专题09 托勒密定理及其应用+盛锦.docx
9托勒密定理及其应用托勒密(Pto1emy)定理：圆内接四边形中，两条对角线长度之积等于两双对边乘积之和.如图9-1,ABc。是圆内接四边形，AC.3。为其对角线.求证：ACBD=ABCD-ADBC.证明如图9-1所示，作CE使得NBCE=NACO.因为NC4O=NC8O,所以AACDABCE.故CAD,即APBC=AC3E.BCBEAR又NBAC=BDC,ZACB=NDCE,所以AC8ADCE.故土=”,即CDDEABCd=ACOE由+得ABCD+ADBC=AC-DE+AC-BE=ACBD.托勒密定理的逆定理：凸四边形ABC。中，若两条对角线长度之积等于两双对边乘积之和，则四边形ABS内接于圆.推广的托勒密定理：凸四边形ABC。中，ABCD+ADBCACBD.(这两个定理读者可利用图9-2自证)托勒密定理也是直线形与圆形问题的媒介，是处理圆中相关线段问题的重要工具.例1如图93,A3C是正三角形，P是BC上任意一点.求证RA=P3+尸C.证明因为四边形ABPC内接于圆，所以ABCP+AC8P=AP8C,又AB-AC=BC,所以CP+BP=AP.A图9-3说明一般地，要证明线段的和、差关系，也常用截长补短法.如图9-3所示，(1)延长PB到。2使BD2=PC,证PA=Po2(2)在RA上截取P。=CP,证P。=CP.而应用托勒密定理，简洁明了，赏心悦目，读者可认真品味！例2设ABCDM是一个凸六边形，满足AB=BC=CD,DE=EF=FA,ZBCD=ZEFA=60.若G、，是六边形内的点，使得NAGB=NOHE=I20.证明：AG+GB+GH+DH+HECF.证明设X、y是六边形外的点，且使得A5XADEY、ADEY是正三角形.则六边形AgCDE/和£>3X4Ey全等，CF=XY.因为N4XB+NAGB=NOKE+NDHE=180,所以四边形AXBG和OHEY都是圆的内接四边形.由例I结论，知XG=AG+G8,HY=DH+HE.所以AG+G8+GH+XH+HE=XG+G4+HyNXy=b.例3如图9Y,点P在正方形ABC。的外接圆的弧QC上，求证：PA(PA+PC)=PB(PB+PD).D图9-4证明连结PA、PB设正方形边长为。，则在圆内接四边形ABCP中，PA×a+PC×a=PB×J1a,即PA+PC=加3.同理，在四边形ABP。中，PB+PD=血PA,所以把坐=丝口即PA(PA+PC)=P3(P8+尸。)例4如图9-5,已知AABC中，AB=AC,过点8作zABC外接圆的切线与C4延长线交于点尸，过点尸作圆的另一条切线尸。，切点为D,求空之值.图95解NPBA=NPCB,ZBPA=CPB,所以尸84"CB,同理连结A3,有PDAAPCD,结合PB=PD,我们有的=£1=3=餐，BpDACB=,由于CDPDPBCDBAcD例5如图9-6,非等腰三角形ABC,8C=g(A8+AC),点0、/分别是A5C地外心和内心.N84C的外角平分线交A5C的外接圆于点E.证明：0/=A£.2D图9-6证明连结4并延长交AABC的外接圆于点O.由于4与AE分别为NBAC的内外角平分线，故ZEAD=90.所以OE为外接圆的直径，即。在EO注意到4。为角平分线，/为内心，所以8O=O=DC.(见第3章例2)另一方面，在四边形ABCo中，由托勒密定理可知>A8+3O4C=BCA>,即BDABAC)=BCAD,结合已知条件，知AD=28。，从而/是A3中点.由于0、/分别是OE和A。的中点，故O=1ae.2例6已知AA2A3A4AAA7是正七边形.求证：=A1A2AA3A1A4证明如图9-7,由于AA2儿4444是正七边形，所以可作一个外接圆aI图9-7由托勒密定理知，圆内接四边形A44A中，A4A3A=AA3A1A+A3A4A4,又=1A1A2A1A5A1A4AyAttA,AqAqAA),A-A,所以AA4AA=AArAA+4444，即例7已知A48C与AVBrC的三边分别为。、b、C与"、b'、c,且NB=N",NA=NA'=180.求证：aa,=hh,+cc,.分析注意到等式形式与托勒密定理相似，结合N3=N9,NA=NA=I80,考虑构造圆使用托勒密定理.证明如图9-8,作AABC的外接圆，过点C作C。/AB交圆于点。，连结A。、BD.图9-8因为ZA+ZA'=180=ZA+NCDB,NBf=NB=/BCD,所以ZA'=NCD3,NB'=NBCD,所以AATrCADCB,于是A,BfB,C,AenrIc,d=即=-h,DCCBDBDCaDB所以OC=等，DB也在四边形ACBD中，由托勒密定理得ACBD+ABCD=ADBC,O1即力"+c耳=AO因为AB1cP,易知AD=BC=.即证。"+。乌=0.即aa,=bb,+cc,.例8已知AABC的NA、/B、NC的平分线分别交AM。的外接圆于点A、BrC1,记m=AAx+BBi+CC1,n=A8+BC+C4.试比较阳、的大小.解连结4乃、A1C,根据托勒密定理，有AAIBC=A5AC+ACA5,+(AB+AC)2A1注意到AxB=AxC,4。+43>3。故2例1>AC+AB,BC同理2BB>BC+AB,2CC1>CA+CB,三式加得tn>n.例9如图99,设/和O分别是AABC的内心和外心，求证：NAO90的充要条件是2BCAB-i-AC.证明延长A/与外接圆交于点。