专题1 第6讲导数的简单应用.docx
第6讲导数的简单应用考情分析1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小2应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题.考点一导数的几何意义与计算【核心提炼】1.导数的运算法则(i)t/u)土g(x)r =r(%)土短(工).(2)/u>g(x)r =/ a)g(x)+/u)g' a).nJ©，_/ (。四)一於)g' (x)/ (自、(3)L(X)J -g(x)2(四产。)2.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1 (1)已知函数#x)的导函数为/ (x),且满足关系式«丫)=必+3 (2)-lnx,则/ (2)的值为()7c 7 9 、9a-4 B- -4 C4 D-4答案B解析 VAx)=x2+3Vz (2)-lnx,"(x)=2x+3f (2)-p令 x=2,得丁=4+" (2)-1,7解得/ (2)=-7(2)(2019江苏)在平面直角坐标系xO>中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(一e, 一l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.答案(e,l)解析 设 A(xo, Inxo),又 y'=：,则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y-In xo=(xxo),将(一e, - 1)代入得，-1lnxo=(一exo),化简得In x()=7，解得x()=e,xo则点A的坐标是(e,l).易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.跟踪演练1 (1)直线2xy+l=0与曲线相切，则。等于()A. e B. 2e C. 1 D. 2答案C解析 设切点为(m碇"+)，因为y' =6zeA+l,所以切线的斜率为ae+l,切线方程为 y(ae,1+n) = (aen + 1 )(x«),即 y=(ae"+ l)x+aen(l-n),依题意切线方程为y=2x+9ae+l=2,故，解得。=1, n=0.ae (1 )= 1,(2)若函数y=/U)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=/U)具有r性质.下列函数中具有r性质的是()A. y=sinxB. y=lnxC. y=exD. y=x3答案A解析 对函数y=sinx求导，得)/ =cosx,当x=0时，该点处切线/1的斜率h = l,当x=兀时，该点处切线，2的斜率攵2= 1,所以俗2= 1,所以/山2；对函数y=lnx求导，得< =：恒大于0,斜率之积不可能为一1；对函数 >=炉求导，得< =e<恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=R求导，得了=3炉恒大于等于0,斜率之积不可能为一1.考点二利用导数研究函数的单调性【核心提炼】利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 1例2已知/U)=q(xlnx)+"s-,。£区讨论兀1)的单调性.人解yu）的定义域为（），+8）,aa)=.2 (ar22)(% 1)若<0,当x£(0,l)时,f (x)>0,/)单调递增,xe（i, +8）时,f（x）0, yu）单调递减,当0<a<2时, a(x右。>0, f (x)=a/I>l当工£（0）或；1£，+8时，f（%）o, yu）单调递增,当 1,f u）o, yo）单调递减.当。=2时，A/-=l,在x£（o, +8）内,/ （x）20,兀o单调递增.当a>2时,当x10, 用或 gl, +8）时,f（x）o,於）单调递增，当仪/|, 1）时，/ （#0,/（1）单调递减.综上所述，当wo时，./U）在（）内单调递增，在（1, +8）内单调递减；当0。2时，危）在（0,1）内单调递增，在（1, /D内单调递减，在GJI，+8）内单调递增;当。=2时，凡V）在（0, +8）内单调递增；当。2时，y（x）在卜，怎内单调递增，在卬|, 1）内单调递减，在a, +8）内单调递增.易错提醒（1）在求单调区间时“定义域优先”.（2）弄清参数对/（X）符号的影响，分类讨论要不重不漏.£瞄演练2己知定义在R上的函数段）的导函数为/。）,对任意x£（o,兀），有/ a）sinA习cos心且於）+4一工）=0，设a=Zf。，=物仔），。=一/（一5贝女 ）A. a<b<cB. b<c<aC- a<c<bD. c<b<a答案A解析构造函数g（x）=芸匕xHkit, kGZ,olll 人，/ (x)sin x->(x)cosg M=sin2xx一（）,所以函数以无）在区间（0,兀）上是增函数,因为 7U)+大- x)=(),tirA-X)")即式、)=一火_')，以_')=三嬴=sinx，所以函数g(x)是偶函数，(2)已知犬犬)=。2+20¥加人一52-2亦在(0, +8)上是增函数，则实数。