2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-2-4 点到直线的距离 学案.docx
2.2.4点到直线的距离新课程标准解读核心素养探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离直观想象、数学运算R读I教I材知识梳理,以本为本抓双基物情境导入在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，/从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线/,仓库看作/图4路仓库点P.问题1(1)平面直角坐标系中，若PaO,州)，则P到X轴，y轴的距离分别是多少？(2)若已知直线/的方程和点P的坐标(心，泗)，如何求P到直线I的距离？啦新知初探知识点点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点Poa0,"）到直线/：x÷y÷CCAAtJ1+,IAM+By（）+C1=0的距离d=i=In»A2+B2两条平行直线Z1：Ax+By+Ci=O与'Ar+By+C2=O（GC2）之口7-i1.,IQ-CjI间的距离sQ占一占飞八，、1 .已知点Pa0,和)及直线/上任意一点那么点尸到直线/的距离IPQ1等于两点间距离IPM的最小值.2 .点到直线距离的向量表示如图，设n为过点P且垂直于/的单位向量，下运就是前在n。(如兀)%1(x,y)*上的投影向量，点P到直线/的距离IWI=I成n.筋想一想1 .在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：直线方程为一般式.2 .在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：两直线的方程为一般式且X,y的系数分别相同.自做一做1 .原点到直线x+2y-5=0的距离为()A.1B.3C.2D.5解析：Dd=小T=y.2.已知直线/：x+y+1=O,2:x+y-1=Of则,/2之间的距离为()A.1B.2C.3D.2解析：B由题意知,/2平行，则八/2之间两直线的距离为7='=啦.,1z+r3.若点4一2,m)和8(阳，4)到直线-y-3=O的距离相等，则加=解析：由题意，可列式匕小黄二国，得|m+5|=|?一7|,解得m=1答案：1Sr研I题I型典例精析A-一学用结合通技法题型一点到直线的距离【例1】(言接教科书第99页例1)已知点A(2,1),8(3,4),C(-2,-1),求aABC的面积.解设AB边上的高为山贝USa8C=b九AB=(3-2)2+(4-1)2=I.AB边上的高力就是点C到直线AB的距离.AB边所在直线的方程为匕=，4151即3-y5=0.点C(2,-1)到直线3xy5=O的距离=Bx(,(7=To,所以32÷(1)zSabc=2Bh=×yO×yO=5.I通性通法I应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式：(2)点尸在直线/上时，点到直线的距离为0,公式仍然适用：(3)直线方程AHBy+C=O中，A=O或8=0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.跟踪训练1. (2023全国HI卷)点(0,1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.2解析：B法一：由点到直线的距离公式知点(0,1)到直线y=Mx+1)的距离d=,.当左=0时，d=1;当女声0时，d|&0(-1)+刘IA:+112+2+1/t2k+/F+=N1+,要使d最大,需心0且&+最小，.当Z=I时，Qmax=啦,故选B.法二：记点4(0,-1),直线y=A(x+1)恒过点8(1,0),当AB垂直于直线y=M%+1)时，点A(0，1)到直线y=Mx+1)的距离最大，且最大值为IAB1=啦，故选B.1tf21115÷6÷1yja2+1ya2+12.已知点A(I,-2),8(5,6)到直线v+y+1=0的距离相等,则实数。的值为.解析：.4(1,-2),8(5,6)到直线/：Or+y+1=0的距离相等,解得a=-2或a=-1.答案：一2或一1题型二两平行线间的距离【例2】(1)已知直线A3-4y+7=0与直线以6-(w+1)y+1W=O平行，则/与6之间的距离为()A.1B.2若直线Zi：x+2y-3=0与直线2:2x+4y+g=0之间的距离为小，则实数347解析(I)；直线/i与，2平行，解得?=7.72的方程为3-4y-37÷3=0,.与/2之间的距离d=-q=2.故选B.32+42(2)把/i:x+2y3=0变形为/i:2r÷4y-6=0,则解得=4或一16.答案(I)B(2)4或一16I通性通法I1 .