，连接80,CD,ODt图9-9则NAO90u>AOu>2.DI由内心的性质(见第3章例2)知，D1=DB=DC.结合托勒密定理得ADBC=ABCD+ACBD=ABDI+ACDI,fi.ac所以NAO90u>2W,故NAO90的充要条件是28CAB+AC.说明本题的关键BC是先把AIO90转换为AIID.例10等边AD所的顶点ZE、尸分别在ABC的边3C、C4、AB±,求证：AD+BE-CF<AB+BC+CA分析从结论来看，可考虑用推广的托勒密定理.证明四边形AEDF中，ADEFWAEDF+AFDE,注意到DE=DF=EF,所以ADAE+AF,同理3E3F+3D,CFCE+CD,从而AD+BE+CFAE+AF+BF+BD+CE+CD=AB+BC+CA,等号当且仅当四边形A瓦中、四边形BDEF、四边形CoFE都内接于圆，此时NA=NB=NC=I20,这与NA=N8=NC=180矛盾.故等号不能取到，所以AD+3E+CF<A8+3C+C4.习题91 .利用托勒密定理证明勾股定理.2 .(1)已知点尸在正方形AB8内部，。为正方形中心，且AP_1P8,若AP=4,PO=6枝,求边长AB；(2)设正方形ABCo内接于O。，P为弧。上一点，PA=yf2,PC=与,求PBPD.3 .过圆。的弧AB中点C作弦CO和CE,分别交AB于点尸、G.求证:7 FDGE+DEFG=DGEF.BOE的外接圆与AABC的外接圆的另一交点，求证:BF=AF+CF.5 .正七边形ABCDEFG中，AD=a,BG=b,求证：(a+b?(a-b)=ab?.6 .过平行四边形ABCO顶点A的圆分别交AB、AC.Ao于点RQ、R,求证:ARAC=AB-AP+ADAQ8 .已知P是正五边形ABCOE外接圆的弧4B上一点，证明：PC+PE=PA+PB+PD9 .圆内接凸六边形ABCDE5中，(1)若BA=AF=FE=a，ED=DC=CB=b,求CF,BF；(2)证明:ADBEcF=ABCDEF+BCDEAF+ABFCED+BCADEF+CDBEAF10 .由A3C外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与48作垂线PK、P1和PM,求证:BCACAB=1.PKP1PM11 .A8C中AB=1AC=2以BC为边向三角形外作正方形BCDE,连结40、AE,求AD+AE的最大值.习题91 .若R5C中，NB为直角.以AC为直径作R/AABC的外接圆.连结点5和圆心并延长交圆于点D,则四边形43CO为矩形.由托勒密定理，ABcD+ADBC=ACBD,即A8?+.2 .(1)由于。为正方形43C。的中心，APA-PB,所以NAPB=NAO8=90,从而A、P、0、B四点共圆，故AP08+P0A5=A0P8,又在正方形中有AO=O8=立AB,于是P8=16,所以2AB=yAP2+PB2=42+162=47.(2)由于四边形PABC内接于圆，则PABC+PCAB=PBAC,四边形B43C内接于圆，则PBAD+PDAB=PABD,注意到6ab=6bc=6ad=ac=bd,及pa=0pc=,所以pb=3,pd=1,从而2223PBPD=143 .NEGA=AoE+8C)=AoE+AC)=/EzMC=I80-NEOC,所以EOFG共圆.从而FDGE+DEFG=DGEF.4 .连结E/、DF,则NFCA=NFBA=/FDE,4DEF=/DBF=4FAC,AFCEFD,从而变二匹=竺=攵，由于四边形8。FEAFCACF内接于圆，则BFDE=EFBD+BEDF,仄而kCABF=kAFBD+kCFBE,由于kAC=kBE=kBDOt于是6jF=AF+CF.5 .在圆内接四边形B£>£4中，BDAE+ABDE=ADBE,在圆内接四边形ABZ)G中，ABDG+AG-BD=AD-BG,注意到BE=AE=DG=AD=a,BD=BG=b,AB=DE=AG»所以+ABa+ABb=ab,消去AB整理即得(。+/(一冲=.6 .连结QR、RP、QP,则易知NPQR=NQAR=NA8,/RPQ=NRAQ,所以APQRMCD,从而隼=第=老=4，即PQ=乂C，PR=kAD,QR=kCD,由于四边形A依Q内接于圆，则ARpQ=QRAP+PRAQ,从而AAAC=&AA2+MOAQ,ABCD为平行四边形，故AB=CD,且20,所以ARAC=ABAP+ADAQ.(第曦)7 .设正五边形边长为。，对角线长为，在圆内接四边形尸3。中，PCBD=BCPD+PBCD,在圆内接四边形R4ED中，PEAD=PDAE+PADE,在圆内接四边形PC。E中，PDcE=PCDE+PECD,即6尸。=(尸。+。3)；bPE=a(PD+P)；bPD=a(PC+PE),从2而b(PC+PE)=a(PA+PB+PD)+aPD=a(PA+PB+PD)+繁PC+PE),于是(Z?2-a2)(PC+PE)=ab(PA+PB+PD),易知在等腰三角形ACQ中，顶角为36,底角为72,作NACD的平分线C尸交AO于点F,则易得Ab=Cr=CO=。，故FD=一。，且ACH)CO,从而四=C£,即"3=解得从一/=工0,所以pc+pe=Q4+pb+7)CDADab8 .(D易知NABC=NFEO=120,用余弦定理可得AC=£>2=/?+"+/,在圆内接四边形ACZ)F中，CF2=CFAD=AFCD+ACFD,解得Q7=+O,在圆内接四边形ABCr中
