2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第六章 3-1 离散型随机变量的均值 学案.docx

第六章概率§3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值学习目标1.通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值2理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.【导语】在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件，那么如何比较两个选手射击的技术水平呢？如何选择优秀运动员才能使获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识，今天我们就来一起学习一下！一、离散型随机变量的均值问题I某商场为满足市场需求要将单价分别为18元kg,24元Zkg,36元Zkg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记。为这颗糖果的单价（元kg）,你能写出。的分布列吗？.18×3+24×2+36×111I1I一提示I94_.=18×t+24×t÷36×7=23（兀kg）.。的分布列为182436P1213J6【知识梳理】1 .设离散型随机变量X的分布列为XXiX2XiXnPP1P2PiPn则称EX=X0+x2"2FXWwHH为随机变量X的均值或数学期望（简称圉堡）.均值EX刻画的是X取值的“中心位置”.2 .若随机变量X服从参数为P的两点分布，则石X=OX(I0+1义=R注意点：(1)分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平.(2)随机变量的分布完全确定了它的均值，两个不同的分布可以有相同的均值.例1袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.解取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8,1835,CICt4P(X=5)=行，P(X=6)=CjC112CicS1P(=7)=-r=-,P(X=8)=-r=35故X的分布列为X5678P435183512351354IR1?144；EX=5X行+6X行+7X行+8X行=了.反思感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X=k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义EX=KIP1+彳乎2H卜XiPiT-p,求EX.跟踪训练1某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为|,且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.解根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为-4,136.“(x=-4)=(-)×(-)×(-)=,2121121117P(X=1)=3×5×3+3×2×3÷3×2×3=18tP(X=3)=z××+×1×+××1=',x=6)=×1×1=1.X的分布列为X-4136P7Ti718.*.EX=(-4)×+1×+3×+6×=y.二、均值的简单应用问题2若X,y都是离散型随机变量，且y=X+仇其中m人是常数)，那么Ey与EX有怎样的关系？提示X,y的分布列为XX1X2XiXnYax-bOX2+baxi-baxn-bPPIP2PiPn于是EY=(OrI+O)P1+(ax'2÷b)p?÷,÷(a+b)pi+÷(ax11+b)pn=a(xp+x卯2+÷x>÷+)+b(p÷p2÷+pi+p")=EX+b.【知识梳理】离散型随机变量的均值的性质若y=x+b,其中小人均是常数，则y也是随机变量，且Ey=EgX+3=述±例2已知随机变量X的分布列为X-2-1012P14I315mI20若Y=2X,则EY=.17答案解析由离散型随机变量分布列的性质，得4+3+5+w÷=h解得m69EX=(-2)×÷(-1)×÷0×c÷1×7÷2×7=-JJU4U*Vz由Y=-2X,得EY=-2EX,即打=-2X(T)=恶延伸探究1 .本例条件不变，若y=2X-3,求EH解由公式EgX+b)=aEX+b及EX=一品得，EY=E(2X-3)=2EX-3=2×-3=-.2 .本例条件不变，若Y=X+3,且EY=-冷，求a的值.1711解Ey=E(X+3)=EX+3=而+3=一5，所以=15.反思感悟求线性关系的随机变量Y=4X+b的均值方法(1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值.(2)性质法：直接套用公式EY=ESX+b)=aEX+b求解即可.跟踪训练2(1)设。的分布列为41234P16161313又设=2j+5,则助等于()a6bcVd答案D解析£¢=1×+2×+3×+4×=-y,1732助=£(2。+5)=2或+5=2X不+5=于(2)已知随机变量f和小其中n=12e+7,且助=34,若4的分布列如下表，则m的值为()1234P14tnn1V2答案A解析因为"=12j+7,则助=12鳄+7,1×4+2×w+3×+4×所以2加+3=最112又W+m+五=1,所以m+=1，由可解得=；.三、均值的实际应用例3甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数乙公司送餐员送餐单数频数表:送餐单数若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和均值；（2）小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.解（1）设乙公司送餐员送餐单数为。，当=38时，X=38X6=228,P=亲=点；当=39时，X=39X6=234,P=;当=40时，X=40×6=240,P=;当=41时，X=40×6+1×7=247,P=I§=|；当4=42时，X=40×6+2×7=254,2=*=，故X的所有可能取值为228,234,240,247,254,故X的分布列为X228234240247254P1Io1515251Io故EX=228X吉+234Xg+240X247X|+254X*241.8.(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7,则甲公司送餐员日平均工资为80+4X39.7=238.8(元)，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8V241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.反思感悟解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化.(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值.(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.跟踪训练3受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障的时间x(年)0<r11<v2x>20<r2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X”生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X,X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.2+31解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=-=言.(2)依题意得,X的分布列为Xi123X2的分布列为P1253509ToX21.82.9P1To9)139由得EX1=1×25÷2×5o+3Xj=2.86(万元).EX2=18X告+2.9端=2.79(万元).EX>EX2,应该生产甲品牌轿车.I.知识清单:离散型随机变量的均值.（2）两点分布的均值.(3)E(X+b)=EX+0.2 .方法归纳：函数与方程、转化化归.3 .常见误区：不会应用均值对实除问题作出正确分析.随堂演练1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P353To1To则X的均值欧等于（）答案A33I3解析EX=I×+2×÷3×j=22 .抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得一1分，则得分X的均值为（A.OB.C.ID.-1答案A解析因为P(X=I)=4，P(X=-1)=3，所以由均值的定义得EX=IXT+(1)义3=0.3 .设随机变量X的分布列如下表，且EX=1.6,则。一人等于()X0123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4答案C解析由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.又由EX=OXo.1+1Xa+2X力+3X0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,6=0.5,则a-b=-0.2.4 .学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示选中高二(1)班的候选人的人数，则EX的值为答案J解析X的可能取值为0,1,2,d_1，C1CA8P(X=°)=瓦=亨P(X=1)="cT=15P(X=2)=品卷则EX=O×÷1×÷2×=.