单调性、奇偶性函数问题的方法(.docx

单调性、奇偶性函数问题的方法(2云南省2010届高三二轮复习专题(七)题目高中数学复习专题讲座处理具有单调性、奇偶性函数问题的方高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样特别是两性质的应用更加突出本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识重难点归纳(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一复合函数的奇偶性、单调性问题的解决关键在于既把握复合过程，又掌握基本函数(2)加强逆向思维、数形统一正反结合解决基本应用题目（3）运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力（4）应用问题在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决特别是往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题典型题例示范讲解例1已知函数府）在（一1,1）上有定义,/（；）=1,当且仅当OCV1时y（）vo,且对任意（-1,1）都有於）切沙念）,试证明（1必）为奇函数；（2）/（2在（一1,1）上单调递减命题意图本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法对于(1),获得HO)的值进而取是解题关键；对于(2),判定尸1的范围是,x1x2焦点证明由先升/5=/(瑞)，令C=O,得/(0尸0,令y=X,得)+)=衿)=()=oI-X,J1)=fi-2为奇函数(2)先证儿:)在(0,1)上单调递减令OT1T2V1,则HX2)JX)=fX1)+f(XI)J千H'-xx2eeO<X1XT2U:X1-X1>0,1XIX2>0，:”!>0,又(X2X1)(1X2XD=(X21)(X1+1)VO.e.X2-X1<1-X2X1,，OVV1,由题意知八一)VO,1-XjX)I-JfjXj即/(X2)勺(X1)(X)在(O,1)上为减函数，又*x)为奇函数且f(0)=077(x)在(一T；1)上为减函数例2设函数/(X)是定义在R上的偶函数，并在区间(-8,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)求a的取值范围，并在该范围内求函数y=Q)a.,的单调递减区间2命题意图本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法知识依托逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题错解分析逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱技巧与方法本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法解设OVXIVX2,则一乂2一看<°，:*x)在区间(-8,0)内单调递增，f(X2)Vf(0)，f(x)为偶函数，f(-X2)=*X2)J(一占)=胴)，.仇)仰:/(x)在(0,+8)内单调递减1712又2a2+a+1=2(a+-)2+一>0,3a¢-2a+1=3(a-)2+>0.4833由/(2a2+a+1)<(3a2-2a+1)得2+a+1>3a2-2a+1解之，得0<a<3又323a+1=(a-3)25函数片J)i就单调盟区间是：3,+22结合0vav3相函数片(I1SaS的单调递减区2间为：3,3)2例3设a>05(x)=e+a是R上的偶函数，ae×求a的值；(2)证明/(X)在(0,+8)上是增函数(1)解依题意，对一切xR,有X),即e×+a=1+3&整理，得(a-)=0ae×a×ae×因此，有aj=0,即a2=1,又a>0,)a=1a证法一(定义法)设o<x1VX2，则鸣)一仇)=J=T)×1x2×t×21 <+X=<,(e×2<,-1),2e+2由x>03xo>0o>Xh3e,>0,1e<0,1727211e2-×1-1×1+×2(x1)-f(x2)<05BPf(x1)<f(x2)，f(x)在(0什8)上是增函数证法二(导数法)由f(x)=6+er,得严(x)=e%-e-=e-值x1)当x(0,+8)时，X>,2x1>0此时f'(x)>0,所以f(x)在0,+8)上是增函数学生巩固练习1下列函数中的奇函数是()AZ(X)=(X1)EBf(x)=Ig(1-2)V7TxIX2-2I-2C/(X)=IX2+(x<O)D/(X)=1+sinx-cosx-2÷(x>0)1÷cosx+sinx2 函数x)=g+x-的图象()1+X?