第6讲 构造辅助函数的方法.docx

第6讲构造辅助函数的方法对于证明与函数有关的不等式、零点或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围，讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也不同，所以为了构造出合理的函数，方便我们解题，我们需要遵循一大构造原则是“导函数可判定原则”.所谓的“导函数可判定原则”就是所构造的函数，求导之后要能够判定出函数的正负号,从而研究原函数单调性，如果无法判定导函数正负号，则说明原函数构造得有问题，需要重新构造.本节会总结出一些常用的构造函数的方法，如果解题过程中求导很复杂或者进行不下去就需要思考函数构造得是否合理,而且在解题过程中函数的构造方式有很多种，要选择合理的构造方式,而所要遵循的就是“导函数可判定原则”.构造法一:移项作差构造函数移项作差构造是我们最常用的方法，当试题中给出简单的基本初等函数，例如/(x)=x3,(x)=1nx,进而证明在某个取值范围内不等式/(x).g(x)成立时,可以通过移项作差,构造函数/(X)=/(x)-g(x),进而证明RX)IniI1即可,在求最值的过程中，可以利用导数作为工具.注意:下面的例题用到了隐零点相关的内容,读者如果有疑惑可以在看完后面隐零点部分的章节后再回来看.例1已知函数/(x)=(2-i)e其中R,Tx施)j(x)依一1,求实数4的取值范围.【解析】X=O时,不等式/(/).r-1为一1.1,对任意实数都成立.当x>0时：a>0时,不等式/(x).or-1化为f(%)-+1.O,令g(x)=/(X)-or+1,则g'(x)='(x)-由r()=(2+2x-1)e',令人(力=(戈2+2-i)e/(x)=(%2+4x+1)e">0,.(x)即r(x)在(0,+0>)上单调递增,(x)>Zz(O)=-I.g'(x)>g'(0)=若一1-.O,即4,一1,贝()80>0在(0,+8)上恒成立，g(x)在(,hx>)上递增.g(x)>g(0)=0,不等式/(x)-ur+1.0成立.若>一1,由上讨论知存在%>0,使得g'(j)=0,且当OCX*:/时，g'(x)<O,g(x)递减.x>x0时，g'(x)>O,g(x)递增，g=g(xo)而g(0)=0,因此OVXVa时,g(x)vg(0)=0,g(x).0不成立.综上4,-I-【例2】已知函数/(x)=xe*(其中e为自然对数的底数)，求证：/(x)>e'+1nx-；.【解析】证明，要证/(x)>e1nx-g,只需证明：(x-1)e'-InX+5>0对于X>0恒成立，令g(x)=(-1)eX-InX+g,则g<x)=xe"-1(x>0).当x>0时,令a(x)=g<x)=XeX,则"()=(x+1)e'+4>O,z(x)在(0,+)上单调递增，即尸(X)=Xe'-，在(0,÷oo)上为增函数.存在/e(,1)使得g'(o)=O.由g'()=e%-1=生二i=0得不康厢=1,即e"=-!r,%即21nXo=,10=_.当x(0,1¾)时,(x)=xer-<O,g(x)单调递减.当X(j,÷oo)时，g'(x)=xe*-O,g(H单调递增.=()=(-9e1+=j+÷=xo+x°2+o21A11ZX0令0(X)=A3+2+2x-2(gvx<1),则d(x)=32+2x+2=3(x+g)+>0”(x)在(|,1)上单调递增."(%)>噌)后>0.g()g(%)=>o,，玉)(x-1)e*Inx÷>0即/(x)>ev+1nx-i.构造法二：等价变形构造函数通常我们对不等式移项构造出来的函数无法直接判定导函数的正负号，所以需要利用不等式性质对所证不等式进行等价变形,先做一个简化，再构造函数，而简化的原则通常是“减少分式,去掉分母”，构造出一些常用的,可判定的函数.【例11设函数f(x)=1-er.证明:当4>-1时，力.旨.【分析】本题依然考虑构造函数解决不等式，但如果仅仅是移项，则所证不等式为1-e'r-令g(x)=1-b-匚，其导函数比较复杂，不容易求出函数最值,所以考,÷1x÷1虑先对不等式进行等价变形再构造,转变为形式较为简单的不等式,再构造函数进行证明，这个也就是导函数可判定原则.IYIr11【解析】证明,1-1一一.eAx÷1evx+1e*x+1.X>T,.所证不等式等价于e+1OejTo设g(x)=e，-X-1；只需证g(x)minr即可g，(X)=e"-1,令g<x)>0=x>0,令g'(x)<00-1<x<0,.g(力在(-1,0)上单调递减,在(O,+r)上单调递增.g3min=g(O)=Qg(X)送(。)=。，故不等式得证.例2已知函数/(x)=二4-以-1(R),若对任意的x(0,+R)J(X)>0恒成立,求。的取值范围.【解析】1>0,.，.(0,+8),/(%)>0恒成立转化为？"一OX2-工一1>0在x>0上恒成立.设(x)=Qx-OX2-X-1(X>0),.'.hf(x)=ex-2ax-.设G(X)=,()=ev-2ax-1(x>0),.f(x)=ex-2a.当小g时，d(x)>O,.夕(力在(0,+0?)上单调递增.x)>。