2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-6-2 双曲线的几何性质 学案.docx

2.6.2双曲线的几何性质新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质直观想象2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用数学运算金读I教I材知识梳理以本为本抓双基防情境导入如图，冷却水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性.问题你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？町新知初探知识点双曲线的几何性质标准方程X2V2/裾=I(Ga历>。)力一方=1(>O,b>0)性质图形%范围xW-4或x,yR)W-或y24,xR对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点顶点A(-4,O),A2(a，0)AI(0,4),，2(0，4)轴实轴：线段4虚轴：线段为半实轴长：3_A?>长：2;坨,长：2;半虚轴长：b离心率e=,(1,+8)渐近线baV=4Tt1-噌Q占一占W”、八，、等轴双曲线J22(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为，一方=1或方一'=1(>0);(2)等轴双曲线的渐近线方程为y=坟，离心率e=口想一想1 .能否用小。表示双曲线的离心率？提示：能e=A警2 .离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？提示：有影响，因为e="。=yj1+今，故当§的值越大，渐近线y=，的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.目做一做1 .已知双曲线Cy2-zf=1,则该双曲线的实轴长为()A.1B.2C.2D.22解析：B双曲线CV4=1的实半轴长。=1,所以该双曲线的实轴长为2.故选B.O22.双曲线C：一彳=1的离心率为3,则阳=()A.3R1OoC.2D.1解析：B由题意得a?=”?，>2=4,因为。的离心率为3所以'"'4=9,得m=：.故选B.3.若双曲线/一3=1的渐近线方程为y=±2x,则实数M=.解析：双曲线f5=1焦点在X轴上，渐近线为y=±万G，5=2=hn=4.答案：4研I题I型典例精析6学用结合通技法题型一双曲线的几何性质角度一由双曲线方程求解几何性质例1(2023北京高考)已知双曲线C：J=I,则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是.解析双曲线C：-J=I中，c2=6+3=9,.c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±春，即y=+：,即壮&y=0,则C的焦点到其渐近线的距离d卡4答案(3,0)3I通性通法I由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定出人的值：(3)由c2=+6求出C的值，从而写出双曲线的几何性质.注意求性质时一定要注意焦点的位置.角度二求双曲线的离心率【例2】已知双曲线出一方=13>0,力>0)的一条渐近线与直线2xy+3=0平行，则该双曲线的离心率是()A.2B.3C. 2D.5解析双曲线的渐近线为y=各，易知)，=&与直线2xy+3=0平行，所以g=2加=、/1+©)=小故选d答案DI通性通法I求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知dC可直接利用e=：求解，若已知,b,可利用e=J1+()"解：(2)方程法：若无法求出凡b,C的具体值，但根据条件可确定出b,C之间的关系，可通过=c2-/,将关系式转化为关于dC的齐次方程，借助于6=泉转化为关于e的次方程求解.。跟踪训练1 .已知双曲线C：9一徐=1的离心率e=¥，过焦点尸作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M,则IMf1=()A.1B.¥C.解析：D依题意e=j1+C)=正图=孚沪43.焦点(c,0)到渐近线人x=0的距离为普y。-十Zr联b,所以M=b=竽.故选D.2 .如果双曲线=1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是解析：如图，因为HOI=IAFI，尸(C,0),所以XA=会因为A在右支上且不在顶点处，所以%r,所以e=42.答案：(2,+)题型二由双曲线的几何性质求标准方程角度一构造方程组求双曲线的标准方程【例3(德接教科书第156页习题A3麾)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在X轴上，虚轴长为8,离心率为东(2)两顶点间的距离是6,两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分.解设所求双曲线的标准方程为7-%=1(>O,Z>>0),则28=8,e=-=y从而b=4,C=I代入<?=/+从，得/=9,故双曲线的标准方程为看一汽=1.(2)由两顶点间的距离是6,得20=6,即=3.由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得2c=4=12,即c=6,于是有庐=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为5七=1或七一马=1.y1!y1iI通性通法I求双曲线标准方程的步骤(1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定双曲线标准方程的形式：(2)根据双曲线的几何性质建立关于,b,C的方程(组)，并解出出b的值;(3)写出双曲线的标准方程.