2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2-5直线与圆圆与圆的位置关系2-5-2圆与圆的位置关系 学案.docx

2.5.2圆与圆的位置关系核心素养学习任务必备知识-情境导学探新知情境趣味导学预习素兼1 .了解圆与圆的位置关系.（重点）2 .掌握圆与圆的位置关系的判定方法.（重点）3 .能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.（难点）通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.情境与问题:观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？前面我们已经借助直线和圆的方程研究了它们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？知识点两圆的位置关系及其判定几何法：若两圆的半径分别为八2,两圆连心线的长为H则两圆的位置关系如下:位置关系外离外切相交内切内含图示0©修d与ri,r2的关系1n-T<o+d=I内水1(2)代数法：设两圆的一般方程为：G：V+4+后y+E=o(j+/一4K>0),Q：2+y+=0(4+-4jS>0),联立方程得则方程组解白¥+7+叶氏+E=0,X÷y÷ZAr÷y÷¾=O.'J个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组度具有什么特殊两圆的公共点个数Z个1个8个两圆的位置关系外切或内切处邕或内含思考B将两个相交圆的方程相减，可得一条直线方程，这条直线方才性？提示两圆的交点坐标满足这个方程，因此这个方程是两圆的公共弦所在的直线方程.体验思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()提示(DX只有一组实数解时可能外切也可能内切.(2) X当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交.(3) X只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程.体验，2圆Q:(x+2)2+(y-2)2=1和圆处52)2+(y-5)2=16的位置关系是外切圆。的圆心。(一2,2),半径Jn=1圆。的圆心。(2,5),半径回=4,aa=2+2j+5-22=5=r1+n圆。与圆a外切.关犍能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成C1类型1两圆位置关系的判断【例1(对接教材Pg6例题)(1)已知圆G：V+-2+4y+4=0和圆a：4÷4?16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为()A.1或3B.4C.0D.2(2)当实数女为何值时，两圆G：X+y÷4-6y÷12=0,C：/+y2x14y÷A=0相交、相切、外离？(I)D由圆G：X÷y2,÷4y÷4=0,即(x1)?+(j+2)?=1,圆C：4+4161÷8y÷19=0,即(x2)?+(y+1)2=),得G(12),6(2,1),r1=1及=J,IGG=2-12+-1+2j=2.则为一次<IGG<乃+及，二圆G与圆C相交.故这两个圆的公切线共2条.(2)解将两圆的一般方程化为标准方程，Cm(x÷2)2÷(y3)2=162：(-1)2÷(y7)2=50-Ar.圆G的圆心为G(2,3),半径长八=1；圆C的圆心为6(1,7),半径长r2=50-<50),从而IGC1=y2÷3-7z5.当1+弋50=5,即4=34时，两圆外切.当.50一左一1|=5,即洞一=6,即A=I4时，两圆内切.当.50一左一1<5<1+、50一4,即14V4V34时，两圆相交.当.50-*+1V5,即34VAV50时,两圆外离.现规律X试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤.提示(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.(2)计算两圆圆心的距离日(3)通过d,r1+z2,5引的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.跟进训练1. (1)圆(x-4)2+=9和圆?+(y-3)2=4的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条(2)已知圆6:X÷y-ta-t1y-a15=0,圆G：x÷y2y÷4a2=0(a>0).求a为何值时，两圆G,C的位置关系为：相切；相交；外离；内含.(I)C圆(-4)2+=9的圆心为(4,0),半径等于3,圆V+(y3)2=4的圆心为(0,3),半径等于2.两圆的圆心距等于d否于=5=2+3,两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3,故选C.(2)解圆G,C的方程，经配方后可得Cw(%a)2+(y1)"=16,G：(-2a)j÷(y1)'=1,；圆心G(a,1),C(2a,1),半径z*=4,12=1.IGG1=a-2a÷1-12=a.当IGGI=n+2=5,即a=5时，两圆外切；当IGC1=?1一n=3,即a=3时，两圆内切.当3VGGV5,即3V&V5时，两圆相交.当IGCI>5,即a>5时，两圆外离.