函数的定义域及函数的解析式例题练习题.docx
函数的定义域及函数的解析式因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨.一、函数的定义域例1求下列函数的定义域(1)尸=9+1片三(4)y=JX-I+j4-x+2(5)y=4-x2+(6)y=-+(3-i)X-I(7)y=(8)y=6-3(a为常数)分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域.解：(1)xR(2)要使函数有意义，必须使jP4O得原函数定义域为XIx2且x-2(3)要使函数有意义，必须使x+IXIO得原函数定义域为XIx>O(4)要使函数有意义，必须使一旧？得原函数的定义域为XI1a4(5)要使函数有意义，必须使归得原函数定义域为XI一2Wx21R)x01+-0X+-O(7)要使函数有意义，必须使.1÷1得X、X要使函数有意义，必须使；：。得原函数的定义域为原函数的定义域为XIXV-1或x>O或-；VXVO(8)要使函数有意义，必须使a牙一320得当a>0时，原函数定义域为xI*2之a当aVO时，原函数定义域为xIx3a当a=0时，aX320的解集为0,故原函数定义域为0评述：(D求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成.(2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数a,须对它分类讨论.例2(1)已知函数F(X)的定义域为(0,1),求f(X2)的定义域.(2)已知函数F(2x+1)的定义域为(0,1),求F(X)的定义域.(3)已知函数F(X+1)的定义域为-2,3,求F(2x2-2)的定义域.分析：(1)求函数定义域就是求自变量X的取值范围，求F3)的定义域就是求X的范围，而不是求*2的范围，这里X与AT?的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由OVXV1确定出2x+1的范围，即为函数f(x)的定义域.(3)应由一2*3确定出x+1的范围，求出函数F(X)的定义域进而再求f(2*22)的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.例2(1)巳知函数f(X)的定义域为(0,1),求f1x?)的定义域.(2)巳知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求F(%)的定义域.(3)巳知函数f(at+1)的定义域为-2,3,求f(2Ar之-2)的定义域.解：(I)：F(X)的定义域为(0,1)要使F(X2)有意义，须使OVX2I,即一1VXVo或OVXV1，函数f(X2)的定义域为XI1VXVO或OVXV1(2)F(2x+1)的定义域为(0,1),即其中的函数自变量X的取值范围是OVXV1,令1=2x+1,1<f<3,IfQt)的定义域为IVXV3，函数F(X)的定义域为xIIVxV3(3) Vf(x+1)的定义域为一2x3,-2x3令I=Ar+1,1f4/(£)的定义域为一1x4即F(X)的定义域为一1x4,要使F(2x2-2)有意义，须使一12X2-24,一百x立或也xW百22函数F(2%2-2)的定义域为%I一百一*或X32注意：对于以上(2)(3)中的f(Q与f(x)其实质是相同的.评述：(1)对于复合函数Fg(*)而说，如果函数F(X)的定义域为小则fg(*)的定义域是使得函数g(")Z的X取值范围.(2)如果fg(X)的定义域为A9贝函数F(X)的定义域是函数g(x)的值域.二、函数的解析式例1(1)已知f(+1)=x+24,求F(X)的解析式(2)已知f(x+1)=at3+,求F(x)的解析式XX(3)已知函数f(X)是一次函数，且满足关系式3f(X+1)-2f(-1)=2x+17,求f(x)的解析式分析：此题目中的这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用,即：求出F及其定义域.例1(1)已知f(4+1)=x+24,求F(X)的解析式(2)已知f(x+1)=at3+4,求f(x)的解析式XX(3)已知函数f(X)是一次函数，且满足关系式AfQx+1)2f(X-D=2at+17,求F(X)的解析式解：设/=4+121,则五=£1,X=(t1)2f(n=(f-1)2+2(f-1)=f2-1(£21)f(a)=X21(x21)(2)V3+±=(x+1)(x2+-1)XXX=(x+1)(x+1)2-3XX:f(Ar÷-)=(Ar+-)(Ar+-)23XXX:f(Ar)=X(Ar2-3)=X33X，当x0时，或x+1-2XX:f(*)=X3-3X(x-2或x22)(3)设f(X)=ax+。则3f(a÷1)2fCx-1)=3ax+35+26+2a2b=ax+b+5a=2x+17，a=2,6=7:f(x)=2Ar+7注意：对于中F(X)与f(£)本质上一样.评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法.值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域.例2(1)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里/小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S(公里)表示成时间£(小时)的函数.分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定例2(1)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里/小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S(公里)表示成时间£(小时)的函数.解：汽车在甲乙两地匀速行驶，S=100t：汽车行驶速度为100公里/小时，两地距离为1500公里,，从甲地到乙地所用时间为I=翳小时答：所求函数为：S=I00t0,15(2)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%,那么X年后若人均一年占有尸千克粮食.求出函数y关于X的解析式.分析:此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到,所以还应推导.解:设现在某乡镇人口为人则1年后此乡镇的人口数为4(1+1.2%),2年后的此乡镇人口数为2(1+1.2)2经过X年后此乡镇人口数为4(1+1.2%);再设现在某乡镇粮食产量为B9则1年后此乡镇的粮食产量为5(1+4%),2年后的此乡镇粮食产量为夕(1+4%)2，经过X年后此乡镇粮食产量为3(1+4%)因某乡镇现在人均一年占有粮食为360kg9即?=360,所以X年后的人均一年占有粮食为歹，即y=如+4%)'=360(1+4%)，(Xefr)A(1+1.2%)x(1+1.2%)x评述：根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，求得函数解析式后，还要注意函数定义域要受到实际问题的限制.
