第二套模拟题答案.docx

第二套模拟题答案一、填空题(每小题4分，总计32分)r-4OO、1.O-2-6;2.2x-2y+3z-10=0；3.-1；4.-1；k0-4-10>(123、z、(4-215.；6.7.234;8.10.2八八-311U二、计算题(每小题8分，总计40分)-11-P1-2301-3OOIj11 .解：(1,-1)2,(/一1)3)=(1X3)0r-11-01-23所以过度矩阵为nn12，UU1、0001；2d-+5在基I/,/*下坐标为(5,一1,(),2)，.2丁-r+5在基1,XT(X-1)2,(x-1)3下坐标为-11-I<5>'111n(5、(601-23-10123-15001-30001306000<2；、000b28分2 .解：因为四+%-2%+3。4=0,所以。=(1,-2,3)7是Ar=O的解，又Qf1-a2+3a4=b,所以二(1,-1,0,3)，是Ar=b的解，由+2。？一。3+。4="，所以2=(12,T,1)T是Ar=b的解,所以2=7=(0,-3,1,2)7是Ax=O的解,且442线性无关，而AX=O的解空间是2维的，所以A居+&$+7是AX=/的解.8分3 .解：因为A的特征值为1,-4,所以A=2,故A可逆，所以4*=IAI4一|=2,.进而A*+2A-3E=2A-i+2A-3E的特征值为1,-8,-,2所以IA*+2A3E=92.8分4 .解：f(x1,x2tx3)=x12-32+-2xix2+2x1x3-6x2x3=(x1-X2+x3)2-4*+3xj-42x3=(x1X2÷3)-4(/+%W)-+,yi=1-2+3令，y2=+X，所以F(M，%，%)二城4於+4y.8分X=/5 .解：二次型的系数矩阵为212、A=122,4的各阶顺序主子式14|=2>0,321J2111八4=2=3>0,IA31=-5<0,于是二次型不是正定的.8分三、解答题(每小题U分，总计22分)1解：(1)因为矩阵4与3相似，所以IAH8|,且fM=/用,得=5,6=6.5分(2)因为A的特征值为4=2=2,4=6.解线性方程组(2£-A)X=O得基础解系A=(T1O)T,$=(1,0,1)7解线性方程组(6EA)X=O得基础解系&=(1,-2,3)7.11分取P=C1,与,4),则PTAP=A2.解：(I)IAI=I-5分(2)对增广矩阵(A,7)作初等行变换得<1a001、<1a001、01a0-101a0-1(Ap)=001a0001a0001;00-a4-a-a2j当实数I。=O且一一2=O时，即=1时，方程组Ar=S有无穷多解.UoO-I0、010-1-1此时(A,P)八八八，所以Ax=的通解为001-10”J)OoO0,X=(O,-1,0,0)7+-1,1,1,1)7,其中攵为任意常数.11分四、证明题(每小题6分，总计6分)证明：因为A为正交矩阵，所以A=E,且42=1,A可逆，所以A"=AA-进而(A*)rA*=(AAi)(",)=2(A,)A1=(A),A,=(A4r),=E.所以A*是正交矩阵.