《三角函数的概念》教学设计.docx

三角函数的概念教学设计5. 2.1三角函数的概念（第一课时）一、教材分析：三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础。传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数。锐角三角函数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映；任意角三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画。如果以锐角三角函数为基础进行推广，那么三角函数概念发生发展过程的完整性将受到破坏。因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景，构建从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后再进行考察。一般地，概念的形成应按“事实一概念”的路径，即学生要经历“情境一一共性归纳一一定义辨析简单应用”的过程。二、目标和目标解析1 .目标（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系。（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，提高数学抽象素养。2 .目标解析（1）学生能如了解前面所学幕函数、指数函数、对数函数的现实背景一样,知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在周而复始变化现象中的代表性。（2）学生在经历周期现象一一圆周运动一一单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆上的点P以A为起点作旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念；能根据定义求出定角的三角函数值。教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义三、学情分析前面已学函数的概念，在对事函数、指数函数、对数函数的学习中，初步理解了研究函数的基本思路、方法，这些认知准备对于分析“周而复始”"变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用。在三角函数中，影响单位圆上点的坐标的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“a与2直接对应”，无须计算。虽然a与D都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”。所以，三角函数中对应关系，与学生的已有经验距离较大，学生容易产生学习难点。教学难点：影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，三角函数的定义方式的理解。四、教学过程设计（一）创设情境明确背景引入：观察时针和单摆的运动引导语：现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表。如图1,圆。上的点P以A为起点作逆时针方向的旋转。在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角a的大小变化刻画点P的位置变化。又根据弧度制的定义，角a的大小与圆O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动。在前面的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动规律该用什么函数模型刻画呢？问题1：根据已有的研究函数的经验，我们可以按怎样的路径研究上述问题？师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论得出研究路径是：情境共性归纳定义辨析简单应用设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向（二）分析具体事例归纳共同特征引导语：下面我们利用直角坐标系研究上述问题。如图2,以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为，轴的非负半轴，建立直角坐标系6,点A的坐标是（1,0）,点P的坐标是（Q）点P从点A（1,0）开始在单位圆上运动.演示动画问题2：这个运动过程中有哪些变量？判断它们之间哪两个变量具有函数关系，能否写出函数解析式。存在四个变量：点P的横坐标、，点P的纵坐标1弧长，旋转角度判断变量-X间的哪两个变量能构成函数关系（1）'2,间不是函数关系（2），=%我们已经讨论过（3）与/之间存在函数关系吗？师生活动：通过视频演示，引导学生从情境中抽象出数学问题，并用函数思想思考问题。设计意图：创设情境，引出问题：与之间是否存在函数关系？追问1若角m终边与单位圆交于点P,如何求点P的坐标呢？G,点P的坐标是什么？吟中不妨设由拈当，尸（。九动画演示，共性归纳：追问3任意给定一个角九点P的坐标唯一确定吗？单位圆的半径不变，点P的坐标只与角J的大小有关。当角a确定时，点P唯一确定。