03 函数与一元二次方程+范朝晖录入.docx

3函数与一元二次方程一、求一元二次方程的解:方程O?+以+c=o()称为一元二次方程，一元二次方程是中学代数的重要内容之一，它与函数、不等式有密切的联系.求一元二次方程解的主要方法有：配方法、公式法和因式分解法.其中配方法世界一元二次方程的基本方法.而公式法是由配方法演绎的，可以得到一元二次方程的求根公式%=心吗三(从-440).有时也用因式分解解一元二次方程，也就是如果一元二次方程的两根为由、x2,那么就有基本等式0r2+x÷c=(x-x)(x-%2)(«0).这是一个非常有用的等式.二、根的判别式我们把A=-4c叫做一元二次方程+公+c=0(0)根的判别式，根的判别式有以下性质：(1)方程由两个不相等的实数根OA>0;(2)方程由两个相等的实数根=(3)方程没有实数根。<.由此可知，的正负性关联着一元二次方程有无实数根.三、韦达定理若一元二次方程ar?+bx+c=O(aO)由两个根加、必则工I、物与方程的系数a、b、。之间有以下关系：hrxXi+X2=a<为.12=2a这是法国数学家韦达(15401603)发现的定理.如果给定一元二次方程0Y+"+c=0(。H0),那么与式成立；反过来，如果两个数的和为?，积为，那么这两个数十方程2-a+，尸0的两个跟.利用这一基本常识可以简捷的处理问题.更一般地，如果一元次方程*x"+。/+。0=0(。“HO)的根为加、-2，Xn，那么有+X”=%xx2+xx3+=-i111，a*-3X1X2与+X1X2乙+-21-1=，例1解方程，_|2%一1|一4=0分析这是含绝对值符号的方程，需要找出Zi-I的零点，再加以讨论.解当x!时，原方程化为2X2-(2-1)-4=0,整理得2x-3=0,解得X1=3,M=-I(舍去)当v!时，原方程化为2X2+(2x-1)-4=0,整理得x2+2-5=0,解得X1=-1-V,X2=-1+V6(舍去)所以原方程的解为x=3,x2=-1-6.例2若。2_初+=0,求为3-8/+4+4的值.(重庆初三数学竞赛)a2+解因为a2-3+1=O即cr=3«-13/-8«2+a+-3a2+1=3(31)8(3a-1)+4于是=92-26«+8+-a=9(3a-1)-26a+8+-又a2+1=3a则+-=3故原式等于2.评注此题若用求根公式把。算出，在带入所求得式子，则比较繁琐.处理这类型的题目，可以通过对所求式子的“将次”，从而起到简化运算的作用.例3解关于X的方程(in-1)2+(2加一1卜+m-3=O解对小讨论(1)当m=-1,原方程为x-2=0,x=2(2)当w1,原方程为一元二次方程，可得=(2m-1)2-4(/«=12n-11.当a<U时，<(),方程无实根；12当m=U时，=(),方程有两个相等的实数根；121 -2m_“而刁=5当机>u时，>o,方程由两个不相等的实数根；12(1-2w)±12w-112 2-1)例4若方程G-Ik2-4)=攵有4个非零实数根，且它们在数轴上对应的4个点等距排列，求2的值.(全国初中数学竞赛题)解法一令2=f,则原方程为(/-1)(卜4)=匕整理得2-5r+4-=0,则有求根公式和题意得5±9+41八廿2>0所以4个非零实数根分别为由题意它们在数轴上对应的点等距排列，所以得到C5-y9+4k5+J9+4k3V-2-72化简得k=-4解法二由题意，4个非零实数根在数轴上对应的4个等距点中有两对关于原点对称，则可令G-Ik2_4)一=(x+3或1+-Cix-3«)即X4-5x2+4-=x4-10a2x2+9«4于是有解得10«2=59/=4-kkJ4例5在直角坐标系中，抛物线丁=一+"?X一（加2（相>0）与X轴交予4、8两点，若a、8两点到原点的距离分别为。4、OB,且满足-=求机的值.OBOA3分析根据?为正数的条件，先判断A、B两点的位置，从而把距离。4、OB用其坐标表示.解设方程+m一二m2=0的两根分别为4、K?,且V2,则有K1+X2=-"?V0，X1-X2"/<440.11O所以jV0,X2>0,由=一，可知。4>OB,又机>0,所以抛物线的对称轴在y轴的OBOA3左侧，于是OA=x11=-AT1,OB=X2，则有1121=,x1X23即+&=Tn=2XiXj323tn4解得m=2.例6己知方程+（2k-）x-k+=0（1）当为何值时，方程有一根为正、一根为负？（2）当A为何值时，方程两根都为正数？（3）当A为何值时，方程有一根大于1、一根小于1?解设方程的两根为由、必，（1）由题意得=（2-1）2-4×（-+1）>01x2=-Z:+1<0解得k）1（2）由题意得=4攵2-30*x1+x2=1-2%>0凡必=一%+1>0解得k-2（3）由题意得（x1-1Xx2-1）<0由韦达定理得(-k+1)-(1-2k)+KO所以kV-1评注实际上，在处理“方程的两个根为一正一负”这样的题目时，可以直接由XT2=£VO来解,a不需要>().在处理“两根中一根比某数。大，一根比某数。