2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第六章 1-2 乘法公式与事件的独立性 学案.docx

1.2乘法公式与事件的独立性学习目标1结合古典概型，会用乘法公式计算概率2理解两个事件相互独立的概念3理解事件的独立性与条件概率的关系.【导语】常言道：“三个臭皮匠能抵诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.605,0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？一、概率的乘法公式问题I小明在登录邮箱时发现忘了密码的最后一位，只记得是数字09中的任意一个.那么他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？,b-9xz11提"io×9=io【知识梳理】乘法公式：P(A8)=P(A)P(BIA)(其中P(A)>O),P(AB)=P(B)P(AI8)(其中P(B)>O).例1一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求：(1)第一次取得白球的概率；(2)两次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.解设事件A表示“第一次取得白球”，事件B表示“第二次取得白球“，则事件下表示“第一次取得黑球”，由题意得，C63P(AF=亍(2)P(4B)=尸(A)P(S1A)=464(3)尸(AB)=P(A)P(BA)=而乂§=记.反思感悟概率的乘法公式(1)公式P(AB)=P(A)P(B1A)反映了知二求一的方程思想.(2)该概率公式可以推广为P(AA2A3)=P(A1)P(A2A)P(A3H1A2),其中P(A1)>O,P(AiA2)X).跟踪训练1已知某品牌的手机从Im高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5,当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3,试求这样的手机从Im高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.解设事件Ai表示“第i次掉落手机屏幕没有碎掉“，i=1,2,则由已知可得P(AD=O.5,P(A2Ai)=O.3,因此由乘法公式可得P(A2Ai)=P(A,)P(A2Ai)=O.5×O.3=O.15.即这样的手机从Im高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.二、条件概率与相互独立事件的关系问题2三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件4的发生会影响事件B发生的概率吗？提示有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学的抽奖结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率.于是P(BIA)=P(B),P(AB)=P(A)P(3H)=P(A)P(8).t知识梳理11 .如果事件4(或8)是否发生对事件8(或A)发生的概率姬影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件.2 .两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)P(B).注意点：如果A与8相互独立，那么A与N,又与8,与9也都相互独立.例2判断下列事件是否相互独立：(1)甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，”从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以两个事件相互独立.(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为宗若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出I个，取出的仍是白球”的概率为今若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为点可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不相互独立.反思感悟两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.(2)定义法：当P(AB)=P(4)P(B)时，事件A,8相互独立.(3)条件概率法：当尸(4)乂)时，可用P(BIA)=P(8)判断.跟踪训练2设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；(2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率.解设事件A表示“第一次未摸到白球”，事件8表示“第二次未摸到白球“，事件C表示“第三次摸到白球”，则事件“第三次才摸到白球”可表示为48C(1)有放回时，882P(A)=正，P(A)=j,P(C1A8)=而，P(ABC)=P(CIAB)P(BIA)P(A)-101010125(2)不放回时，872P(A)=而，P(B1A)=§,P(CAB)=P(ABC)=P(C1AB)P(BH)P(A)_2V7V_8_2_-8910-45三、相互独立事件发生的概率例3根据资料统计，某市车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲种保险与购买乙种保险相互独立.(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.解记事件A表示“购买甲种保险"，事件B表示“购买乙种保险”，则由题意得A与8,A与石，不与B,石与彳都是相互独立事件，且P(A)=O.5,P(B)=0.6.(1)记事件C表示“同时购买甲、乙两种保险”，则C=ABf所以尸(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)记事件。表示“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D=Bt所以P(D)=P(AB)=P(A)P(B)=(10.5)X0.6=0.3.反思感悟求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件是相互独立的.(2)再确定各事件会同时发生.(3)先求每个事件发生的概率，再求两个概率之积.跟踪训练3小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,070.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.解用A,8,C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则P(A)=O.8,P(B)=O.7,P(O=O.9,所以P(7")=0.2,P(E)=O.3,P(C)=0.(1)由题意得A,8,C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P=P(工8C)+P(A9O+P(ABC)=P(T)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.2×0.7X0.9+0.8×0.3X0.9÷0.8×0.7X0.1=0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1-P(ABC)=-P(A)P(B)P(C)=1-0.2×03×0.1=0.994.课堂小结1 .知识清单：(1)概率乘法公式：P(AB)=P(A)P(BH)=P(B)P(A1B).(2)事件A与事件8相互独立OP(AB)=P(A)P(B).2 .方法归纳：正难则反.3 .常见误区：判断事件是否为独立事件.随堂演练1 .袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，记事件A表示“第一次摸得白球”，用事件B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件答案D解析根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件.I22 .已知P(BH)=JP(A)=亍则P(A8)等于()a6b10cd答案C1 22解析P(AB)=P(BIA)P(A)=§X5=行.3 .甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为()A.0.64B.0.32C.0.56D.0.48答案B解析设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A下')，另一种是甲未击中乙击中(即工8),根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A石与了8是互斥的，所以所求概率为P=P(B)+P(TB)=P(A)P(B)÷P(T)P()=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.32.4 .国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为:，当假定三人的行动相互之间没有影响，那么国庆假期内至少有1人去北京旅游的概率为.3答案5解析因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为今I9q所以他们不去北京旅游的概率分别为多本4-52343所以至少有1人去北京旅游的概率为P=I-××7=.