08 直角三角形+詹纲键录入.docx

8直角三角形直角三角形是指有一个角等于90°的三角形.直角三角形有下列基本性质：性质1直角三角形的两个锐角互余.性质2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质3等腰直角三角形的每个锐角都等于45°.性质4在一个角等于30°的直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半.性质5(勾股定理)在直角三角形A8C中，ZC=90o,AB2=AC2+BC2.性质6在直角三角形ABC中，ZC=90o,CO1AB于。，则(1) RtACDRtCBDRtABC;(2) AC2=AB-AD,BC2=BA-BD,CD1=AD-DB;(3) Sabc=-AC-BC=-ABCD.22性质7(广勾股定理)设。是直角三角形A8C(NC=90°)的直角边8C所在直线上一点(异于8),则AB2=DB2-DA22DBDC.事实上，当点。在BC边的延长线上时，如图81(1).由勾股定理，有AB2=BC2-CA2=BC2-DA2-DC2=(BC2+DC2+2BCDC+DA1-2DC1-2BCDC=(BC+DC)2+DA2-2(DC+BC)-DC=DB2+DA1-2DB-DC.当点。在边BC上时，如图81(2).类似地，有AB2=(BC2-DC2-2BCDC)+DA22DC2+2BCDC=(BC-DQ2+DA2+2(BC-DC)DC=DB2+DA2+2DBDC.当点。在边BC的反向延长线上时，也可证得AB?=DBji-DA1+2DBDC.注在图81中，若点。与点。重合，则。C=0,有A82=BC2+Ad,此即为勾股定理.此性质也可运用余弦定理及锐角的三角函数知识推证.判定一个三角形是否为直角三角形，除了运用定义，即说明有一个角为90°外，还可运用下述结论判定.勾股定理的逆定理一个三角形的两条边长的平方和等于第三条边长的平方，则这个三角形为宜角三角形.(2)一个三角形的一边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形为直角三角形.(3)一个三角形的最长边的边长等于最短边的边长的两倍，且最短边所对的角为30°,则此三角形为直角三角形.除了上述判定方法外，我们在这一节还介绍几个在某些条件下，三角形也为直角三角形的例题.例I在aABC中，若CD_1A8于。，且满足条件(I)AC2=AOA8；或-A8；或(3)Cf>2=AO-08,则aABC为直角三角形，且C为直角预点.图8-2证明如图82,仅证(1),(2乂3)证法类同.由4C2=aqa8,有4£=处.又乙4公用，则ADCACB,ABAC而NAOC=90°,故NACB=90°.这说明aABC是直角三角形，且C为直角顶点.,反之，若COBD例2在三角形ABC中，C£>_1AB于O,若NC=90°,则丝=空，绘CD2ADCD21.A8于。，且牛=越或生.=空，则NC=90°.CD2ADCD2BD证明如图82,由题设有BC2=AB-DB及CD1=AD-DB,.BbAB故一7=CD2AD日Iff1-T田AC2AB问理可得一7=CD2BDa.BC2ABBC2-CD2AB-ADhBD2DB0八D小柘一反N,由一7=,有；=,即一7=，即CD-=ADDB.由例1CD2ADCD2ADCD2AD结论知NC=90°.同理，证得其余结论.例3在非等腰三角形ABC中，Czr148于。，若NC=90°,则W=42,反之，若CQ_1BC2DBa2ADAB于。，且X="，则NC=90°BC2DB证明仅证后部分.如图82,由题设可得AD心_心+cd?DBBC2CD2+DB2>因此(CD2-AOOB)(AO一。B)=0.而AOWOB.即有CD2=AO-。8.由例1结论知ZC=90o例4在aABC中，。为边A8上异于端点的任一点，若NC=90°,则(ABCD)2=(ACBD)2+(BCAD)2.反之，结论也成立.证明如图83,作8KDC交AC的延长线于K,则BK=也*CD,CK=AC饰ADAD由8C_1AK,有BK2=CK2+BC.将(X)代人上式，即有(ABCD)2=(ACBD)2+(BC-AD)2.反之，令BC=a,AC=b,AB=c,CD=1AD=n,DB=m.在ABOC与aAOC中应用余弦定理，2,222>21得-m+-=-cosNCDB=cosZCDA=2m12n1注意到m+=c,上式化简，得(f÷cmn=na2+mb1.从而C2/2÷C7Z=(/+，汕2)(?+)=nu(a1+b2)÷Z?2nr+crrr而由题设，有C2A=ZA7F+/,于是c2=/+加.即AABC中，ZC=90o例5在aABC中，若NC=90°,则角C的平分线CT平分AB边上的中线CM与高线C”所夹的角，反之，结论也成立.证明如图84,由ZB=ZACH=ZMCB,及ZACT=ZTCB即得ZMCT=ZTCH.或者由NHCB=900N8=90°-ZAMC=ZACM,2及ZACT=ZTCB即得NMCT=ZTCH.反之，作aABC的外接圆，延长CT交圆于。，连A。、BD,如图84.由NAcT=NTC8,有40=DB.从而OM_1AB.又CH_1A8,P1JDM/HC,ZTDM=ZTCH=NMCT,故MD=MC,即知M为aABC的外接圆的圆心，即有MA=MB=MC,故AACB为直角三角形.