的取值范围是()A. 1 B. -1 C. (0,1 D. -1,0)答案B解析 «r)=(f+2ar)ln xx2lax,f (x)=2(x+tz)ln x, 7U)在(0, +8)上是增函数, / a)2o在(0, +8)上恒成立，当x=l时，/' (x)=()满足题意；当心>1时，lnx>0,要使/ a)20恒成立，则x+a2。恒成立. x+a>l+a, 1+aO,解得1；当04<1时，lnx<0,要使/ (x)20恒成立，则x+aWO恒成立， x+«<1 +a, .,.1+aWO,解得 aW 1.综上所述，a= .考点三 利用导数研究函数的极值、最值【核心提炼】1 .由导函数的图象判断函数y=y(x)的极值，要抓住两点(1)由)，=/ (x)的图象与x轴的交点，可得函数y=y(x)的可能极值点；(2)由丁=/ 的图象可以看出y=/'(x)的函数值的正负，从而可得到函数)=危)的单调性，可得极值点.2 .求函数/U)在a,加上的最大值和最小值的步躲(1)求函数在3,份内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值人)，人力).(3)将函数危)的各极值与加)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例3 (1)若函数凡¥)=F一(6+1)心工+2(m+1)41恰有两个极值点，则实数7的取值范围为()B.CIVA. (e2, e)D. (8, e1)答案D解析由题可得/(x)=ev加+ ;+2(m+1), x>0,因为函数yU)=e"一(优+1刖x+2(?+l)x1恰有两个极值点，所以函数/ (犬)=函一-”1十2(/? +1 )(x>0)有两个不同的变号零点.m+,.令+2(m+1)=0,X等价转化成屋;=/+1。>0)有两个不同的实数根,记 (“)=一2r所以(x) =Qe) (l-2x)-xe'(l-2x)(12x)2仇2'+1)。1)(l-2x)2当时，'a)>o,此时函数 (x)在此区间上单调递增,当 1)时，h' (X)>0,此时函数在此区间上单调递增,当 x£(l,+8)时，。)<0,此时函数 (x)在此区间上单调递减,作出的简图如图,1 4人要使得7=加+1有两个不同的实数根，2x贝ij ( 1 )>m +1,即一e>m +1,整理得tn< 1 e.(2)已知函数“¥)=优+。”一(l+ln)x(a>0, #1),对任意即，必£0,1,不等式|/Ui)«/(M)|Walna+e4恒成立，则a的取值范围为()ri】A. 2，eB. 2, eC. e, +°°)D. (e, +°°)答案C解析 依题意，得aln +e42(),因为(x)=avln a+ex 1 In a=(- l)ln tz+ex 1,当公>1 时,对任意的x£0,l,出一 120, Ina>0, e，120,恒有f (x)20；当 0<l 时，对任意 x£0,l, 一IWO, lna<0, e"-120,恒有/ (x)20,所以火x)在0,1上是增函数,则对任意的xi,Q£0,不等式/(X2)|是aln a+e4恒成立，只需 7U)max -/U)minWaln a + e 4,因为 yU)max=/U)=a+e1In a,./Wmin=A()=l + l=2,所以 67+e1In a2Wain a+e-4,即 67In a+1 an W0,即(l+a)(lIna)W0,所以+a21,从而有a2e,而当o2e时，式显然成立.故选C.易错提醒利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：(1)不能忽略函数«¥)的定义域.(2/ a()=()是可导函数在x=m)处取得极值的必要不充分条件.函数的极小值不一定比极大值小.(4)函数在区间(4, 6)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.跟踪演练3 (1)若是函数7U) = lnxAx的极值点，则函数«r)=lnx自有()CA.极小值一2B.极大值一2C.极小值一1D.极大值一1答案B解析由题意得/ a)=：一女，:f g)=e-攵=0, :.k=e.由/ a)=；-e=o,得Av当x£(o, §时，r(x)>0,函数凡丫)单调递增；当x£(5，+8)时，/ (x)<o,函数次X)单调递减，所以函数大元)的极大值为/(3 = lneX：=2.(2)已知点M在圆C /+尸一4)，+3 = 0上，点N在曲线)，=l+lnx上，则线段MN的长度的最小值为.答案2-1解析 由题可得C(0,2),圆C的半径r=1.设 M/,l+lnf)«>0),令财=|。所,则/W=F+(lln/)2(f>0),所以/ (Z)=2z+2(1 -In /)(-)=2(f2+l"?"1).令(p(t)=/2+ln rl(r>0),易知函数贝。在(0, +8)上单调递增，且9(1)=0,所以当 0</<1 时，f (/)<0；当 t> 时,/ (r)>0,所以yw在(0)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，所以 yWmin = /U) = 2.因为 |W|2|CN|-1 =y2-1,所以线段MN的长度的最小值为也一1.专题强化练一、单项选择题1. (2020全国I )函数./U)=/2V的图象在点(1,贝1)
