12 平行四边形+黄海良录入.docx

平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形有下述基本性质：性质1平行四边形的两组对边分别平行，且两组对边分别相等.性质2平行四边形的对角相等，两邻角互补.性质3平行四边形的两条对角线互相平分.性质4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.性质5过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成全等的两部分图形.性质6设P是平行四边形ABCO对角线外任一点，则2%2+2P。一AeZ=2PB2+2PD2BD2.事实上，在AR1C和aPBO中同时计算中线OP,有1(A/+PC2)-AC2=OP2=-(PB2+PD2)-2424BU,整理即得上述结论.性质7平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积.性质8平行四边形两对角线长的平方和等于4条边长的平方和.对于平行四边形A8CZ),判定它是平行四边形除关于对角线交点成中心对称图形以外,还有五种方法：(1)两组对边分别平行：ABCD,AD/BCi(2)一组对边平行且相等：AB/CDf且A8=CZ(3)两组对边分别相等：AB=CD,AD=BCi(4)两组对角分别相等：ZA=ZC,NB=NO;(5)两条对角线相互平分：OA=OC,OB=OD(0为对角线AC和Bo的交点).从这五种方法中不难发现，每一种判定方法都是两个独立的条件，而这些条件实际上是下列条件的组合：一组对边平行；一组对边相等；一组对角相等；一条对角线平分另一条对角线.例1如图12-1,平行四边形ABCD的对角线相交于点0,在AB的延长线上任取一点E,连接OE交BC于点、F,若A8=,AD=c,BE=b,WJBF=.(2001年山东省竞赛题)图12-1解：填空a+2b理由：过点E作EGCB与。8的延长线交于点G,则由ABEGsADCB,有2=笠，从而CE=-.aca7rhGBBEBEb右GB2bhOBaBDDCABaOBaOGa+2b由EG尸8,有些=丝，故BF="GE=.GEOGOGa+2b例2如图12-2,已知平行四边形ABCO内一点，0为AC与B。的交点，M,N分别为PB,PC的中点，。为AN与Z)M的交点.求证：(I)P,Q,0三点在一条宜线上；(2)PQ=2OQ.(1998全国联赛题)D图12-2证明：连PO,设Po与4MDM分别交于。、Q，连接AP,PQ.在用C中，由Ao=OC,PN=NC,知为。'为必。的重心，且尸Q'=20。'，从而丝=2=理，OQOQ"注意到Q,'Q均在O尸上，即一丝一二一竺一亦即丝=丝二OQ,+PQ,OQ"+PQ"OPOP故。'，Q"重合，即Q',Q就是4N,DM的交点Q,即P,Q,O在一条直线上.且PQ=20Q.例3如图12-3,在平行四边形ABC。中，是8。的等分点，连接A，并延长交BC于点E,连接AK-2并延长交CD于点F.求证：(1)EF/BD；(2)设平行四边形的面积为S.若EF=IS,求的值.(2001年山东省竞赛题)图12-3解：（1）又ADBC,AB/DC,知4一2尸4京_248,P2BE<,P2DA,从而92=丝2=4二2,组.=空,=。，即有色2=丝.，WEF/BD.Pn-FP,1-2D2P2EP2B2P_2FP2E由嘘=F即蹩=偿）二从而Si=（卜”七斗?又.SAM=gsAe=gs,且匕鸟，Kt是8。的等分点,由，Te-S=-J-S,整理得2-4-12=0,解得=6,=一2(舍).IJ8n2故=6为所求例4在平行四边形ABC。中，ABBC,已知对角线长度之比AC:HD=k,设射线AM和射线4。关于直线AC为对称，射线和射线BC关于直线8。为对称，M为射线4例和的交点，求之上.(第BM16届全俄数学奥林匹克题)M图12-4解：由题设AAWAC=4),有AB>AD,ABvB力两种情况，图形不同，解答过程也有所差异.我们就AB>皮)给出解答.如图12-4,连OM,则NMAo=NoAO,4MBO4CBO.设4DA0=a,4CB0=0ZADO=B、4AOB=a+BZAMA=360。一NMAO-NMB。一ZAO8=360。-2-2£.注意到。到AO和AM,BC和8M,AO和BC等距离，表明。到AM和BM等距，即MO平分NAMA.NAO=gNAM8=180-尸=NAoD,类似地NaWO="OC,于是ZA8AW,BOCsBMO,由此得4竺=(丝例5(1)(2)(3)(4)(5)(6)对于下列猜想，正确的给出证明，错误的举出反例.一组对边平行,一组对边平行,一组对边相等,一组对边相等,一组对边平行,BMB0)一组对角相等的四边形是平行四边形；另一组对边相等的四边形是平行四边形；一组对角相等的四边形是平行四边形；一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.解：(1)正确.如图12-5(1),设.AB"CD,NA=NC此时，NA与NO互补，NB与NC互补，从而，NB=ND故四边形ABCz)是平行四边形.(2)错误.如图12-5(2),在四边形ABCO中，AD/BC,AB=DC,但四边形ABCO不是平行四边形.(3)错误.如图12-5(3),在四边形ABCO中，AB=CD,NB=N。，但是四边形不是平行四边形.(构造办法：作aABC和AAOC,使得AB=CO,AC=AC,ZB=ZD,ABAD,然后将AC重合，得四边形ABCo)图12-5(1)图12-5(2)图12-5(3)(4)错误.