《线性代数》 试卷及答案 第五套模拟题.docx
第五套模拟题一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题4分，总计20分）'0111、10111 .设4阶方阵A=,贝IJI4I=.3一25-2O121Ioo/3 .已知=3,W=I2,且(a")=£,则|仅一卜卜8-3«)|=.4 .已知向量组%=(123,4)1%=(2,3,4,5),4=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),则该向量组的秩是.71IYx1A（1、5.设方程组1。1占=1有无穷多解,则。=.J1。卜JS二、单项选择题(将正确的选项填在括号内)(每小题4分，总计20分)1 .设AB均为阶方阵，则必有().(A)IA+B=A+B;(B)AB=BA;(C)(A+B),=A'1÷B'1;(D)BA=AB.2 .设A是x/n矩阵，。是阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=CA的秩为公，则().(A)r>r1;(B)r<r1；(C)r=r1;(D)，与6的关系依C而定.3 .设A8,C均为阶矩阵，E为阶单位阵，若B=E+AB,C=A+CA,则C-B为().(A)Ei(B)-E；(C)A；(D)-A.4 .对任意实数,4c线性无关的向量组是().(A)(1,a,1,1)r,(1,W,0)r,(1,c,0,0);(B)(W,1)t,(2,3,c)t,(a909c)；(C)(a,1,2)r,(2,W),(0,0,0)7；(D)(1,1,1,a),(2,2,2,Z>),(0,0,0,c)r.'OO1、5 .已知矩阵A与B=010相似,则R(A-2E)与R(A-E)之和等于().J0;(A)2；(B)3；(C)4；(D)5.三、解答下列各题(每小题10分，总计50分)I.已知多项式空间的子空间Wr1=SPau2÷2,x÷Ix,6÷1Ox÷2x,2÷3x+厂,%=5pdn1+x+x2,2+2x+6x2,6+6x+10x2.求叱+吗与叱Q吗的基与维数.2 .设A=P-1I，判断4是否可逆，若可逆，求I。2；Xy+%2+=4-3,3 .对于线性方程组(内+芥2+当=一2,讨论；I取何值时方程组无解、有唯一解和x1+x2+x3=-2无穷多解，在方程组有无穷多解时，求出其一般解.4 .设向量组A:a1=(1,-1,1,-1)r,2=(3,1,1,37;向量组B：e=(2,0,1,1)1A=(U,OS)7；&=(3,1,2,0),讨论向量组A和B是否等价.500、5 .设矩阵A=03-2,问4是否与对角阵相似?若相似,求对角阵A及可逆矩阵10-23,P,使得P1AP=A.四、证明题(每小题5分,共10分)1.若A?=2=E,且IA+8=0.证明4+3是不可逆矩阵.2.设X是A对应特征值4的特征向量,证明对于任意的常数A,K1是ZA的特征值。第五套模拟题答案一、1.-3；，-4OO、2. O-2-6、O-4-10?3. 18；4.2；5.-2.二、1.D；2.C；3.B；4.A；5.C.21031k2211669,2621J0410WOOO26、0044,故dim(W1+吗)=3,它的一组基为2+2x+2x2,6+10x+2x2,2+2x+6x2dimW；=2,dim叱=2,dim¾叱)=1,它的基为I+1+/。10分2.解：因为Ab20,所以A可逆，代入公式4=?(d得ad-be-ca)(D当4-2且;IHI时，R(A)=R(8)=3,从而方程组有唯一解。(2)当X=-2时，R(A)=2,R(B)=3,R(A)<R(B),所以方程组无解。(3)当4=1时，R(A)=R(8)=1v3,故方程组有无穷多解，又因为此时可得与x1=-2-x2-x3,原方程同解的方程组为=X2，则方程组的一般解为Xr=X,.7X=0+K1+k?0，(其中占为任意常数)<J<0J10分，13213、rI34.解:因为(四,鬼，62，62,夕3)=-11110110-12004-2C3121。6p3213、021110000000000>22-1313、22-1-133,所以R(A)=R(B)=R(A9B)=2,故向量组A和B等价10分5.解：因为AT=A,所以A与对角阵相似.因|九七一4|=(/1-5)2(/1-1)=(),所以4的特征值为4=I2=5,4=1.当4=4=5,时，(5EA)X=O的基础解系为:T71=(1,0,0)r,%=(0,1,-1)7,当4=1,时，(E-A)X=O的基础解系为：%=(0,U)'0取P=(小,2,%)=011,故PAk=O5(0-1IJ(000、01=A.10分四、1.证明：根据已知有A?+48=2+A8,即(1)A(A+B)=(B+A)B将(D两边取行列式得IAA+8R3+A3,即(IA13)A+3=0,已知A1=B2=E,且A+8=0,所以A0,整理得2AA+B=0,从而IA+81=0那么4+8是不可逆矩阵。2.证明：根据已知有Ar=芥，上式两端同时乘女得(ZA)X=GU)X,所以口是ZA的特征值5分
