《线性代数》 试卷及答案 第二套模拟题.docx
第二套模拟题一、填空题(将正确的答案填在横线上)(每小题4分，总计32分)/1OO1 .设A=O%,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-=.<°1%,2 .过点(1,-1,2)且垂直于直线=A2=的平面为.2-233 .设维向量=(,O-.,O,)7<O;E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-aa,B=E+-aa,其中A的逆矩阵为B,则C1=.a。2-2、4 .设3阶矩阵A=212,三维列向量二(,1,1,),.己知Aa与。线性相关，则<304,5 .设向量=(1,0,2)。=(1I,-%)。则向量与的夹角为.6 .设。,么，蜃是齐次线性方程组Ar=O的基础解系，则娉I-4242-&4一。也是AX=O的基础解系的充要条件是.(07 .设矩阵尸8 .设矩阵A=2、4;1,Q=O的伴随矩0°,则PAQ2014aii+a12+a21+a22=.其中Nj为元素沏的代数余子式.二、计算题（每小题8分，总计40分）1 .求某多项式空间中基1,2,V到基1/一1,。-1）2,。一1）3的过渡矩阵；并求元素2x3-X+5在这两组基下的坐标。2 .已知4阶方阵4=（%,。2，。3，。4），且R（A）=2,若%+。2-2。3+3。4=°，%+3。4="%+2a2-ai+a4=b,求线性方程组Ax=b的通解.3 .已知三阶方阵A的特征值为1,一1一4,求IA*+2A-3EI.24 .化二次型/（须，/）=X：+4x；-2%2+2XIX3-6工2均为标准形5 .判断二次型/区,工2，工3）=4石2+4%2+焉+2x1x2+4xix3+4冗2刍是否正定三、解答下列各题（每小题11分，总计22分）1-11.设矩阵A与B相似，且4=243-31(2-2,B=0。JIo00、20。"（1）求的值.n02.设A=O（2）求可逆矩阵P,使P-MP=B.。00、IaoC1,=(1-1,0,0)7,01aOo1（1）计算行列式A.（2）当实数。为何值时，方程组Ar二/有无穷多解，并求其通解.四、证明题（每小题6分，总计6分）设A为阶正交矩阵,证明矩阵A的伴随矩阵为正交矩阵.第二套模拟题答案一、填空题（每小题4分，总计32分）r-4OO、1O26;2.2x2,y÷3z10=O；3.-1；4.1；、O-4-10,二、计算题(每小题8分，总计40分)1-11-n,；.01-231.解：(1,X-1,(X-1)2,-1)3)=(1,M2,3)OO1-3、0001；勺-11-P01-23所以过度矩阵为八八I,，IOoO1）2/一%+5在基1,工,冗2,丁下坐标为（5,_1,0,2）丁.8分2.解：因为%+%-2%+3。4=0,所以二(1,1,-2,3)7"是Ar=O的解，又a1-a2+3a4=b,所以7=(1,一1,0,3),是41=力的解，由a1+Ia2-a3+a4=b,所以%=(1,2,TJ)T是AX=b的解,所以么=7-%=(0,-3,1,2)7是AX=O的解,且白线性无关，而AX=O的解空间是2维的，所以4高+&42+7是4x=/的解.8分3 .解：因为A的特征值为1,-4,所以IA1=2,故A可逆，2所以A*=|AA-=2A-i.73进而A*+2A-3E=2A-1+2A-3E的特征值为1,-8,-,2所以IA*+2A-3E=92.8分4 .解：f(x1,x29x3)=x12-32+4x；-2x1x2+2x1x3-6x2x3=(x1-X2+x3)2-4x?+-4x2x3=(x1-x2+工3)一4(%2+%)2+4x；,M=Xi-x2+令,y2=r2+%r3，所以/(%，%，%)=丁；-+4y；.8分月=%35 .解，二次型的系数矩阵为212、A=122,A的各阶顺序主子式14|=2>0,、221J2111IA21=12=3>0,A3=-5<0,于是二次型不是正定的.8分三、解答题（每小题11分，总计22分）1.解：（1）因为矩阵A与5相似，所以IAI=I3,且54="3,得。=5/=6.5分因为4的特征值为4=4=2,4=6.解线性方程组（2EA）X=O得基础解系1=（-1,1,0）r,S2=（IQJ）I解线性方程组（6E-A）X=O得基础解系J3=（1，-2,3）7.取P=&/2/3），则PTA尸=A11分2,解：（1）A=1-a4.5分(2)对增广矩阵(A,广)作初等行变换得<1a001、<1a001、01a0-101a0-1(A)二001a0001a0，001000-a4-a-a2j当实数1一/二o且一。一。2=o时，即=i时，方程组Ar=有无穷多解.'100-10、010-1-1此时(A,P),所以Ax=的通解为00110,00000,X=(0,-1,(),0)'+A(U,1,1)7,其中攵为任意常数.11分四、证明题(每小题6分，总计6分)证明：因为A为正交矩阵，所以=E,且A2=1,A可逆，所以A*=AA1进而(A*)%=(IAIAT),(IA1A7)=A2(1)3=(AT)TAT=(AAT)T=E.所以4*是正交矩阵.