如图12-6(1)在四边形ABC。中，AD=BC,Ao=OC,但是四边形不是平行四边形.(构造方法：作平行四边形ABa),在Oe上取点B或延长。9至B,使得BC=BC,连AB即得)(5)正确.如图12-6(2),在四边形ABCO中，AB/CD,AC平分BO于0(即。炉0。).在a48和4OCO中，由ABCO,有NABO=NCDO,nbao=ndco,又o*od,则aA8gXCZ),从而QA=OC,故四边形A8CZ)是平行四边形.D图12-5(1)图12-5(2)图12-5(3)(6)当相等的对角的顶点连线的对角线被另一条对角线平分时，错误.如图12-6(3),ABOAADC,08:00,但是四边形不是平行四边形.当NA81NAOC,且QA=OC时，是平行四边形，这可用反证法证明.(略)例6如图12-7,四边形ABCO的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AO于点E,交BC于点F,若PE=PF,且AP+A后CP+C尸，证明四边形ABCO为平行四边形.(2007年江西省竞赛题)解：在RbPC的延长线上分别取点M,M使AM=AECN=CF,则PM=PM于是四边形EMsV为平行四边形，有NAME=NCNF,且44VE,ZXCN/均为等腰三角形，即N%E=NPCR从而ME四ZPCF,有力二PC故四边形AFCE为平行四边形，即AECE因此，NPED=NPFB,即有aPED/ZPFB,从而尸炉PD即对角线AC,8。相互平分.于是，知四边形ABCO为平行四边形.例7在凸四边形ABCD的边AB和BC上,取点E和F,使线段DE和DF把对角线AC三等分.已知：ADE和aCOF的面积等于四边形ABCD的面积的14求证：四边形ABCO是平行四边形.(第16解全俄数学奥林匹克题)图12-8证法1先证E、尸分别是AB和8C的中点.设DE,DF父AC于尸，。，由Ap=QC可知SMPD=,cqdf又由已知SMDE=S得ape=S4cqf,因此，E,尸到AC的距离相等，所以E尸Ae且有豆更="I=竺=区殷1=左SACDFFCEAS>ade于是，SABCD=S&BDE+SWDF+S&CDF+ADE=(+i)(scdf+SAADE)=5(2+从而1=g(A+1),得右1,即知BE=E4,Bp=PC.又产。为48PC的中位线，所以8P尸D类似,有BP/ED.所以，四边形BQDP为平行四边形.从而它的两条对角线在交点M处互相平分,即有8M=MO,PM=MQ.又由A片QG得AM=MC因此，四边形ABCo是平行四边形.证法2设OE,。尸分别交4C于P,Q,两对角线交于M,要证ABCD是平行四边形，即要证AM=MC(或PM=MQ)且BM=MD.对48AM与截线EPZX以及对CM与截线尸QD,分别应用梅涅劳斯定理，得BEAPMD,BFCQMD1.=1,=1(*)EAPMDBFCQMDB乂由SACDF=SDE»Saadp=S&CDQ(向底等SJ)知Saaep=Scfq.AP=CQ,故有EFAC从而殷="，显然还有竺2=M2,故由(*)式可得丝=丝，EAFCDBDBPMQMBPPM=QM,也即A=.由上式可知S丛BD=CBD2BCD,由题设，SADE=ISABCD,故知BE=EA.这样(*)可写成些皿=1.2必=1,故"2=_1,即8M=MD.从而A8CO是平行四边形.EAPMDBDBDB2在求解某些平面几何题时，若能根据题设发掘或构造出平行四边形，常常可使问题简捷获解.例如，由于平行四边形对角线互相平分，因此在遇到求证同一直线上有公共端点的两条线段相等时，发掘或构造出平行四边形常是求解关键；由于平行四边形对边相等，为了使离散的线段“凑”到一起.也可以发掘或构造出平行四边形把线段“送”到恰当的位置；由于平行四边形对边平行，发掘或构造出平行四边形有可能产生大量的比例关系，从而为线段的转化提供多种途径：由于平行四边形是中心对称图形，发掘或构造出平行四边形，有可能产生一些全等或相似，得到角的等量关系、面积倍分关系等等.例8四边形ABCD两对角线AC,BD的长分别为e,f,两对角线夹角为6求证：S,wo,=efsine.(参见公式(11-1)图12-9证明如图12-9,分别过B,D作AC的平行线，又分别过A,C作BD的平行线得平行四边形PQMN.于是PQ=AC=e,PN=BD=f,PQ与PN的夹角为9.由平行四边形的面积公式，知Spqmn=PQPNsin6=sin。.例9设ABCD为凸四边形，在其对角线AC上取两点K和M,在对角线BD上取两点P和T,使得AK=MC=-AC,BP=TD=iBD.过AD和BC的中点连一直线.求证：该直线经过PM和KT的中点.（第17届全44俄数学奥林匹克题）图12-10证明设BC,DA的中点分别是瓦，D1,两条对角线AC,BD的中点分别是X,Y.下面证明用"经过PM和KT的中点.设B1A与线段PM,KT和XY分别交于E,F,0.在.ABC和ABD中，由中位线定理，得4'么,4垃少了，从而四边形BXRy是平行四边形.=2=于是，线段XY被点0所平分.因此，PO是BXY的中位线，是BXC的中位线.从而,四边形BjPOM是平行四边形.由此即知E为PM的中点.同理，点F是KT的中点.于是，瓦A过PM和KT的中点.例10如图12-11,任意五边形ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB,CD,BC,DE的中点，K,1分别为MN,PQ的中点.求证：K1/AE,且K1=AE.（2001年天津市竞赛题）证明连BE