复旦大学博弈论第三章习题.docx
问题1:假如开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能确定，即下图中、人数值不确定。试争论本博弈有哪几种可能的结果。假如本博弈中的“威逼”和“承诺”。< 0,不借一不分一不打；O<6Z<1,且62,借一不分一打；c>,且b>2,借一不分一打(a,Z?);。>0,且b<2,借一分一(2, 2)问题2：三寡头市场需求函数P = 100。，其中。是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。假如厂商1和厂商2同时打算产量，厂商3依据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利涧是多少？% = (1°°cici%)勿 - 20=(98-q-q2%)弓% = (1-d - % %)% -2% =(98 一 5 一% 一 )%万3 =(1 Q q0 私)%2% (98 q一% 一%)名= 0,=>% = (98-1 -%)2代入,% =(98-% -%=i2,42 =(98-0-%)%/2网= 0, = 0,得如=4=98/3,如=49/3 x =4；=4802/9,不；=2401/9。问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所'*J' O(1)若和人分别等于100和150,该博弈的子博弈完善纳什均衡是什么？(2) L-N-T是否可能成为该博弈的子博弈完善纳什均衡路径，为什么？(3)在什么状况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？z 、50, 300(纵b)(1)博弈方1在第一阶段选择R,在第三阶段选择S,博弈方2在其次阶段选择Mo(2)不行能。L N 7带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论。和Z?是什么数值，该路径都不能构成Nash均衡，不能成为子博弈完善Nash均衡。(3)由于L-N-T不是本博弈的子博弈完善Nash均衡，因此博弈方2不行能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为L-N-S9要使该路径成为子博弈完善Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必需> 300力 300。问题4:企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的状况下的利润如以下得益矩阵所示。假如企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在打算产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清晰。(1)用扩展型表示这一博弈。(2)这一博弈的子博弈完善纳什均衡是什么？(500, 500)甲低高乙乙高低高低(1000, 700)(700, 1000) z 、(600, 600)企业乙企业甲rj档低档鬲档500, 5001000, 700低档700, 1000600, 600扩展型表示的博弈若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元.所以:甲的策略为:选择生产高档产品;乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档,乙选择高档。本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。问题5:乙向甲索要1000元，并且威逼甲假如不给就与他同归于尽。当然甲不肯定信任乙的威逼。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完善纳什均衡。甲(-1000, 1000)两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施）实施的威逼不行信，甲在第一阶段选择不给，乙在其次阶段不实施（生命诚珍贵）；这是子博弈完善纳什均衡；另一个（给,实施）不行信。问题6:两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是41 =一（ 一+ c）2+q ,企业2的利润函数是1 =q-b）2 + p,其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。求：(1)(2)(3)(4)是否存在参数。,"c的特定值或范使两个企业两个企业同时决策的纯策略纳什均衡;企业1先决策的子博弈完善纳什均衡;企业2先决策的子博弈完善纳什均衡;都盼望自己先决策？= -2(- aq + c) = 0p = ab-c,q = c解：G) dp,解得:等= _2(q b) = Uoqx-b.1-ab-c(2) 7 二 一2 3 = 0,代入得到qrl =-(p-ab + c)2 +b 9 -=-2Cp-ab + c) = 0 9 得dpp = ab-c9企业1的子博弈完善纳什均衡企业1的定价p = ab-c9企业2的定价q = 8,利润也与(1)相同。与同时选择无异。(3)将 = q-c代入71、 (q by + p = -( q + aq c% = 2(q 与+ = 0,解得q = q + " 代入得q2a1p =- ab-c* a21 =-ab-c> ah-c2 42 - + b>b,(4)只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激励。当幺+ b-c>h-cn1O,企业2盼望先决策;4当b>" + b时，企业1盼望先决策，只要。<0都盼望自2己先决策。2b > O,- + b> Q,ab-c> 0,- + ab-c>09 因此当24a < O,b > -9和c < 4。时都能满意，这样才参数范围都盼望自2己先决策。问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为P(Q) = a 其中Q = 41 + % + %，0是厂商1的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数j 没有固定成本。假如厂商1先选择产量1，厂商2和厂商3观看到1后同时选择和名,问它们各自的产量和利润是多少？解:7ii (-c) 一(1 % %)/ i = 1,2,3加9 -A- = _ c _ % _ 2% _ % = 0-= a-c-qi-q2-2q3=O% =%, 代入得巧= -(a-c-ql)ql= -(a-c), 代入得：q； = q； =L(a-c)dqx 26 = -(a-c)2,t = -(a-c)2,t = -(a-c)2,122 363 36问题8:考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前状况下的生产成本都是c = 2。企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到c = l,该项技术需要投资/。在企业1作出是否投资的决策(企业2可以观看到)后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为p(q) = 14-q,其中p是市场价格，q是两个企业的总产量。问上述投资额/处于什么水平常，企业1会选择引进新技术？解：以未引进技术为基准 二(141 一%)1 2% 人。多 。肛 n 徨,令一l = - = 0,仔2 = (14-1 -q2)q2 -2%dq q2d =% = 4,=> ?=%=16假如引进技术，%=Q4f /»2 =(14 1令普福犯得1411, 196 £,% =,=> 兀、 j3319只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即196 , “ - 一 /16,即 / <9哑-16 =当时企业1才会引进新技术。问题9：假如同学在考试之前全面复习，考好的概率为90%,假如同学只复习一部分重点，则有50%的概率考好。全面复习花费的时间4=1。0小时，重点复习只需要花费%2=20小时。同学的效用函数为：U=W-2e9其中W是考试成果，有凹凸两种分数叱和叱，e为努力学习的时间。问老师如何才能促使同学全面复习？解：同学全面复习的期望得益ux = 0.9 × (叱一 200) + 0.1×(wz - 200) = 0.9w + 0.1 wz - 200同学重点复习的期望得益u2 = 0.5x（叫40） + 0.5×（） -40） = 0.5w/? + 0.5“ 40依据激励相容的条件，ulu2,所以有09叱? +0.1 叱2000.5wz +0.5 叱-40所以：0.4（得一叱） 160故：wh -wl 400奖学金与学习成果全面挂钩，才能激励同学的学习；单靠成问题10:某人正在打一场官司，不请律师确定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢,律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。假如诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。由于托付方无法监督律师的工作，因此双方商定依据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%,失败则律师一分钱也得不到。假如律师的效用函数为.m-0.05e,其中m是酬劳，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。解：第三阶段，律师努力的期望得益：0.5x20 0.5x5 = 7.5不努力的期望得益：0.15x24.5 0.85x05 = 325满意激励相容约束其次阶段：7.5>3.25&7.5>5接受托付并努力工作第一阶段：托付，接受托付，代理人努力工作，那么0.5×225 + 0.5×0 = 112.5>0托付是必定的选择。打官司的人提出托付，律师接受托付并努力工作。(225, 20)(0, -5)(0, -0.5)(225, 24.5)