追问5：任意给定一个角九角a的终边与单位圆的交点P的横坐标，纵坐标唯一确定吗？对任意角？，它的终边与单位圆的交点P的横、纵坐标一都是唯一确定的，这里有三个对应关系：，：任意角a（弧度）对应于点P的纵坐标;任意角m（弧度）对应于点P的横坐标X。*：任意角m（弧度）对应于点P的纵坐标与横坐标的比值；设计意图：以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是角J（弧度）的函数，为给出三角函数的定义作好准备。通过求特殊角时，P点的横、纵坐标,提高学生的数学运算能力，通过列表、画图，培养学生的直观想象能力。（三）任意角三角函数的定义与辨析问题3：以往学过的函数，能刻画以上对应吗？1以往学过的任何函数不能刻画以上三种对应，因此，我们需要七口;尸引入新的函数。阅读课本178页-下面给出这些函数的定义（如图2）设J是一个任意角，它的终边OP与单位圆的相交于点P（2'）,那么把点P的纵坐标叫做的m正弦函数，记做皿3,即一g把点P的横坐标”叫做a的余弦函数，记做皿明即一皿”；把点P的纵坐标>与横坐标'的比值'叫做a的正切函数，记做加3,即VY（>'0）追问1正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？实数a（弧度）对应于点P的纵坐标J正弦函数；实数a（弧度）对应于点P的横坐标'余弦函数。当点P的横坐标为0时.，角J的终边在J轴上，这时八所以yy无意义，除此之外，对于确定的角a,，的值也是唯一确定的。实数a（弧度）对应于点P的纵坐标>与横坐标'（>,0）之比正切函数。追问2：符号刖3和RJ分别表示什么？在以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？a,SQNZ追问3：为什么说当2,、皿己的值是唯一确定的？设计意图：在问题引导下，通过辨析，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号，表示J=b中的，）,理解三角函数符号的意义。（四）任意角三角函数与锐角三角函数的联系设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系,使学生体会两个定义的和谐性。（五）任意角三角函数概念的初步应用例1：利用三角函数的定义求9正弦、余弦、正切值。通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵。练习：（1）利用三角函数的定义，求，程的三个三角函数值。（2）说出几个使Oxa1的的值。总结规律：画终边、找交点坐标，算比值（算正切值）.设计意图：巩固任意角三角函数的定义I例2：如图3,设a是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点0重合）的坐标点P与原点的距离为，求证：yXVwn-C5八一uns-/.八、，X（>'0）例2实际上是三角函数的“坐标比”定义。通过这道题的解答，可以使学生认识到，只要知道角的终边上的任意一点，就可以得出相应的三角函数值。于是,我们也可以用教的终边上任一点的坐标比来定义三角函数，这与利用单位圆上点的坐标定义三角函数是等价的。设a是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点0重合）的坐标（D）,点P与原点的距离为，.则：yy（1）:叫做m的正弦，即皿'":，XXCO1Jfs（2），叫做J的余弦，即，un3.21（3）X叫做m的正切，即X（公0）这些函数值不会随点P的改变而改变。设计意图：加深学生对三角函数定义的理解。©课堂练习：已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为IEZ%求2$时点P所在的位置。设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义。（六）目标检测7r（1）利用三角函数的定义，求下的三个三角函数值。（2）已知角q的终边过求角g的三角函数值。（3）阅读课本月即三角学与天文学（七）小结：（1）任意角三角函数的两个定义（2）求角的三角函数的方法（3） 了解三角函数是刻画“周而复始”运动规律的重要函数（4）研究一般问题的基本路径：情境一一共性归纳一一定义辨析简单应用。教学反思：本节课我将三角函数概念进行了如下解构：（1）体验,记1T-三.丁，点P横、纵坐标的变化；（2）填写M（°沏时，点P横、纵坐标的变化；（3）,为了加深理解，再次以。为自变量，P点纵坐标（横坐标）为因变量描点、画图，直观感受，与点P横、纵坐标的对应关系；（4）动画演示：对于a的任意一个值，P点纵坐标（横坐标）唯一确定;（5）回顾函数概念；（6）引出三角函数的概念；（7）说明三个三角函数的定义域；（8）辨析与指对函数引入的联系；（9）辨析任意角三角函数的概念与锐角三角函数概念的异同；（10）巩固练习；（H）通过例2,给出三角函数的另一定义（12）小结：观察引导词中单摆的运动轨迹、物理中的简谐运动轨迹与所画出正弦函数的图象，可以得出结论：三角函数是刻画“周而复始”运动规律的常用函数，为后面三角函数的性质学习埋下伏笔；（13）介绍有关三角函数的数学文化，增强学习数学的兴趣通过以上概念解构，揭示了本节知识和前后知识的联系，益于我们的单元教学；问题串的设置，引导学生不断加深对概念的理解，加强与以前知识网的融合,利于学生对知识的深度学习。