专题3 第3讲数列求和及其综合应用.docx
第3讲 数列求和及其综合应用考情分析数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上.考点一数列求和r核心提炼、1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：（+l） n w+r n（n+k） n+k）' n1 丸-1 n+）' 4/?21 22n 1 2/1+1/2.如果数列小是等差数列，d是等比数列,那么求数列斯儿的前项和S”时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：（1）等比数列的公比为负数的情形；（2）在写出“SJ和"qS的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“SnqSj的表达式.考向1分组转化法求和例1已知在等比数列斯中，0=2,且m，。2, 43 2成等差数列.求数列斯的通项公式；若数列小满足儿=!+21og2斯-1,求数列d的前n项和解（1）设等比数列“的公比为q,由,2,。32成等差数列,得2a2=。1+。3-2,即4夕=2 + 2/ 2,解得夕=2（4=0舍去），则 mi尸=2，n e N*.（2 泡=a+21og2% l=2+21og22w l=+2n1,则数列九的前项和z考向2裂项相消法求和例2 （2020莆田市第一联盟体学年联考）设数列斯的前项和为S”，且S尸久一2，d为正项等比数列，且|=勿+3, 63=604+2.求数列斯和d的通项公式；设G产j;，求c的前项和Tn.4+ll0g2%+l解 (1)由工=/一2，得当 =1 时，m=S = 1,当九22 时，Si = 51)22(-1)=/-4+3,所以当时，a,i=SnSn-=2n3, a 1也满足此式.所以斯=2一3, qN*.又加=。1 + 3 = 2, 83 = 644+2=32,因为仇为正项等比数列,设为的公比为q(q>0).所以/=£=16,即 q=4,所以仇=加41=241=22，£N”.(2)因为%+=2(+1)3=2-1,儿+】=2'+.所以 C,1an+ -og2bn+1- (2A? - 1 )-log22271+1=(2/ 1)(2 拉+ 2+1)所以 7) = C1+C2+C3 + c=肃7.所以T=菰-非7)n2n+V考向3错位相减法求和例3己知数列如的前项和为S，di=2,3>0,且+i 2。+山-3五=0.(1)求数列斯的通项公式；设儿=10g3(l +S”)，求数列0瓦的前项和Tn.解(1)由扁+2斯+对一3曷=0及篇>0,得智-2'3=。，解得等=3或誓=1(舍)，Cln所以斯是等比数列，且公比夕=3,又。1 = 2,所以如=23-1, £N*.e、12(1 3”)(2)因为 S尸 J = 3- 1,1 5所以儿=log3(l+S)=，则。疝=23厂1所以 7；=2X30+4X3i+6X32+ (2-2>3-2+243一1,所以 37；=2X3,+4X32+6X33+- + (2n-2)-3rt-I+2n-3w,一，得(1 一3)5=2 + 2X31+2X32 + 2X33+ 23门一Z"S'in_ 1 _ 1 (2/? - l)(2n+ l)2n- 1 2n+1 2 当 =1时，满足上式.7一23 = (1 一2砂3一 1,所以Tn=3+)规律方法(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差.(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.(3)错位相减法求和，主要用于求斯b的前项和，其中“, 与分别为等差数列和等比数列.，落为奇数，跟踪演练1 (1)已知函数/() =、y /田跖且a=yS)+y(/2+1),贝IJ。|+。2 +。3+一-，为偶数，。8等于()A. -16 B. -8 C. 8 D. 16答案c解析 当为奇数时，+1为偶数，则如=/(+1)2=2一1,所以0+03+45+47=(3 + 7+11 + 15)=36.当为偶数时，+1 为奇数，则| 斯=一2+(+1)2=2+1,则 公+。4+。6+。8=5 + 9+13 + 17 = 44.所以+2+03+。8 = 36+44=8,故选 C.2(2)(2020武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为的数列斯满足2(2+1)斯斯+1+斯+】=%，则。1+。2 +。3+。2020 等于()8 0804 0784 0404 039A-4 041 B4 040 C4 041 D4 040答案C解析 依题意得。”WO,由2(2+1)。”斯+1=。一如十1,等式两边同时除以斯斯可得一=4 + 2,则当22 时，"-=4-2, "-"-=4-6,，=6,an an-an- an-ig a以上式子左右两边分别相加可得1 J(6+4.-2)(一 1)cin a2'日口 1 G 2 1 (2一 1)(2+1)所以a“=即-5=2，故。