+x+1A关于X轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线X=1对称3 函数f(x)在R上为增函数，则y=f(x+1)的一个单调递减区间是4 若函数/(x)=a3+bx2+cx+d满足/(0)=f(x1)=(x2)=0(0<x1<x2),且在|>2，+8)上单调递增，则匕的取值范围是5 已知函数*x)=ax+R_(a>1)x+1(1)证明函数*x)在(-1,+8)上为增函数(2)用反证法证明方程f(x)=O没有负数根6 求证函数f(x)=X3在区间(1,+8)上是(X2-1)2减函数7设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足(i)(x1-2)=f(×1)f(×2)+1;f(X)-f(X)21(ii)存在正常数a使f(a)=1求证(1)*x)是奇函数(2)*x)是周期函数，且有一个周期是4a8已知函数/(x)的定义域为R,且对/77、£凡恒有*；77+/7)=*；77)+*/7)1,且*一)=0,当；0o-1时，*x)>02(1)求证*x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证参考答案：1解析KX)=(×2-x(x>0)_(-(>c+x)(x<0)=I1X2-X(x<0)-(-2+x)(x>0)f(),故f()为奇函数答案C2解析f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称答案C3解析令f=x+1,则f在(-8,1上递减，又y=。)在R上单调递增，.y=(x+1)在(一8,一I1上递减答案(-,-4解析VZ(O)=Z(X1)=Z(X2)=O,.*.f(0)=c=0f(x)=ax(xx1)(xx2)=a3-a(x1+x2)2+ax1x2x,a(X1+X2),又*X)在5，+8)单调递增，故a>0又知C)VXIVX,得x1+x2>0,.*.b=-a(x1+2)<0答案(-,0)5证明(1)设一1VX1VX2<+8,则X2-X1>0,>1且>0,I'a×2×1a×17e.(.>05Xx1+1>0,x2+1>0a×2a×1=a×,(a×2×11)12二x2X2(X2)(x+1)(x2)(x+1)3(xx)>0,V1V1=("W*)2=(*)(>D于是f(Xjf()=a+x2x2>0a×12x+1x+121f(x)E(-1,+8)上为递增函数(2)证法一设存在XOVO(X07)满足仇)=0,则x-2且由0<VI得0<X-2<1,3×0=-0axo.X+1X+100即一IVXo<2与x0<0矛盾，故/(x)=0没有负2数根证法二设存在XoVo(Xo7)使f(x0)=O,若一IVXOV0,则32一2,a,<1,.W(x0)<-1与f(X0)=O矛X+10,0盾，若XoVT，则X。2>0,>0,xO+1ax°f(x0)>O与f(x0)=O矛盾，故方程f(x)=O没有负数根6证明X0,JAX)=_11,(×2-1)2×(×2-1)2(1-1)2X3X4X2设IVX1VX2<+8,则,X2X2X2X22121.(x1)>f(x2)5故函数f(x)在(1,+8)上是减函数(本题也可用求导方法解决)7证明(1)不妨令x=X-X2,则1x)=f(2-9)=皿)由)+1=f(×1)f(2)÷,f(X1)f(X2)f(×2)f(×1)=-f(x1-2)=-f(x)*X)是奇函数(2)要证*x+4a)=*x),可先计算f(x+a)(x+2a)f(x+a)=fx-(-a)=f(a)f(x)+1J(a)f(x)+IJ1If(a)f(x)f(a)f(x)f(x)+1)f(x)11f(x+a)1f(x)+11f(x+2a)=f(x+a)+a=-7：=-r½41-7 1v7jf(x+a)+1f(X)1.f(X).f(×)÷1(x+4a)=r(x+2a)+2a=1=(x)3f(x+2a)故f(x)是以4a为周期的周期函数8 (1)证明设X1VX21则x2x-1>-522由题意在2一X-1)>0,2Yf(Xf(x)=f(x2-x1)+x11T(XI)=在-X1)+(X1)-1-(X1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-1)O-1=f(x2-1)-1>O3J(X)是单调递增函数解/(x)=2x+1验证过程略课前后备注