直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳.docx
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1 .直线的倾斜角(1)定义：当直线/与X轴相交时，取4轴作为基准，X轴正向与直线I向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.(2)规定：当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线/倾斜角的取值范围是0,).2 .斜率公式定义式：直线/的倾斜角为(W?,则斜率A=Uma(2)坐标式：P(x>y),P2(x2,2)在直线/上，且xM,则/的斜率&=也二X.X2X13 .直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-yo=k(-d)不含垂直于K轴的直线斜截式y=kx-b不含垂直于X轴的直线两点式yyy2-y2-不含直线X=M3X2)和直线y=y(yy2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0,A2+B2O平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点PGI,y)»垂直于X轴的方程为X=X1；(2)直线过点P1(X1，j),垂直于y轴的方程为)，=y；(3)y轴的方程为X=0；(4)X轴的方程为y=0.考点一直线的倾斜角与斜率典例直线2xcos一厂3=(信驰勺倾斜角的取值范围是()Ag引C62(2)直线/过点P(1,0),且与以A(2,1),8(0,由)为端点的线段有公共点，则直线/斜率的取值范围为.解析(1)直线2xcosay3=0的斜率=2cosa,因为aV，；，所以呆CoSaW坐，因此女=2cosa1,y3.设直线的倾斜角为仇则有tan91,3.又夕0,),所以eJTTT即倾斜角的取值范围是不5(2)设布与PB的倾斜角分别为a,p,直线布的斜率是以p=1,直线PB的斜率是依P=-3,当直线/由力变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由Q增至90。，斜率的取值范围为1,÷).当直线/由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至小斜率的变化范围是(一8,-3.故直线/斜率的取值范围是(一8,-3U1,÷OO).答案(I)B(2)(-,-3U1,+)变透练清1 .(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点4(COS仇sin2),B(OJ),则直线AB的倾斜角a的取值范围是.解析：由题意知cos。#。，则斜率A=IanQ=2瓦方=一cos8-U)U(0,1,所以直CoSHU线AB的倾斜角的取值范围是(0,JUy,兀).答案:(0,RU摩)2 .(变条件)若将本例中P(IQ)改为尸(-1,0),其他条件不变，则直线/斜率的取值范围为.解析：设直线/的斜率为太则直线/的方程为y=Mx+1),即AX-y+2=0.VA,B两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，：Qk-1÷)(-3+Ar)0,即(3k-1)(k-5)WO,解得gw%Wi即直线/的斜率的取值范围是；,小答案：闾3 .若点4(4,3),8(5,),C(6,5)三点共线，则。的值为.5-3Q-3解析：因为以C=7=1,心B=-3.由于A,B,C三点共线，所以。-3=1,O4J4即4=4.答案：4考点二直线的方程典例(1)若直线经过点45,2),且在X轴上的截距等于在)，轴上的截距的2倍，则该直线的方程为.(2)若直线经过点4一小，3),且倾斜角为直线1t+y+1=0的倾斜角的一半，则该直线的方程为.(3)在AABC中，己知A(5,-2),8(7,3),且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在X轴上，则直线MN的方程为.解析(1)当横截距、纵横距均为零时，设所求的直线方程为y=去，将(-5,2)代入y22=云中，得=一予此时，直线方程为y=一尹，即2x+5y=0.当横横距、纵极距都不为零时,设所求直线方程为成+)=1,将(一5,2)代入所设方程，解得。=一/此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5Iy=0.(2)由5x+;TH=O得此直线的斜率为一5,所以倾斜角为120,从而所求直线的倾斜角为60。，故所求直线的斜率为1又直线过点A(一5,3),所以所求直线方程为y-3=5(x+5),即5%-y+6=O.(3)设C(X°,yo)f则M2,汽因为点M在y轴上，所以所以Xo=-5.因为点N在X轴上，所以咛3=0所以光=-3,即。(一5,3),所以M0,D，M1O),所以直线MN的方程为:+、=1,2即5-2y-5=0.答案(1)+2y+1=0或2r+5),=0(2)3-y÷6=0(3)5-2y5=0题组训练1 .过点(1,2),倾斜角的正弦值是坐的直线方程是.解析：由题知，倾斜角为彳或手，所以斜率为1或一1,直线方程为y-2=-1或,，一2=(-1),即xy+1=0或x+y3=0.答案：xy+1=0或x+y3=02 .