2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第六章 3-2 离散型随机变量的方差 学案.docx
3.2离散型随机变量的方差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念2能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.【导语】均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.本节我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度一方差进行研究.一、离散型随机变量的方差问题1A,8两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表:A机床次品数X0123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试想利用什么指标可以比较A,8两台机床的加工质量？提示EX1=OXo.7+1X0.2+2X0.06+3X0.04=0.44.X2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工水平,可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性.【知识梳理】若离散型随机变量X的分布列如表：XXX2XiXnPP1P2PiPn则®一破)2描述了双j=,2,，湘对于均值EX的傀离程度，而OX=E(X")2=,华一EX)2p,为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，我们称。X为随机变量X的方差,其算术平方根啊为随机变量X的标暹差，记作”.注意点：方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散.例1已知随机变量X的分布列为XO1XP1213P2若EX=',求OX的值.解由T+g+p=,得P=1112又EX=0×2÷1x=2.22>3J22-35-9=1-6DX=(-)2×+f1反思感悟求离散型随机变量的方差的方法(1)根据题目条件先求分布列.(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差.跟踪训练1(1)设离散型随机变量X的分布列为X1234P141314则OX等于（）2912117917a12d144c144ij12答案C解析由题意知，111129EX=IXW+2X+3X%+4XZ=五，故DX=（笥切+6-急”"B-笥&+（4稳）2号=Ig(2)在一组样本数据中，1,234出现的频率分别为“，p2,p3,P4,且5产1,则下面四种情产I形中，对应样本的标准差最大的一组是()A. P1=p4=.1,P2=PS=0.4B. p=p4=O.4,p2=p3=O.1C.p=p4=O.2,p2=p3=03D.p=p4=0.3,p2=p3=O.2答案B解析X的可能取值为123,4,四种情形的均值EX=IXP+2Xp2+3Xp3+4Xp4都为2.5,方差DX=(-EX)2×p+(2-EX)2×p2+(3-EX)2×p3+(4-EX)2×p4t标准差为5NA选项的方差OX=O.65；B选项的方差DX=1.85；C选项的方差OX=I.05；D选项的方差OX=145.所以选项B的情形对应样本的标准差最大.二、方差的简单应用问题2若随机变量X的方差为。X,y=X+"小b为常数),你能推导出OX与Oy的关系吗？提示Ey=aEX+b,/.DY=D(aX÷?)=(v-baEX-b)2p÷(ax2÷Z?-aEX-b)1p2HF(ax,-b-aEX-b)2pn=(axaEX)2p÷(0x2aEX)2p2÷÷(ax,taEX)1pn=a2DX.【知识梳理】离散型随机变量的方差的性质设小力为常数，则OmX+b)=匹*拉C=。(其中C为常数).例2已知随机变量X的分布列如下：X-1O1P214a(1)求乂2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y=4X+3,求丫的均值和方差.解(1)由分布列的性质知T+:+=1,故=/从而2的分布列为X2O1P1434(2)由(1)知a=,所以X的均值EX=(-1)×÷O×+1X；=一；.故DX=(T+2扛(0+?2乂+(1÷)2×=-.(3)因为随机变量y=4X+3,所以Ey=4EX+3=2,Oy=420x=11反思感悟求随机变量Y=aX+b方差的方法求随机变量y=x+/，的方差，一种方法是先求丫的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式qX+,)=o求解.跟踪训练2已知随机变量,7的分布列为O10205060P1325115215115求的方差；(2)设y=2"-E",求。上12121解(1).£>7=0X?+10Xg+20Xb+50Xe+60Xe=16,12121D=(0-16)2×5+(10-16)2×+(20-16)2×-+(50-16)2×-+(60-16)2×-=384,(2)VY=2-Et/.DY=D(2-E=2=4X384=1536.三、方差的实际应用例3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等,两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为0123P0.30.30.20.2012P0.10.50.4试评定两个保护区的管理水平.解甲保护区的违规次数J的均值和方差分别为f=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区的违规次数的均值和方差分别为助=OXO.1+1XO.5+2XO.4=1.3,Z>7=(O-1.3)2×O.1+(1-1.3)2×O.5+(2-1.3)2×O.4=O.41.因为E=E,D>D,所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.反思感悟均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析.跟踪训练3某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地，每大块地分为小块地，在总共2小块地中，随机选小块地种植品种甲，另外小块地种植品种乙.假设=4,在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列、均值及方差.解X可能的取值为0,1,2,3,4,且P(X=O)=4号，P(X=I)=譬喙P(X-2)-Ca-35,(XT)-Cg-35,P(=4)=表.即X的分布列为X01234P1708351835835170jQIQQIEX=O×5÷1×T7÷2×÷3×+4×77=2,/U/U1Q1QQ1ADX=(O-2>X诃+(1-2)2乂4+(2-2)2乂4+(3-2)2乂方+(4-2)2乂而=亍.课堂小结1 .知识清单：(1)离散型随机变量的方差.(2)方差的应用.2 .方法归纳：公式法、数学建模.3 .常见误区：方差公式的应用与计算易出现错误.随堂演练1 .已知随机变量X的分布列为P(X=A)=/女=3,6,9,则拉X等于()A.6B.9C.3D.4答案A解析因为EX=3X<+6xJ+9xg=6.所以DX=I×(3-6)2+(6-6)2+(9-6)2=6.2 .从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X=1,取到白球，。，取到红球，则X的方差Z)X等于()abcd答案A73解析由题意，得P(X=O)=m，P(X=1)=,故X的分布列为XO1P7To310所以ex=dx=x（o一粉+x（-）=热.己知离散型随机变量X的分布列为则其方差OX等于()A.IB.0.6C.2.44D.2.4答案C解析由分布列的性质知0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,所以EX=IXo.5+3X0.3+5X0.2=2.4,所以DX=（1一2.4）2XQ5+（3-2.4）2X03+（5-2.4）2X0.2=2.44.3 .已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX=O,DX=1,则=,b=X-1012PabC1V2答案ir11(5+b+c=五，。=而解析由题意知-6f+c+=0,解得11iI+c+w=1,C=T.
