2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-1-2 空间向量基本定理 学案.docx

1.1.2空间向量基本定理新课程标准解读核心素养1理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题数学抽象2.了解空间向量的基本定理及其意义直观想象读I教I材知识梳理0-以本为本抓双基物情境导入“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子道德经第四十二章.说文解字有对这句话的注释.首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”.因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话.联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个一维基底（非零向量）可以生成直线上的所有向量：给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量.问题I（1）零向量能不能作为一个基向量？（2）当基底确定后，空间向量基本定理中有序实数组,y,Z）是否唯一?飞新知初探知识点一共面向量定理1 .共线向量基本定理空间中，若a#0旦ba,则存在唯一的实数人使得b=a.2 .共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量a,b,C共面的充要条件是，存在唯一的实数对（",y）t使c=xa÷vb.占一,百嬷八，、1 .向量C与a,b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.2 .三个向量共面，又称这三个向量线性相关；如果三个向量不共面，则称这三个向量线性不相关.知识点二空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,C不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(%,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中a,b,C1叫作空间的一个基底,a,b,C都叫作基向量.若P=Xa+yb+zc,则称xa+.yb+zc为P在基底(a,b,C1下的分解式.给想一想1 .构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？提示：不可以.2 .在四棱锥。-ABCO中，"5才可表示为xj?+)，碇+z初且唯一，这种说法对吗？提示：对.每做一做1 .若a与b不共线，且m=a+b,n=ab,p=a,则()A.m,n,P共线B.m与P共线C.n与P共线D.m,n,P共面解析：D由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即P=Im+%,又知m与n不共线，所以m,n,p共面.2.已知a,b,C是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.3a,a-b,a+2bB.2b,b2a,b+2aC.a.2b.bcD.c,a÷c,ac解析：C.'a+2b=3a2(ab),.3a,ab,a42b共面；.'b+2a=2b(b-2a),2b,b2a,b+2a共面；,.*a+c=(a-c)+2c,c,ac,a+c共面.故选C.3.如图在平行六面体A8CO-A8GD中，M为AC和8。的交点，若7F=a,AD=b,AA=c,则瓦法=.(用a,b,C表示)解析:BIA?=A?-'AB=(7a?)-(?÷A?)=TXr=-R>研I题I型典例精析6学用结合通技法题型一空间向量共线问题【例1】(言接教科书笫16页练习A组2题)如图，正方体A8Q>A8GO中，0为AIC上一点，且W3=W百，B。与AC交于点M.求证：C,0,M三点共线.D1C1证明如图，连接A。，AC,AC.VA=C,AO=A+A=AA+AC=AAi>÷(AiA+A(f)=Af+AC.'AC=2M1A47=Tcf+CX=AC-4?=ACT-2AA7,.*.c=(ct-2a7)÷Z=c÷7.12V+j=1,.*.C1,O,M三点共线.I通性通法I1 .要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角彩或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.2 .证明空间三点P,A,8共线的方法(i)m*=zKR):(2)对空间任一点O,0P=OA-fAB(rR)：(3)对空间任一点O,OP=xOA+y"B(x÷y=1).Z跟踪训练如图，已知O,A,8,C,D,E,F,G,”为空间的9个点，且=kP1,0F=kOB,OH=kOD,AC=AD+niB,EG=EH+nEFfk0,m0.求证：(1)9M：(2)OG=kOC.证明：药=EH+nEF=OH-OE+w("F-OE)=k(OD-OA)-knCB-O)=kAS=k(ff+mAS,)=kA<S,f：.A/eS.(2),=+W=kOA+A?=k(+A)=kO.题型二空间向量共面问题【例2】(链接教科书第13页例1)如图所示，在平行六面体ABCQ-AIB1GD1中，。