当IGC1V3,即aV3时，两圆内含.I1类型2两圆相切问题【例2】圆G：(X/»)?+(y+2)2=9与圆G：(*+1>+(7?=4相外切,则/的值是.(2)求半径为4,与圆(-2)2+(y-1)2=9相切，且和直线y=0相切的圆的方程.(1)2或一5G(r,-2),r1=3,C(7,4,n=2,由题意知GaI=5,(H-1)2+(加+2)2=25,解得m=2或t=-5.(2)解设所求圆的方程为(-a)2+(y-6)2=16,由圆与直线y=0相切、半径为4,则圆心C的坐标为G(44)或GM,-4).已知圆(z-2)2÷(1I)2=9的圆心力的坐标为(2,1),半径为3.由两圆相切，则Ia1=4+3=7或IaI=43=1.当圆心为GQ,4)时，(a2尸+(41)2=7?或(a2>+(41)2=12(无解)，故可得a=2±210,故所求圆的方程为(x22，而2+(y4)'=16或(x2+2，而'+('4)2=16.当圆心为GQ,-4)时，(a2)2÷(41)2=7?或(a2)?+(41)?=(无解),解得a=2±2.故所求圆的方程为(x22m),+(y+4)2=16或(¥2+2小尸+(y÷4)2=16.综上所述，所求圆的方程为(才一2-2m)2+(y-4)2=16或(才一2+2<而2+3-4)2=16或(彳一22m)2+(y+4)2=16或(-2+25)2+(y+4)2=16.d思领悟处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).跟进训练2.已知以。(4,一3)为圆心的圆与圆0：V+/=1相切，则圆C的方程是(-4)2+(y+3)2=16或(-4)2+(y+3/=36设圆C的半径为人又圆心距=4-O2H3O2=5,当圆。与圆0外切时，7-+1=5,r=4,当圆。与圆。内切时，r-1=5,r=6,圆。的方程为54)2+3+3)2=16或54)2+5+3)3=36.类型3两圆相交问题【例3】己知圆G：f+V+Gx4=0和圆C：X÷y÷6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程；求经过两圆交点且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.尝试与发现两圆的公共弦的端点同时在两个圆上，由此你想怎样求公共弦所在的直线方程？解设两圆交点为力(刘,71),S(X2,%),则人占两点坐标是方程组，/+614=0,+y+6y-28=0,(2)的解.一，得1y+4=0.48两点坐标都满足此方程，x-7+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.(2)法一：解方程组+6-4=0,+y+6y-28=0,得两圆的交点4(1,3),5(-6,2).设所求圆的圆心为(a,6),因圆心在直线xy4=0上，故b=a-,则ya-1j÷a-4-32=qa+6*+a-4+22>故圆心为半径为偿故圆的方程为G习2+(y+gj号，即/÷-+7y-32=0.法二：设所求圆的方程为X÷÷6r-4+(÷y÷6y-28)=0(A-),/334、其圆心为(一讦了，一讦力，代入114=0,解得=-1,故所求圆的方程为/+y-7y32=0.母题探究1.在本例条件不变时，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程.解由例题解析知道xy+4=0是公共弦所在的直线的方程.因圆G的圆心(-3,0),1T5.a到直线/步的距离仁!京4邛.,.IAB=2y产-d=2yJ13-/=5.即两圆的公共弦长为52.弦"的中垂线也就是GG所在的直线."(一3,0),6(0,-3).4?的中垂线方程为啖+彳=1,即x+y+3=0.332.本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程.解根据条件可知，所求的圆就是以力8为直径的圆.,48所在直线方程为Jr-z+4=0,GC所在直线方程为x+y+3=0.I1y+4=0(7x+y+3=0I2由母题探究1解析知I初=4，半径，=羊，故所求圆的方程为(+J+C=拳广JS思领悟1 .两圆的公共弦问题(1)若圆G：V+/+彳+y+E=O与圆C：V+/+2*+反y+=o相交，则两圆公共弦所在的直线方程为一x+(A伤)y+"E=0.(2)公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.2 .过两圆的交点的圆的方程已知圆G：f+/+4x+£y+£=o与圆c：V+ZU+笈y+£=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为V+/+才+£iy+£+4(f+Zx+&，+£)=0(4-1).跟进训练3 .两圆/+/10-10y=0,V+6x+2y-40=0的公共弦的长为().5B.52C.102D.10D公共弦所在的直线方程为4x+3y10=0,圆的方程X÷y-IOx-IOy=O可化为(x5>+(y5)2=50,圆心为5),半径r=-5,圆心(5,5)到直线4x+3y-10=0的距离为d,乂靠j1°=5,所以公共弦长为2150-5?=10,故选D.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .圆Q：x-y2x=0和圆。：y+y4y=0的位置关系是()A.相离B.相交C.外切D.内切B化为标准方程：圆a：-)2+=,圆：X÷(y2)2=4,则d(1,0),Q(0,2),r=1