=O,即,(x)>0."(力在(0,*o)上单调递增.从而(x)>MO)=0,即对任意的X(0,+),(x)>0恒成立.%!符合题意.2当4>；时,由e'(x)=e。-2=0得X=In(2),令(x)<0,/.0<X<In(2a).令d(X)>0,/.x>n(1a).函数姒力在(0,1n(2)上单调递减,在(1n(2),+e)上单调递增.p(x).“(In(2)=2a-1-2tdn(2a).A,(x).A,(1n(20)=2a-21n(2).设f(x)=x-1-X1nx(X>1),.,.f(x)=-1nx<0.心)在(1,+8)上单调递减.j(x)VMI)=O.”(in(2)<0.3(0,+8卜使得Zf(Ao)=0.当X(,o)时,f(x)<0,函数在(,o)上单调递减.(O)=O,.x(O,),(x)<0.时不符合题意.2综上,。的取值范围为出2构造法三:拆分转化构造函数有些函数经直接移项作差构造出来的新函数,求导后无法直接判断导函数的正负号,变形后也不行,则需要利用不等式性质对所证不等式拆分为/(x)>g(x)的形式,若能证明).*)而11>8(0皿，即可得了(力>网力本方法的优点在于对1的项进行分割变形,可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强,如果/(X)min与g*)max不满足F(X)in>gCmax，则无法通过这种方式证明/(%)>g(工)Vx(0,+),1nx+1>【例1】求证：e'ex.17【分析】所证不等式12+1>-已,若都移到左边构造函数,则函数eex17+很难分析单调性,进而无法求出最值.本题考虑在两边分别求出eex最值,再比较大小即可.【解析】W1nx+1>-<=>x1nx+x>.evexeve设p(x)=x1nx+x,pz(x)=1÷1nx+1=1nx+2.令p<x)>O=*x>4,(x)VO=O<X<，P(X)在(0，1)单调递减,在(g,+8单调递增.Ap(x).P(X)min=pfp-1=.、2z设夕(X)=xev,(x)=(1-)ex.e.夕(同在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减.q(x),q(x)max=(1)=-1.e,PC%>4(x)ma*(0,+8),P(X)厢(功面>q(Axqx.：.px)>q(x),所证不等式成立.【例2】设函数/(x)=X-1-nx,其中x(0,1)/为正实数.(1)若不等式f(x)<O恒成立,求实数Z的取值范围.(2)当x(0,1)时.证明+-1-1<e'1x【解析】由题意得r)=+5-f=立爰里A(x)=x2-fx+1(O<x<1),!i!1J=z2-4>0当t2-4O时,即0<,2时,(x).0.函数/在(U)上单调递增,/(x)</=0,满足题意.当/一4>0时,即f>2时,则(x)的图像的对称轴x=1.A(O)=I,A(1)=2-r<0,z(x)在(0,1)上存在唯一实根,设为x1,则x(0,j)时,h(x)>0,ff(x)>0.当x(,1)时,Mx)<0J'(x)<0.”X)在(O,N)上单调递增,在,1)上单调递减.此时盘X=5)>"1)=0,不合题意.综上可得,实数，的取值范围是(0,2.(2)(证明)C价于卜-)+D<e¾x.XXx(0j),.1nx<0.原不等式等价于E>.XInXx+11Y2_由题知当f=2时,x-2hu<0在x(0,1)上恒成立,整理得扁!>2.pvX6,x令mx=-(0<x<1),则加(x)=(+y>0.函数机(可在区间(U)上单调递增.g)<zn(g<2<翌抑矍>白在(0,1)上恒成立.当x(,1)时,恒有X2+x-1<ev1nx构造法四：整体代换构造函数在处理函数时,如果函数有相同的部分,或者可以凑出相同的部分,则可以整体代换达到简化函数的目的,进而提高运算效率.这里我们常用的一个变形结构是AeK=ehw+x,令=1nx+x来实现指对互化的整体代换.【例1】已知函数F(X)=2x+1n(2x-1),求证:/(力”(2X-IQ".【解析】证明：令=2xT>0,要证=>),(2x-1)e2z,即证f+1+1m,M其中f>0,构造函数g(0=汨T-Im-I,其中f>O,<(f)=(f+1)S-1+；)=(，+1)(-；)令0(f)=S-；,其中”0,则"(r)=e，+5>O,.函数夕在(0,+<»)上单调递增.y=Te-2(,(1)=e-1),(1A,1.存在*)-J,使得e(f()=e%=0,BPz0er0=1.(2)t0当OVfj时,夕<0,即g'(f)<0,此时函数g单调递减.当ci。时Mf)>o,即g'(0>o,此时函数g")单调递增.g)min=g&)=/。-Ine,-1叫一I=e/°-In(r0ez°)-1=1-1=0.*.所证不等式成立.【例2】设4>0.证明："x)=(1+gj是增函数，且"x)<e(e为自然对数的底数)【解析】证明：设Z(X)=In/(x)=x1n+=x1n(1+x)-1a(%>0),则加(X)=Inh+1<-1=In'+1H-1v7<X)+xX1+x令p=/(0vfV1),则Ini=Tnf,设2(X)=MO=E-I-In/.由对数不等式(