是所。|的中点，求证：屐，t刁击是共面向量.证明设CIB1=a,CD=b,C1d=G*.四边形RBCCi为平行四边形，：.BiC=ca. 。是OD1的中点,C(5=(a+b),OG=(a+b),OoT=CiDi-c5=b-(a÷b)=(b-a). :DIZ5=d,:D1Z5=c, 祢=丽+砧=(b-a)÷c.若存在实数1,y,使碇=J防+)谪。，yR)成立，则ca=.；(b-a)+c+1.1y2(a÷b)=(x÷y)a÷(-y)b÷xC.Va,b,c不共线，(12(X+y)=1,-I(-y)=0.解得1=1,、x=I,屐，加，式是共面向量.I通性通法I1 .解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有奇xA+yAt或存xOA-yOB+z"日(x+y÷=1),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.2 .证明空间四点尸，M,A,B共面的等价结论(1)7?=xM4+yTB：(2)对空间任一点O,OP=OM+xMA+y7M:(3)对空间任一点0,OP=xOA+yOB+z07(x+y+z=1):(4)石77T(或)7万万或不？/AM).闭跟踪训练己知EF,G,分别是空间四边形48CQ的边45,BC,CD,OA的中点，用向量法证明：E,F,G,”四点共面.证明：如图，E,F,G,H分别是空间四边形ABCo的边48,BC,C。，DA的中点，>_>，iAr-,_A,>,二A,>>-IA，A>>*1EH=FG=5BO,于是得EG=M+FG=M+石”，即EG,EF,EH共市,它们有公共点E,所以E,EG,H四点共面.题型三基底的判断及应用角度一基底的判断【例3】(低接敌科书第15页例2)已知e,e2,e3是空间的一个基底，且"1=e+2e2-e3,OB=-3e÷e2+2e3,"OC=e1+e2-e3,试判断西*,OB,0?能否作为空间的一个基底？解假设/，0B,碇共面，由向量共面的充要条件知存在实数X,j,使PT=fuff+3欣成立.e1+2e2-e3=x(-3e+e2+2e3)+,y(e+e2-e)=(3x÷y)+(x+y)2+(2-y)e3.V(e,e2,6是空间的一个基底，_3x+y=1,.*.e,e2,e3不共面，j+y=2,此方程组无解，.2-y=-即不存在实数X,y,使次=31+F元成立.：.OA,OBt3?不共面.故/，OBy0不能作为空间的一个基底.I通性通法I基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底；(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底：假设a=2b+c,运用空间向量基本定理，建立九的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.团跟踪训练已知a,b,c是空间的一个基底，若p=2ab,q=2ba,r=a+b,s=a+b+c,则下列可以为空间一个基底的是()A.a,p,qB.b.p,qC.r,p,qD.s,p,q21解析：D由于a=?p+?q,可知a,p,q共面，所以选项A不能作为空间的一个基I2底；由于b=1p+q,可知b,p,q共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；由于r=p+q,可知r,p,q共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；假设s,p,q不是空间的一组基底，即向量s,p,q共面，则存在实数X,y使得S=XP+)，q,即a+b+c=(Zr-y)a+(2yx)b,所以C=(2-j1)a÷(2y-)b,因为a,b,C是空间的一组基底，所以y的值不存在，即向量s,p,q不共面，所以s,p,q是空间的一组基底，所以选项D正确；故选D.角度二空间向量基本定理的应用【例4】如图，在三棱柱48C-4EC中，已知次*=a,AB=b,？=C,点M,N分别是8C,rC的中点，试用基底a,b,C表示向量前，.解a7=Xff+W=Sf+bct>=AB+(7*+BC)=AB+F*+(4CAB)=b+a+(c-b)=b+a+c-b=a÷b+c.AN=AA-AjB,÷Bt-=47>+AfBf+7?=a+b+(A7CjA'B,)=a+b+(cb)=a+5,b÷c.鼠母题探究1 .(变条件)若把本例中的k=a改为k=a,其他条件不变，则结果又是什么？解：AM=AB+_BA/=AB÷fiC7*=AB÷(AC''A8>)=b+(a-b)=a+b.AN=AC+C7=AC7*+C7=AC7*=AU7>-；(AP-A1)=a(cb)=a+bc.2 .（变条件、变设问）如图所示，本例中增加条件在线段AV上，且AP=2A”,试用基底a,b,c表示向量柘.解：MP=MC-CA,+Ar>=bc7*-ac,-m7*=(BF*-BC)-AC-aa7"=AV>+CaC-AB)-4?-ISA7*11.111.1=(a+c-b)cga=a一声一gcI通性通法I用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；(3)下结论：利用空间向量的一个基底a,b,c可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.因随堂检测1 .已知a,b