过点P(6,-2),且在X轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为YV62解析：设直线方程的截距式为一±+十=1,则一匕十丁=1，解得。=2或=1,则直。+1aa-1a线的方程是击+=1或漳+；=1，即2x+3y-6=0或x+2y-2=0.答案：2x+3y6=0或x+2y-2=0考点三直线方程的综合应用典例已知直线/过点M(2,1),且与X轴、)，轴的正半轴分别相交于A,B两点，。为坐标原点，求当I而H疏I取得最小值时直线/的方程.解设A(,O),3(0,b)t则->0,b>0f直线/的方程为/方=1,21所以一+工=1abIM4MB=-M4B=-(-2,-1)(-2,h)=2(rz-2)÷Z>-1=2+Z>-5=+善4,当且仅当a=b=3时取等号，此时直线/的方程为x÷y-3=0.解题技法与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解.题组训练1 .若直线x+b="3>0,/»0)过点(1,1),则该直线在X轴，y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.2C.4D.8解析：选C:直线0r+/=H(0>0,历>0)过点(1,1),.ah=ab,即:+=1，.+=(+b)g+3=2+-+2+2T=4,abab当且仅当a=b=2时上式等号成立.直线在X轴，y轴上的截距之和的最小值为4.2 .已知直线/：-my+5m=0上存在点M满足与A（-1,O）,8（1,0）两点连线的斜率Icma与七的之积为3,则实数m的取值范围是（）A.一#,6C-,邛样,+8)DR，A解析:选C设M(x,y)f由Ama1wb=3,得疗"j±=3,即y2=3x2-3.联立f-my-y3m=0,1=3x2-3,得3卜+斗犬+6=0（加0）,则J=（B-呜T）20,即加2寸解得W乎或m2乎./.实数m的取值范围是（一8,-科B+J课时跟踪检泅1. （2019合肥模拟）直线/：XSin30。+NoSI5O°÷1=O的斜率是（）A亚a.3B.3C.小D-亚53解析：选A设直线/的斜率为攵，则=_也更=也打COS15003,2.倾斜角为120。，在X轴上的截距为一1的直线方程是（）A.小xy+1=OC.小x+y一小=OB.3-y-y3=0DSX+y+小=0解析：选D由于倾斜角为120°,故斜率4=一小.又直线过点（一1,0）,所以直线方程为y=-3（x+1）,即Ir+y+5=0.3 .已知aABC的三个顶点坐标为A（1,2）,8（3,6）,C（5,2）,M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A.2x+j-12=0C.2x+j-8=OB.2-y-12=0D.2r-j+8=0解析：选C由题知M(2,4),M3,2),则中位线MN所在直线的方程为E=岩，整理得2r+y-8=04 .方程y="一十表示的直线可能是()解析：选C当>0时，直线的斜率k=4>O,在)，轴上的截距)=-5v,各选项都不符合此条件；当V0时，直线的斜率="V0,在)，轴上的微距b=-(>0,只有选项C符合此条件.故选C.5 .在等腰三角形MoN中，Mo=MM点0(0,0),M(T,3),点N在“轴的负半轴上，则直线MN的方程为()A.3-6=0B.3x÷>,÷6=0C.3-y+6=0D.3x+y-6=0解析：选C因为MO=MN,所以直线MN的斜率与直线Mo的斜率互为相反数，所以kMN=-kMo=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3-y+6=0,选C.6.若直线;+“y+3=0在)，轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线5-y=35的倾斜角的2倍，贝")A.tJi,j-1B.fn,n3C.h3>=-3D.,=133解析：选D对于直线mx+“y+3=0,令X=O得y=7即一7=-3，=1因为小xy=3小的斜率为60°,直线nx+y+3=0的倾斜角是直线小xy=34的2倍，所以直线WU+"y+3=0的倾斜角为120°,即一£=一小,m=y3.7 .当0<层时，直线八：区一y=21与直线6：外一x=2Z的交点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B由k-y=ktky-=2k21，k1,1k2k1又ZrJ<°，y=.一,。，故直线:AX-y=&-1与直线，2：切一x=2A的交点在第二象限.8 .若直线/：履一)，+2+4仁0R)交X轴负半轴于A,交)，轴正半轴于5,则当aAOB的面积取最小值时直线/的方程为()A.-2j+4=0B.-2j÷8=0C.2-j+4=0D.2-y+8=02+4<0解析：选B由/的方程，得A(一券0),8(0,2+4好.依题意得k<'2+4Ar>0,I12+441(2+4公21/4、解得k>0.因为S=OAOB=72÷4=y7=J16÷÷16>(2×8÷16)Z乙K乙KKJ乙41=16,当且仅当16后=%，即Z=Z时等号成立.此时/的方程为工一2y+8=0.9 .以A(1,1),8(3,2),C(5,4)为顶点的AABC,其边AB上的高所在的直线方程是解析：由A,B两点、得kAB=3,则边AB上的高所在直线的斜率为一2,故所求直线方程是Iy4=2(x5),即2x+y14=0.答案：2x+y-14=010 .已知