使用两平行直线间的距离公式时，直线的方程必须化为一般式，而且方程中4,y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离.2 .当两条直线都与工轴(或)，轴)垂直时，可利用数形结合来求两直线间的距离.(1)两条直线都与X轴垂直时，Zi:x=x,h：x=M,则d=%2一同;(2)两条直线都与y轴垂直时，A：y=yf/2：y=yt则d=|”一川.Z跟踪训练1.已知41,2),8(3,5),则与直线AB平行且距离为2的直线方程为()A. 3-4y+21=0B. 3-4y-1=0C. 3xf+21=0或3xf+1=0D. 3-4y21=0或3-4y1=05233解析：C由题意得以8=布=*直线AB的方程为厂2=京x+1),即3k4y+11=0,设所求直线的方程为3x4y+n=0(n11)»则-/,=2,解得加=1或加=21,W+(4)Z，所求直线的方程为3-4y+1=0或3-4y+21=0.故选C.2.已知两平行直线/i,/2分别过点P(1，3),(2,-1),它们分别绕P,Q旋转，但始终保持平行，则心/2之间的距离的取值范围是()A.(0,+)B.0,5C.(0,5D.0,7解析：C当直线/1,I2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d=2-(-1)2+(-1-3)2=5,0<J5.题型三距离的综合应用【例3】已知正方形的中心为直线2-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线,的方程为x+3y-5=O,求正方形其他三边所在直线的方程.解设与直线/：x+3y-5=O平行的边所在的直线方程为/1：x+3y+c=0(cW-5).由2-y+2=0,)I.一八得正方形的中心坐标为P(1,0),x+y+1=0由点尸到两直线/,的距离相等，得品号=品普'得c=7或c=-5(舍去).:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与/垂直，二.设另两边所在直线的方程分别为3x.v+=O,3-y÷Z>=O. 正方形中心到四条边的距离相等，.1-3+/1-1-5 *32+(-1)得=9或a=3, '.另两条边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,3-y3=0. .另三边所在的直线方程分别为3xy+9=0,x+3y+7=0,3-y3=0.I通性通法I利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.跟踪训练1 .已知AABC中，点A(1,1),B(4,2),。(一4,6).则aABC的面积为.解析：由两点式得直线3C的方程为F1=二即为x+2y-8=0,由点A到直线的距离公式得BC边上的高d=6BC两点之间的距离为(6-2)2+(-4-4)2=45,.4A3C的面积为g><45x5=10.答案：102 .在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和X+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x4y+c=0和3-4y÷C2=0,则IC1-C2解析：由题意得，菱形两组对边间的距离相等，所以13-1|Ie1C212+2232+(-4)解得IC1答案：25因随堂检测1 .点（0,-1）到直线y=x+1的距离为（）A.1B.2C.3D.2解析：B（0,-1）到直线y=x+1的距离为d=/"：=也,故选B.y1+（1）z2.两平行直线A：X2）1qi5=0,b：2x4y+3*而=0之间的距离为（）A.平B.3C.5D.22解析：A直线/1：-2jT=0<z>：2-4y2T=0,两平行直线之间的距离为d3Tb-(-2io)I4+16平.故选A.3.过点A（1,2）且与原点距离最大的直线方程是（）A.+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y7=0D.x+3y5=0解析:A设所求直线斜率为N因为所求直线过点A（1,2）且与原点距离最大，则女XE=-1,解得又因为其经过点A（1,2）,故其方程为y-2=-1）,整理得x+2y-5=0.故选A.4.（多选）与两平行直线K:3X一4），-5=0和83-4y+7=0距离之比为1：2的直线方程为（）A.3%4y1=0B.3x4y+3=0C.3-4y-17=0D.3-4y+19=0解析：AC设所求直线方程为3-4y+C=0（C-5且C7）.由题意可得三蔡1：IC-71j-1=1：2.C-7=2C+5.C=-1或-17.；所求的直线方程为3-4y-=0或3x-4y-17=0.5.在直线x+2y=0上找一点P,使它到原点的距离与到直线x+2y3=0的距离相等,则点P的坐标为.解析：设点P的坐标为（一山，），则.（一2八2+尸彳:解得，=±|.点P的坐标为答案：或ly3-56-5,或IJ3-56-5,3-5
