第2讲 函数的单调性.docx

第2讲函数的单调性单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具,通过求解一阶导函数并判定其正负号,进而得到原函数单调性.利用导函数研究函数单调性是导函数这一块知识贯穿始终的东西,如果单独拿出来考查可以分为两类题型:第一类是求导来讨论函数的单调性.第二类是给出函数单调性,然后来求出参数的取值范围,这一类通常把的单调性问题转化为导函数的不等式问题,按照不等式问题的解法来求解即可.下面是导函数和原函数单调性之间的联系,希望读者认真掌握：函数在(,b)可导,那么在(6。)上单调递增=V冗(,Z?),(x)O.函数/(x)在可导,则/(x)在(,b)上单调递减=x(,b),r(x)O.进一步可说,函数/(x)在(。力)内可导,且广(九)在(。任意子区间内都不恒等于0.则当X(4,。)时,r(X)0O函数/(X)在(4,。)上单调递增./'(久)Oo函数/(x)在(力)上单调递减.求无参函数的单调区间(因式分解法)函数没有参数的话是相对较简单的,只需要求导,并判定出导函数的正负号即可判定出原函数的单调性,其中对导函数因式分解后就能判定出每个因式的正负号,进而判定总的导函数的正负号,所以,我们求导后一定要想办法因式分解,下面给出利用导数求函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数的定义域.求出了")的导函数r(x),并因式分解.令r(H=o,求出X的解集,即可分割出了G)的单调增(或减)区间.(4)列出表格或者进行描述.【例11已知g(x)=(f-4x+4)e*T，求函数g(x)的单调区间.【解析】y=g(x)的定义域为R,/(x)=(-4)er÷(x2-4x+4)ev=2(x-2)eA+(x-2)2er=x(x-2)er,令8'(工)=°得工=2或1=0.当X变化时,g'(x),g(x)变化如下表所示:X(-8,0)0(0,2)2(0,2)g'(x)+0-0+g(x)单调递增极大值单调递减极大值单调递增.收(”的单调递增区间为(0,0)和(0,2),单调递减区间为(0,2).【例2】已知函数)=x2+hr-3x,求/(x)的单调增区间.【解析】/(x)=x2+1nx-3xj(x)的定义域为(0,+),cIC2x23x+1(2,-1)(x-1)./(x)=2x+3=A1.XXX由r(x)>O得,0<戈<；或无>1.故所求的单调递增区间为(,g)(1,+8)求无参函数的单调区间(连续求导法)如果一阶导函数无法因式分解,也无法求出/(与)=0的解,则要考虑多次求导，但一定记住,不论求导多少次,怎么求导,最终一定回归判定一阶导函数的正负号，进而得到原函数的单调性.【例1】歹IJ已知函数/(力=2廿一/一2(无一1)(其中e为自然对数的底数),求F(X)的单调区间。【解析】：/(x)=2e*-2-2(X-I)J<)=2(e'-x-1),令g(x)=r(x),g'(x)=2(e*-1),令g'(x)>0,解得%>0令/(x)<0,解得x<0,.g(X)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增.r()=g()g(O)=(VJ的单调递增区间为R,无单调递减区间.【例2】设/3=若(x>1),判断函数/的单调性.【解析】/(x)=-(x>1)zX11Inx.r(H=X,i(F设g(x)=1InX(X>1),g'(x)=J=<0.y=g()在(1,+8)上为减函数.g(x)=1-1-InX<g=0.X1111 Iiu.f,(x)=-j<0.函数X)=M1在(1,+8)上为减函数.x-1讨论含参函数的单调性(一次函数型)当函数含有参数时,函数的图像是不确定的,我们讨论的核心在于讨论不同参数取值范围时函数的单调性是什么,更进一步说,我们讨论的是不同参数下,导函数的正负号如何,在讨论的时候一定要注意定义域问题.以下例题是导函数为一次函数r(x)=履+b结构的类型,要注意总结方法.【例1】己知函数/(力=*-1-1联4氏讨论函数/(工)的单调区间.【解析】无>0J(x)=0r-I-InXJ'(x)=-J="，,当OJ'(犬)<0时J(X)在(0,+e)上单调递减.当4>O,r(x)=O时，.当x(,J时JM)<0j(x)单调递减.当x(1+8时"'(x)>0J(x)单调递增.综上所述,当0时"()单调递减区间为(o,y),无单调递增区间.当4>0时"(x)单调增区间为(1+“,单调减区间为(0.【例2己知函数/式如筌”/)讨论/(x)的单调性.【解析】,(x)=(or-2+6r)etz当4=0时,r(x)=-2e*<0,/(x)在R上单调递减.当>0时,令r(无)<。得.令r(无)>o得了>平.”X)的单调递减区间为1),单调递增区间为,+/).当。<0时,令r(%)<o得>F令/M)>o得2-ax<.a."(力的单调递减区间为(平,+8),单调递增区间为卜力,V).【例3】己知函数"x)=2e'-日-2,讨论函数/(力在(0,+向内的单调性.【解析】由题意得r(x)=2e'-3x(0,+).x>0,/.2ex>2.当2时,/(力>0,此时/(x)在(0,+8)内单调递增.