是三角形48C的角平分线，K、1、M分别在BC、CA.AB上，又P、Q分别在B1、CM1.,使得AP=PK,AQ=QK,求证：2/%。=180。一/84。.证明连结PQ并延长交A4于点O,交AC于点E,连结K。、KE.因为AQ=QK,AP=PK则PQ垂直平分AK,即OE垂直平分AK,从而AADEgAKDE.故NA1)E=NKOE,NAED=NKEd,即OE平分NAz)K、ZAEK,结合BP平分NABC,CQ平分NAC8,知产为ABOK的旁心，。为ACEK的旁心，从而PK平分NOKC,QK平分NEKB.所以一方面NDKP+NEKQ=NDKE+ZPKQ=ZBAC-NB4Q,另一方面NDKP+/EKQ=；(NDKC+NEKB)=-(1800+NOKE)=-(180°+ZBAC),22从而2N¾Q=180。-NBAe说明利用“角平分线上的点到角的两边距离相等“这一基本性质我们容易得到：三角形一个内角的顶点与另外两个内角的平分线交点的连线平分该内角，三角形一个内角的顶点与另外两个外角的平分线交点的连线平分该内角，三角形一个内角的顶点与另外一个内角和一个外角的平分线交点的连线平分该内角的外角，这些结论是必须熟知的常用结论.例6如图106,在三角形ABC的外接圆的圆弧AB(不含点C)和圆弧BQ不含点A)上分别取点K和1,使得直线K1与直线AC平行.证明：AABK和aCB1的内心到圆弧AC(包含点8)的中点的距离相等.图10-6证明若AB=Bc则结论显然成立.下面不妨设A3VBC.用4、A分别表示AKB和aC1B的内心，分别连结劭.他并延长，它们与AABC的外接圆的另一个交点分别记为P、Q,设弧ABC的中点为R.由K1AC,得AK=C1,而P、Q分别为AK、。的中点，所以，RP=RQ,PA=QC.于是，由内心性质3知Hi=%=。=。".又NhPR=NhQR，所以，AhPRWAhQR,从而Ri=Rr.例7如图107,在AABC的边AB、BC、CA上分别取点F、。、E.证明：以AAEABFD.ACDE的外心为顶点的三角形与AABC相似.分析注意到E0尸=2NA,Noo2尸=2/8,ZDO3E=2ZC,所以/E。尸+NF。+NOQE=360。，从而No1尸02+/02。3+/03七0/=360。及4。£尸周围的三个等腰三角形，可考虑旋转，进而得解.证明设5、。2、。3是ABFD、ZXCDE的外心，连结O1ROiE、O2RO2D.O3D,O3E,由外心性质可知NEoIF=2NA,ZDO2F=2ZB,ZDO3E=2ZC.所以N£0声+N尸Q。+QE=360°,从而NoIFo2+ZO2DOi+ZO3E6>=360o.将AQOQ绕着点。3旋转到APEQ,连结PO,则NO1EP=360。-NPEO3NOEQ=3600-NQoQ-NO1EQ=ZOiFO2.又OIE=OiF,PE=OiD=OiF,所以APEOigZiOzFQ,进而可得AOiQQgAOiPOa.故NO2OO3=NPo1o3=-SOiOP=-(NOzOiE+NE。IP)22=-(ZO2OiF+ZFO1O2)=-ZEOiF=NA；22同理有NQo=NC故AOiaQsZXABC.例8如图108,在等腰三角形ABC中，AB=AC,有一个圆内切于448C的外接圆，并且与48、AC分别相切于P、Q,求证：P、Q两点连线的中点是aABC的内切圆圆心.A证明设。是两圆的切点，由圆和等腰三角形的对称性知，AO是AABC外接圆的直径，设E是Ao与P。的交点，由AP=AQ知，E为尸。的中点，且4EJ_PQ.因为弧PD=弧Q。，所以NOQC=NoPQ=NOQE又OQ是公共边，所以RfADQEWRfADQC,于是EQ=QC,从而NQEC=NQCEPQ/BC,所以NBCE=/QEC=NQCE,即CE是NBCA的平分线，故E是AABC的内心.说明事实上，当ABWAC时，结论也成立，这就是MaM加油定理，证明留给读者.例9如图109所示，圆。为AABC的外接圆，AM.AT分别为中线和角平分线，过点8和点C的圆。的切线相交于点P，连结4P,与BC和圆0分别相交于点D、E.求证：点下是三角形AME的内心.证明先证明AT是NMAE的角平分线.即证N84W=NCAP.作C凡1AB,垂足为F,连结MF,如图109,则/M=1BCMC,2又NBAC=NBCP,例10如图设/为448C的内心，。是AABC内部的一点,满足NPB4+ZPCa=ZPBC+ZPCB.求证：APAh并说明等号成立的充分必要条件是P=M图Io-I1证明设NA=,NB="ZC=y.由于NPBA+NPCA+NPBC+NPC8=a+/,由题设可得NPBe+NPCB=空力，所以，NBPC=兀一丝N=/8/C,由于P、/位于BC的同一侧，故22B、C、I、尸四点共圆，即点P在ABC/的外接圆上，由于MC=M8=M,所以M为aBCV的外接圆圆心，从而MP=MI.在aAPM中，有4P+PM2AM=A+M=4+PM,故AP24/.等号成立的充分必要条件是点尸位于线段4/上，即P=/.习题101已知A。、BE分别为AABC的角平分线，若O石平分NAOC,求NBAC.2已知点/是锐角AABC的内心，Ah&、G分别是/关于边8C、CA.AB的对称点，若点8在448G的外接圆上，求NA8C.3如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个一角形的内心.4如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上=点，正方形。EFG的一边。G在直径AB上，另一边OE过AABC的内切圆圆心J，且点E在半圆弧上.已知正方形。EPG的面积是100,求AABC的面积，5如图所示，在锐角AABC中，AM是BC边上的中线，X为分别过点8、C,且与AABC的外接圆O相切的直线的交点.求证：=cosZBAC.AX6如图，在aABC中，设AB>AC,过A作AABC的外接圆的切线/.又以A为圆心，4C为半径作圆分别交线段A4于点O,交直线/于点E、F.求证：直线。E、OF分别通过aABC的内心和边8C一侧的旁心.74BCO为一凸四边形，八、/2分别为£>BC的内心，过点八、K的直线分别交AB、OC于点E、F,分别延长AB和。C,它们相交于点P,且PE=PF,求证：A、B、C、。四点共圆.8/为AABC的内心，取ZX/BC、AICA.Z48的外心01、O2.O3求证：ZXO1O2O3与有公共的外心.A9已知AO为AABC的角平分线，取ZABCAABD、ZXADC的外心0、01、O2.求证：40002是等腰三角形.10已知A8、AC切G）O于8、C,过。A与BC的交点M任作。O的弦EF.求证：（I）ZXAE尸与AABC有公共的内心；（2）4AE尸与aABC有一个旁心重合,F习题10答案1 .8E平分NA8C,QE平分NAOC,所以E为aAOB的旁心，从而A七平分NB4。的外角，又A。平分NO