小”的情况时，可用-Xx2-)<0来解决若要求“方程的两根都大于某数“，则可用AK),(阳-0)+(x2-)>0(X1axX2-。)>0这3个不等式来解决.注意千万不要用A0,孙4仑。2,x+%22,这样是错误的.例7求方程x+y=，一孙+/+的实数解解将原方程看作关于X的一元二次方程X2-(>'+1)x+y2-y+1=0要使此方程有实数解，则=(y+1)2-4(y2-y+1)=-3y2+6y3=-3(y-1)2o因为-3(y-1)20所以1I：评注在求解二元二次(或含字母)方程时，其基本思路之一，就是根据方程有实数解，运用判别式分离变元然后逐一讨论，求得结果.例8设。、力是方程+68x+1=0的两个跟，c、d是方程x?-86x+1=0的两个根，求(+b)(Hc)(d)(M)的值.分析题目中有4个字母4、b、C、",则根据韦达定理，先转化为2个字母的式子，在利用条件来解决.解：根据韦达定理有Cd=/,+方=-65,则(a+c)(b+c)(a-d)(b-d)=ab+(a+b)c+c2ab-(a+b)d+d2,代入得Ca+c)(b+c)(a-d)(b-d)=(1-68c+c2)-(1+68d+d2)t又因为c、d是方程x2-86x+=0的两个根，则c2-86x+1=0=>c2-68c+1=18c.同理出+684+1=1544所以(+c)(HC)(")(b-d)=18c154t=2772.例9在满足(x-3)2+0-3)2=6的所有实数对(x,y)中，求上的最大值.X分析粗看此题似乎无法解，符合条件的实数对(x,y)有无数对，相应的上值无法一一求出比较.X为了解决这个题目，我们这里可以引进比值/=2，将之转化为关于X的二次方程.X解设片2,则产戊，代入己知等式，整理为关于X的二次方程X因为此方程有实数解，则=36(/+1)2-4×12×(2+1)0.整理为2-6+1O,解得3-23+22,所以上的最大值为3+2拒X评注例9通过构造一个二次方程，创造出利用根的判别式的条件，从而求得最值，这在求一些最值的题目中经常用到.例10设方程J-+同=4只有三个不想等的实数根，求的值利相应的3个根.(重庆初中竞赛题)解法一方程+耐=4等价于如下两个方程：x2+o-4=0,x2+ax+4=0,设出是方程的根，则X+OXq-4=0.Xq+OXf)+4又=Xj+ax0-4+8=80故W一定不是方程的根，即方程和无相同的根.由于原方程只有3个不相等的实数跟，故必有且只有一个方程(或)有重根.因为1=a2+16>02=a2-160故知可能是42=0,则a=±4.当=4时，方程的根为-2,方程的根为-2±2近；当=-4时，方程的根为2,方程的根为2±2.综上可得，当=4时，3个根为2、-2±22；当=4时，3个根为2、2±22.解法二设力=|/+闻，”=4,则原方程有3个不相等的实数根，等价于函数M=产+同和”=4的图像有3个不同的交点，而M=,+闻的图像是把函数M=X2+如的图像X轴下方的部分关于X轴对称地翻上去，如图3-1,根据图像，要有3个不同交点，则当且仅当解得=±4.以下和解法一相同可求出相应的三个根.图3-1例11若（7、b、c、d>0,证明：在方程-X2+y2a+bx+>cd=O>2-X2+y2b+cx+yad=O2-X2+J2c+dx+J岫=O2-X2+y2d+ax+>Jbc=O2中，至少有两个方程有两个不相等的实数根.（黄冈初中数学竞赛）解设这四个方程的判别式分别为4、4、，4、4，则1=j2a+-4××ycd=2a+b-2>cd2=2b+c-4×-×V=2b+C-2yad3=(X2c+d1一4XgXyab=2c+J-2yab4=(J2d+J-4XgX4bc=2d+a-14bc而+j=2a÷h-2JCd+2c+d-2ch=-+fc-j+。+c>O(§)2+4=2Z?+c2-ad+2d+a-2yhc=-yd）+（Vc-4b+b+d>O若Am40,则4+40,这与式矛盾，故4和d3中必有一个大于零.同理A2和4中也必有一个大于零，故4、2、3、4中至少有两个大于零，即所得的四个方程中至少有两个方程有两个不相等的实数根.评注因本题中的。、b.C.d是轮换对称的，故单独去判断四个方程的判别式是否大于零，则较困难.所以本题的关键是判断4+4和2、4是大于零的，从而起到柳暗花明又一村的效果.例12已知方程/+%+。2。3=O与方程/+。21+。1。3=O有且只有一个非零公共根，求证：这两个方程的另两个根（除去公共根外）是方程/+&工+q。2=0的两个根.（山东省初中数学竞赛）证明设a、B是方程，+a/+%=O的两个根，a、Y是方程，=O的两个根，则得到a2+a1a+a2a3=Oa2+a2a+axa3-0两式相减得（-。2）+。3（。2-。1）=0因为a1a2所以。二。3，又因为=4243,=03,则=42,=1.把带入方程X2+aix+a2a3=0所以得到+=a2+ai=-Ci3y=a2ai由韦达定理可知，p、Y是方程，+%工+4出=0的两个根.例13已知方程f+px+g=0的两个根为1