当&>2时,由/(力>0得X>InT,此时f(x)单调递增.由/'(X)<0得0<X<Ing,此时了(元)单调递减.综上,当k2时"在(O,+)内单调递增.,、(k、(k当加2时,/(1)在OJn-内单调递减,在1n-,+a)内单调递增.讨论含参函数的单调性(二次函数型)如果决定一阶导函数正负号的是一个含参数的二次函数r)="2+加+g则我们讨论的逻辑层次是：(1)讨论二次函数开口.(2)讨论二次函数的判别式.讨论两个根大小和是否在定义域范围.具体步骤如下：讨论r(x)=o+Z?x+c在x。上的正负号.0=0,则/=加+c,按一次函数讨论.(2) 0>0,开口向上,讨论=一4公.A0=>在xO上,r(x)0=/(X)在xe。时单调递增.A>0n尸(力=0会有两个根:=/=芍区,进一步比较两个根的大小和讨论两个根是否在定义域内(结合开口方向,对称轴和纵截距综合考虑).G<0,开口向下,讨论A=J-4ac.A0=在xO上r(x)0="x)在xO时单调递减.A>0n;(力=0会有两个根:不=心乎,£=与区,进一步比较两个根的大小,讨论两个根是否在定义域内.注意:如果可以通过因式分解求出两个根,则只需根据开口,比较两个根的大小，讨论两个根是否在定义域内.例1已知函数/3=41门+/_2尔(mR),求函数的单调区间.分析：(1)首先确定函数定义域和导函数.当A0时J'(HO,得到函数单调递增.当A>0时,分两种情况讨论,根据导函数的符号得到原函数的单调区间.【解析】由题意得“X)定义域为(0,+e)"")=3+2x-2m=2jXX令y=f_尔+2,贝14二m2_8若-22<m2,则0,则fx)0,.此时函数力在(0,+8)上单调递增.若m<-2垃或m>22,y=x2一mx+2有两个零点x1,x2,则XIX?=2>0,其中m-Jtn2-8m+n2-8=，x=22若加<一2&,则玉<0,工2<0,此时z(x)>0z故此时函数/(x)在(0,+8)上单调递增.若m>2J,则x1>O,x2>O,此时当(0,xJ和(x2,+e)时"'(x)>。.当x(%,x2)时,r()<0.此时函数/(X)在(0,%)和(林+8)上单调递增,在(西,工2)上单调递减.综上所述,当z<2时,函数X)的单调递增区间为(0,+8).当-2垃m2y2时)(司的单调递增区间为(O,+).当m>2时"(力单调递增区间为Or-JT8，利+1；2-8+8单调ZZ递减区间为1近百,生正三、,I22J【例2】已知函数f(x)=gf一欣+(Ja)X,讨论函数“同的单调性.E1n.、，、八,/、。.X2+(1-a-a(x+1)(x-a)解析定义域为(0,+8)J(X)=X-+1-4=.XXX当4o时,在(。,+8)上r")o,.此时“力在定义域(0,+8)上单调第增.当40口寸,令r(x)>0X>，令/'(X)<0有OCXV4,.此时/(力在(OM)上单调递减,在g,+e)上单调递增.【例3】己知函数/(x)=eT-e'+3aR,讨论力的单调性.1(IA(evf-«ev+1【解析】fx)=-ex+a=-+ex÷r=-½eIeee-v÷-2,.-fev+-"1-2.ev(e)当42时,r(x)0,止匕时/(x)在R上单调递减.当。>2叱由广(力=0解得X=Ine咚三或X=In"gH,.y=e'是增函数,.此时/(x)在-naa2-和产及24+8单调递减，22)/h伫重三n”遂三单调递增.I22J【例4】已知函数“力二；/一(4+,卜+2hu,讨论了的单调性.1(八【解析】/(x)=-x2-a+x+21nx(x>0)2a)/992-p+-v+2(x-)fx-.,r(x)=+2+2=_=:_('Va)Xx若MO,r(M)o恒成立,.此时在(0,+力)上单调递增.(2)若>衣,>2,当w二,十/)时,/(力>0,./(另在(4,+00)上单调递增.当x(,2时"<*)>0,.此时在(0,2上单调递增.当(2,)时，r(x)<O,.此时/(力在上单调递减.若=应,/(无”0恒成立,.此时外力在(0,+上单调递增.若0<a<>2,a<,当x(2,+8时,八元)>0,.此时工)在(2+8上单调递增.当x(4,2卜j,/("(V.此时/(%)在上单调递减,当XE(OM)时/<x)>0,.(x)在(Om)上单调递增.综上,当<0或=时Ja)在(0,+s)上单调递增.当>逝时J(X)在(,y)和(0。)上单调递增,在上单调递减.当O<<时,/")在(：+力)和(OM)上单调递增,在Qq)上单调递减.由单调性确定参数的取值范围已知单调性反解参数取值范围其实就是转化为导函数不等式成立时求解参数取值的问题.如果对不等式不是很熟悉,可以先看后面的章节,再回来看这一部分，我们的解题思路是把原函数单调性问题转化为一阶导函数不等式问题,当函数/(X)在(内可导,且广在(任意子区间内都不恒等于。时,转换方式如下：函数/(X)在区间。上单调递增or)o在区间。上恒成立.(2)函数在区间。上单调递减白r(x)0在区间。上恒成立.(3)函数/(X)在区间。上不单调Or(X)在区间。上存在异号零点.函数在区间O上存在单调递增区间=xQ,使得r(x)>O成立.函数“X)在区间。上存在单调递减区间=3x。使得r(x