+。2 +。3H1-42 020= 1 -；+;一H1-4 039 14 0404 041 1 4 041 4 041,（3）已知数列如和儿满足。1=2,加=1, a“+=2a”（£N*）,F，=Z?+i一 1（£N*）.求数列%与d的通项公式；记数列。疝“的前项和为T”,求Tn.解 由。1 = 2, a+i = 2a“，得斯=2"（£N"）.由题意知：当 =1 时，故 历=2.当22 时，%?=/?“+一儿.整理得铝=%十1 n又牛=牛，所以d=(£N*).由知4力=小2，因此 7:i=2+2-22+3-23 + - + z?-227；,=22+2.23 + 3-24+-+/r2,+ l,所以 7；25=2+22+23+ 2”一2由.故。=(- l)2+1+2(£N*).考点二数列的综合问题数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明.例4 （1）（2020日照模拟）如图，在直角坐标系犬0），中，一个质点从A（m，）出发沿图中路线依次经过8（的，。4），。（。5，。6），。（。7，。8），按此规律一直运动下去，则42017 +。2018 +。2 019 +。2 020 等于（）A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2 020答案C解析 由直角坐标系可知，A(l,1), 5(1,2),。(2,3), 0( 2,4), E(3,5),5(一3,6),即0=1,。2=1,。3= - 1 。4 = 2,。5 = 2,。6 = 3, Cl7= -2,。8 = 4,，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2；每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为 2 020:4=505,所以 42017=505, «2()18=1 009, 6019=505, 42020= 1 010,S 017+02018+2019+02 020=2 019.(2)(2020洛阳第一高级中学月考)已知数列知满足卬+%2+L，?=2+(£N*),设数列乙11仇满足。="L数列8的前项和为，若4士(£N*)恒成立，则2的取值范。斯+1十I围是()aQ，+°°)B.J, +8)弟,+8)D,(1 +8)答案D解析 因为2Hb；a”=z? + (£N"),乙/1所以 ai+L2T1-77-1=(/? 1 )2+(/? 1 )(wN 心2),乙A? 1故%=2,即斯=22(22).当=1时，0 = 12+1=2,满足上式,故 4 = 22( £N：j.b=4层 X ( + 1 )2=农2( +1)2故T=g©_*)+e+.公正 n2+2n生 (+1)2=4(及+1产故品必区N*)恒成立等价于器枭舟2,即:言力恒成立，化简，得;+舟1九I )|1 33因为a+而有故方和易错提醒(1)公式斯=S-S,I适用于所有数列，但易忽略 22这个前提.(2)数列和不等式的综合问题，要注意条件金N*,求最值要注意等号成立的条件，放缩不等式要适度.跟踪演练2 (1)(2020中国人民大学附属中学模拟)在数列斯中，已知斯=层+力£N*,则“0<。2”是“如是单调递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析 若在数列中，已知斯=/+篙，£N*,则1+:V4+2L解得，>一3,若数列斯是单调递增数列，则对任意的金N”都满足a+|一斯=(+1)2+2(+1)/?一力7=2+l+A>0,A> 1 2/b 即 2>( 1 2/?)inax = 1 3,因此，是“斯是单调递增数列”的充要条件.(2)设曲线y=2 020*i(£N*)在点(1, 2 020)处的切线与x轴的交点的横坐标为为，令an=log2020X，则+欧+。2019 的值为()A. 2 020 B. 2019 C. 1 D. -1答案D解析 因为< =2 020(/1+l)y所以切线方程是y2 020=2 020(+l)(x1),所以x=几所以 0+2+，-+2O19 = lOg2()2()(XlX2iX2O19)=Iog2 020(5XIX X|)=log20202-520= 1 专题强化练一、单项选择题1 . (2020聊城模拟)数列1,6,15,28,45,中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第1。个六边形数为()16152845A. 153 B. 190 C. 231 D. 276答案B解析 由题意知，数列斯的各项为1,6,15,28,45,所以 0 = 1 = 1 XI, 42=6 = 2X3, 3=15 = 3X5, 4=28=4X7, 5=45 = 5X9,，斯=(2T)，所以 00=10X19=19().2 .已知数列斯满足斯+i=a一£N"), 0 = 1,e=2, S为数列斯的前项和，则$2 020等于()A. 3 B. 2 C. 1 D. 0答案A解析 */an+ =aH
