第4讲 不等式的证明（原卷版）.docx

第4讲不等式的证明不等式问题是导函数考试的重点，也是难点.一方面是导函数的进一步应用，利用导函数研究出函数的单调性和最值,然后利用单调性来证明和解决不等式问题.反过来,也可以利用不等式来判定导函数的正负号进而来研究函数单调性，所以不等式在基础阶段起重要的衔接作用.在后面的高级课程里面，不等式也是起着关键作用，特别是和放缩法结合来证明不等式,赋值法来找到零点区间等.在后面的极值点偏移和双变量问题都围绕着不等式展开,要好好体会关于不等式的证明，深刻理解不等式在导函数中的作用.不等式问题的核心就是合理地构造函数，函数的构造将在后面章节讲解，这里要重点掌握证明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含义是图像之间的上下位置关系，不等式>g(X)的解是“X)在gG)图像上方时X的取值范围.证明无参不等式不等式恒(能)成立问题的转换方法:若/(x)在区间。上有最值,则恒成立：VXcO,(x)>Oo(x)min>O.VxD,/(x)<0<>/(x)max<0.能成立：hOJ(x)>0o/(x)nm>03x0J(x)<0O/(x)nin<0.【例1】已知函数/(x)=e*-d.证明：当.0时，/(x).1.例2已知函数/(x)=(1÷x)1+-,求证：/(x).x.X例3函数/(x)=XT2+3hr.证明："X),2尢一2对任意正实数X恒成立.不等式恒成立求参数取值范围参变分离参变分离法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：第一步：参变分离.若/(x,«).O(xg£>)能参变分离，则将问题转化为：>"力或a</(x)恒成立.第二步:转换为最值.a>fxoa>/(x)11ttx.a<f(x)oa</(x)n1in.第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.例1已知函数x)=e*-依若Wx0,1j(x).0恒成立,求4的取值范围.【例2】已知函数F(X)=Y-e',x>O时，/(力<1,求的取值范围.例3已知函数/(x)=InX-X2-Cixy若/(x)0恒成立,求的取值范围.例4已知函数f(x)=F-皿2_2工(e为自然对数的底数)，若x0,+e)时，f(x)>7恒成立,求加的取值范围.不等式恒成立求参数取值范围分类讨论分类讨论法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).第二步:把不等式恒成立转化为最值问题/(x,)=>(x,)min0,/(尤M)釉=/(元M)ma0第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数最值.【例1】己知函数f(力=)手(wR),已知/(x)1对任意xeR恒成立,求。的值.e【例2】已知函数"x)=e"(e'-)-.(1)讨论/(x)的单调性.若/(x).0,求的取值范围.例3已知函数/(x)=x(1-0r)-1nx(R),当x(1,+e)时，/(x)>-OX-J1nX恒成立,求实数。的取值范围.2【例4】已知函数/(x)=X-，一1nx(aR).讨论/(x)的单调性.当X.时，/().0,求4的取值范围.不等式能成立(存在性)求参数取值范围一一参变分离参变分离法解不等式能成立求参数取值范围的步骤：第一步:参变分离.存在X使得FaM)O(XD)能成立,则参变分离,将问题转化为:a>/(x)或</(X)恒成立.第二步:转换为最值.a>f(x)<=>a>f(x)na</(x)OaV/(x)n1ax.第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.【例1】设函数/(力=一*|工+1-+山，若存在/e,1,使得不等式/()-G,0成立,求C的取值范围.例2设函数/(x)=(x-2)1nx-at+1,若存在正数与，使得/(M),1-加叫)成立,求实数Q的取值范围.不等式能成立(存在性)求参数取值范围分类讨论分论讨论法求不等式能成立的参数取值范围的步聚：第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).第二步:把不等式能否成立转化为最值问题./(,a)=")max0,/(久期=/(XM)mir0.第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数的最值.【例1】已知函数/(x)=g+1nA;(a0,R),若在区间(0,e上至少存在一点小,使得/(七)<0成立,求实数。的取值范围.【例2】已知函数/(x)=d一(a+2)+HnX(为实常数)，若存在1,e,使得/(x),O成立,求实数的取值范围.