角度二利用渐近线求双曲线的标准方程【例4】求过点(2,2)且与，-y2=1有相同渐近线的双曲线的标准方程.解法一：当焦点在X轴上时，可知$=坐，fV2故可设所求双曲线的方程为务一方=1,代入点(2,2)得加=2(舍去)；当焦点在y轴上时，可知E=乎，故可设所求双曲线的方程为今一盘=1,代入点(2,2)得层=2.所以所求双曲线的标准方程为弓一Y=1法二：因为所求双曲线与已知双曲线方一)，2=1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线v2y2的方程为爹一y2=2(AW0),代入点(2,2)得2=2,所以所求双曲线的方程为，-y2=-2,化为标准方程为m-7=1.I通性通法I已知渐近线设双曲线标准方程的方法v22v22(1)与双曲线示一方=1(>0,QO)有共同渐近线的双曲线方程可设为也一#=2(2W0);(2)若双曲线的渐近线方程是y(3)若双曲线的渐近线方程为zu÷zy=O或m-ny=0t则双曲线的方程可设为(mx+wy)(7-wy)=(AO),即trrx1n2yi=(O).CZf跟踪训练1.已知双曲线/一3=1(。乂)，b>0)的实轴长为4,离心率为小，则双曲线的标准方程A.C.)4161J=I231D.X2一，=1解析：A因为双曲线W=Im>0,比>0)的实轴长为4,所以=2,由离心率为小，可得。=小，c=25,所以h=yjc2-a2=20-4=4,则双曲线的标准方程为Y一汽=1.故选A.2.已知双曲线的焦点(0,2)到其渐近线的距离为1,则双曲线方程是()B.-X2=IC.x2=D. y2-y=1解析：B由题可知双曲线焦点在y轴上，其中一个焦点为(0,c),一条渐近线为=a-by=O,焦点到渐近线的距离为6c=2,b=1,=小，双曲线方程为于一X2=I.故选B.题型三双曲线性质的应用【例5】已知尸尸2是双曲线C,一S=1(>O)的左、右焦点，点A在双曲线的右支上，点P(7,2)是平面内一定点，若对任何实数加，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，则HPI+1AB1的最小值为()A.237-6B.10-35C.8-37D.25-24解析：A由题意得，双曲线的渐近线方程为y=与x,对任意实数2,直线4x+3y+川=0与双曲线。至多有一个公共点，直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y444=%重合或平行，-y得a=3,c=5f：.F1为(-5,0),VP(7,2),PF1=(7+5)2+4=237,AP+AF2=AP+AFi-6PF1-6=237-6,AP÷AF2的最小值为2为一6.故选A.I通性通法I1 .双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.2 .与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解:(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.跟踪训练(2023全国II卷)设O为坐标原点，直线x=与双曲线C也一方=1(>0,方>0)的两条渐近线分别交于。，E两点.若AODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()B.8A.4C.16D.32解析：B由题意知双曲线的渐近线方程为y=±3.因为。，E分别为直线X=与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设0(。，h),E(a,-b)f所以SMoe=TXaXIDE1=XaX2b=ab=8,所以c2=+224=16,所以cN4,所以2cN8,所以C的焦距的最小值为8,故选B.回随堂检测21. (2019北京：高考)已知双曲线7-y2=1(0>O)的离心率是小，则a=()A.6B.4C.2D.J»4+1I解析：D由双曲线方程”一V=I,得从=1，c2=a2+1.5=e2=2=2=1+2.结合。>0,解得。=去故选D.2 .双曲线一袅=I（AO）的渐近线方程为（）A.y=±3xB.y=429解析：D在双曲线号一f=iq>O）中，b=y,因此，该双曲线的渐近线方程为y=±x=q亭X.故选D.3 .已知椭圆点+*=1（>0,力>0）与双曲线H=I有相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心率为、成分别为（）C1巡D.=3*62=2A.6*>02=1C.e=z>62=小解析：B设公共焦点为（±c,0）,则c2=302-3/=/+序，则/=2/,即2=务，故C=络,即62=半，e=E=笔故选B.Z，3aZ4.（多选）已知双曲线C7?T广916-1,则下列关于双曲线C的结论正确的是（A.实轴长为6B.焦点坐标为(5,0),(-5,0)5-3D.渐近线方程为4x±3）=0解析：AC根据题意可得=3,6=4,所以C=炳力=5,所以双曲线的实轴长为2=6,故A正确；双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为（0,5）,（0,-5）,故B错误;双曲线的离心率为e=A/故C正确；双曲线的渐近线方程为产率即3x±4y=0,故D错误.故选A、C.5.若双曲线E的两条渐近线方程为y=±2x,且E的两焦点坐标为（0,土木），则双曲线E的标准方程为.解析：因为双曲线E的焦点(0,±币)在y轴上，故可设双曲线的标准方程为一$1(«>0,Zj>O),由条件可得A2，./+从=(y)2,解得故双曲线E的标准方程为9答案：?一x2=1