例6在AABC中，内切圆切A8于。.若NC=90°,则SziA8C=AO。&反之，结论也成立.证明如图85.设内切圆的半径为r,则由题设有Ao+r=AC,DB+r=BC,从而-(D+r)(DB+r)=-ACBC22=Saabc=-(AC+BC÷)r=(D+DB+r)r2展开即得AD-DB=(AD+DB+r)=Sabc反之，设内切圆切BC于E,切AC于尸.设Ao=A尸=x,BD=BE=y,CE=CF=Z.作CM_1AB于M,则CM2=BC2一BM2=AC2AM2.即(y+z)2(y+DM)2=(x÷2)2*(x±DM)2.从而DM=±Z(Xy)x+yC2=(y÷z)2-y2x+y且SAABC=CMABf2若SfBC=ADDB,则-CM2AB2=AIJ2DB2.即41(X+y)2(y+z)2-y-12=2.j24x+y化简，得(x+z尸+(y+Z尸=(x+y产，即序+层=d,.所以aABC中，NC=90°例7ZXABC的周长是24,M是AB的中点，MC=M=5,则aABC的面积是().A.12B.16C.24D.30(1999年全国联赛题)解选C理由：由M是AB中点，MC=MA=MB,知NACB=90°已知周长是24,则AC+BC=14,AC2+BC2=102.于是2AC8C=(AC+8C)2(AC?÷C2)=142-102=4×24.故SAASC=1AC-8C=24.2例8如图86.在aABC中，ZABC=90°,。是AC中点，BE±BD,与CA的延长线交于E,下列结论中正确的是().A.ABEDsABCA.BEABCD.C.1ABEsABCEd.BEC<DBC(2002年江苏省竞赛题)解选C理由：由题意得NA8E=90°-ZABD=ZDBc.又因为。为心ZA8C斜边AC的中点，故/DBC=/DCB.于是，ZABE=ZBCDt所以AABEsABCE.例9如图87,在RtZiABC中，ZACB=90o,点。在边CA上，CD=1DA=3,且NBoC=3ZBAC,求8C的长.(2009年上海竞赛题)解由NBZ)C=3NB4C,知NA8D=2N8AC.过点B作NA8。的平分线交DA于E,!1JAEB为等腰三角形.令AE=X.则BE=x,且DE=3-x.分别对aEBC,ZXABC应用广勾股定理，有=BE=DB1+DE+2DEOC=BD2+(3工产+2(3即8D2=8x-15.及A"=。"+OA2+2OAOC=8-15+9+2X3=8x.又由角平分线性质，有空=匹，即竺1"=包三，解得工=2.ABEA8xX211从而BC=BD2-CD2=8x-16=生叵为所求.H例10在aABC中，ZA=75o,ZB=35o,D是边BC上一点,BD=ICD.求证：AD1=(AC+BD)(AC-CD).(2008年我爱数学夏令营试题)图8-8证明如图88,延长Be至E,使CE=AC,连结AE.由题设NC=70°,则NE=35°=ZB,即知aABE为等腰三角形.过点A作AM"1BE于M,则M为BE的中点，取BO的中点凡则BF=尸D=OC对心ZXABM的直角边BM所在直线上的点。应用广勾股定理，有AB2=CA2+CB22CBCM=CA2+CB(CB-CM-CM)=CA2+CB(BM-CM)=CA2+CB(EM-CM)=CA2+CB-CE=CA2+CB-CA又在RtZAFM,RtZXACM中，分别对点。应用广勾股定理，有AF2=DF2+DA2+2DFDM,C2=DC2+DA22DCDM.此两式相加，得AF2+AC2=2Cf>2+2AD2同理，在用ZXABM,改ZXAOM中分别对点尸应用广勾股定理，有AB1=FA+FB1+2FB-FM,AD2=FA1+Fb2-2FDFM此两式相加，得AB2+AD1=2AF2+2CD2.由，得2AC2+AB2=6CD1+3Af>2.将式代人式并注意BC=3CD,得AC2+AC-CD=2CD2+AD2.AD1=AC2+ACCD-2CD1=(AC+2CD)(AC-CD)=(AC+BD)(AC-CD).例11如图89,已知在aABC中，NAC8=90°.当点。在斜边AB上(不含端点)时，求证：c02d2=ad-bd;BC2AB(2)当点。与点A重合时，(1)中的等式是否成立？请说明理由；(3)当点。在BA的延长线上时，(1)中的等式是否成立？请说明理由.(2003年“77?U1y信利杯”联赛题)解法1(1)作OE_1BC于E,由勾股定理，得CD2一BD2=(CE2+DE2)-(BE2+DE2)=CE1-BEi=(CE-BE)-BC.-e.CD2-BD2CE-BECEBEBC2BCBCBC因O£Ae则在=处，.故BCABBCABCD?-BI)?_AD_BD_AD-BDBC2ABAB-AB'(2)当点。与点A重合时，AO=O,CD=AC,BD=AB.所以CD2-BD2AC2-AB2BC2,=-=1BC2BC2BC2AD-BD_AB_1AB一AB故中的等式成立.当点。在84的延长线上时，如图810,作OE_1BG交BC的延长线于点E,则CD?-BD?CE?-BE?BC2BC2CE+BE12CE=-=I-BCBC故中的等式不成立.解法2(1)如图811,过C作CE_18O于E,则由直角三角形相似有8C2=R48E.对RtACDE的直角边DE延长线上的点B应用广勾股定理，有Ca=BC7bA-