补充上期几个定理与范例的证明.docx

补充上期几个定理与范例的证明例4.18.的证明：设Vqe(0,1)为无理数，来证，黎曼函数1 p-,x=一,(PMN+,(p,q)=1)H(X)=Hq0,x(0,1)n1u0,1在(M)内任何无理点处都连续。Ve>0,不妨要使：2R(x)-R()=R(x)<,显然，当X为无理数时，上式恒成立；而当X为有理数，X=K,(PMeN+，(PM)=I)时，上q式即：IH(X)7?C)|=(1)q11只要，q>-,由于满足91的正整数q显然只有有限个，即不满足141的正整数9只有有限个。从而不满足式的有理数X只有有限个，设为西,无2,，/。取5=min(BY1jX2Y|，|%Y|，IY)，VxeU(,),总有：R(x)-R()<(因为UC,3)中不含1，%2,，)。这就证明了R(X)在无理点4处连续。设x=K,(pmN+,(pm)=1)为Q(M)内任一有理数。来证，R(X)在K间断。q取为=上，VJ>O,取IqXqEU-,n1(，有：IcI)(、1R(X)R二Q)q2q所以，H(X)在任何有理点处都不连续。P.78定理4.8设/(x)在严格单调增加(或下降)且连续，又fS)=a,f(b)=n>=f()存在反函数，X=尸(y),ya,(或，),且x=T(y)在切(或民)上也是严格单调增加(或下降)，且连续。P.78定理4.8的证明：(先讨论了在口,勿严格增加情形)(用分析法)(作图分析)要证，y=(x)存在反函数X=尸(y)，ya,，且=T(y)在%切上严格增加。二T(y)在口,切上连续，由第一章的定理1.2(Page.24)知，结论成立。只需证，Vy0a,，有：HmT(y)=T(%);yyo艮口V%,0，Xz£>0，3>0，Dye(%-3,%+5)，:f-1(y0)-<1(y)<f-1(y0)+记XO=/1(%),即%=/(/)，上式即X-2<X<X+2,由反函数=T(y)严格增加，即要Fe-£)<f(x)<f(x0+£)，即/(凤-£)<y</(+2)即/(<y%</(+£)%取S=min(%-(XO+£)-%),Vy£(%£%+5),有：r1()-<r1<r1(%)+°证毕同法可证：/(x)在,切严格减少情形(或从考察-/(X)在勿严格增加来讨论)。说明：若先是区间端点。或B,贝Wy(为-3,%+S),应换成Vya,a+)或Dy-,再类似地进行讨论。在上面的证明中，还应设。60-2<%0+£/只要取£充分小就可以满足这个要求，而不影响以上推断的正确性。反函数的连续性定理中，闭区间,勿可以换成一般的区间I,这是因为，一方面，第一章的定理1.2(Page.24)中，严格单调函数了(%)也只是定义在一般数集。上的。另一方面，上面证反函数的连续性时，并没有用函数的定义域是闭区间这个条件。