2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 章末复习与总结 学案.docx

章末复习与总结知I识I体I系I构腱知能整合再提升空间向"的域件运K为故明运K空间间盘门定义及其取示空司向运算的定义及其几何宜义空M向,诙鼻的话算修空同向基益定理与空扃向运的坐标表示归同角理林司也向运货的绪里”评.康旭应的几何豺电I-惶网向运口的坐标表示I用空闰向解决立体几何问题I用空间向/I由标向«1无立体几何示点H线,千一中的H线.平如的信置关iB71J2ttHC核心I素I养I培优W1><、>rA-一、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.本章中的数学运算主要涉及以下内容，空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离.题型一空间向量的线性运算【例1】如图，在正方体A5CZ)-4B1CId中，石=a,再后=b,码=c,O为底面ABCD的中心,G为ADiCiO的重心，则X不=()A.n21,15B. a+b+c36C. a+b÷cD. a÷b÷cZO解析在正方体ABCD-AiBiQD1中，A=a,再苏=b,M=GO为底面ABCD的中心，G为£>】CQ的重心，连接OG,则而=常+次=；(7才+市)+；(西+0)=1(b+c)+£1BA-BC>+丽+/CAB+ADy÷cct=(b+(-b+c)+/a+(b+c)+ga=a+b+W.故选A.答案A【例2】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，pifP',(/=12,，8)分别是上下底面上其余的八个点，则下列说法正确的个数是()I而18=22;旃=W3+RH+产91；7T方Ta=1,2,，8)不同值的个数为4.A.3B.2C.1D.0解析对于，I而-8=yAP"2+P82+F>82=4+4+1=3,错误；对于，启=而。+巴包=XF"3+P匚产4+巴加，又P'守4=RX,户F=PP1,aK=aH+P+PPi,正确；对于，ABAF=B(/3+T)=AB1+ABBI=+ABB,.A8"1平面B%P8P2,BPiU平面8孔2822,B1BPh即7=0,：.AB*A=1,仅有1个值，错误；综上所述：正确的个数为1个.故选C.答案C题型二空间向量的数量积运算【例3】已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,I),点4(-3,-1,4),以一2,一2,2).求2a+b:(2)若。为坐标原点，在直线AB上是否存在一点E,使得3E_1b?解(1)2a+b=(2,-6,4)+(2,I,1)=(0,-5,5),2a+b=02+(-5)2+52=52.(2)设存在满足题意的点E(X,y,z),则有*宝，且b=0.*=(x+3,y÷1,z-4),AB=(t-1,-2),6k一予x+3y+1Z-4.I112'解得<y=_£,、一2x+y+z=0,故在直线A8上存在点题型三空间角的计算使得OE±b【例4】(2023新曲考H卷)在四棱锥Q-ABCO中，底面ABCOQ是正方形，若4Z)=2,QD-QA»QC=3.j(1)证明：平面QAO_1平面ABCA-Ad(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值./T解(1)证明：取AO的中点E,连接QE,CE,QD=QA=y5t/.QEID.VAD=2,M=1,eE=51=2,CE=22+12=5.Qf2+CE2=9=QC2,QEtCE.又.AOCE=E,.Qf11平面ABCQ.QEU平面04。，.平面QAQ_1平面A8CO.(2)法一：取BC中点尸，连接EF易得Er，ED,EQ两两垂直，如图，分别以EFED,EQ所在的直线为居y,Z轴建立空间直角坐标系.则8(2,-1,O),(0,0,2),0(0,1,0),=(-2,1,2),=(O,1,-2),设平面8Q。的一个法向量n=0,y,z),n17,n；BQ=-2r+y÷2z=0,则_>=>1_取z=1,±0Z)n)2z=0,可得4=2,y=2,=(2,2,1).易知平面QQA的一个法向量n2=(1,0,0).设二面角RQO-A的平面角为仇则。为锐角./222cos=cos<n,n2>I=1111=/一：不二面角B-QD-A的平面角的nn222+22+12×132余弦值为亲法二：由(1)知平面QAo_1平面ABCO,又.8A_1AO,BAU平面ABCD,平面48Cz)平面QAO=AO,，BA_1平面QM).过A作AM_1Q。于点M,连接BM.则NAMB为所求二面角的平面角.11r.4由SAD=2×2×2=2×5AJW=AM=下,4/.BM=,52,cosNA3=$=亍2二面角B-QD-A的平面角的余弦值为题型四空间距离的计算【例5】如图，已知正方形ABCO的边长为4,E,产分别是AB,AQ的中点，GC1.平面A8C。，且GC=2,求点B到平面EFG的距离.A解法一：如图所示，以C为坐标原点，分别以CO,CB,CG所在的直线为X轴，)，轴，z轴建立空间直角坐标系，则3(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2).GF=(4,2,-2),EF=(2,-2,0),设平面GE尸的法向量为n=(x,y,z),Mx=1,则n=(1,1,3)为平面EFG的一个nG尸=O2x÷j-z=0(y=x,则V=H=>1_nEF=O卜一丁=°1z=3x,法向量.又BE=(2,0,0),点B到平面GEF的距离d=IBEn22Hny11法二：连接AC,BD交于点、O,设AC与E尸交于点“，连接G”，GO,如图所示.:E,尸分别为A8,Ao的中点，J.EF/BD.平面EFG,：.BD平面EFG,点B到平面EFG的距离为点O到平面EFG的距离.四边形ABC。是正方形，AC1BD1EF1AC.：GCVEF1GCAC=C,/.E产_1平面Ge77./EFU平面EFG,平面EFGV平面GCH.过O点作OM工GH于点M,则OM_1平面EFG,因此线段OM的长是点O到平面EFG的距离，也等于点8到平面EFG的距离.Y正方形ABCO的边长为4,331.CH=WAC=W><45=35,0H=-AC=y2.VGC=2,且GC_1CA,G7=4÷18=22.XVaX*X*1CfIIVRtOMH<×>RtGC/,/.77=7,OM=2.UnUii11点6到平面EFG的距离为绰1二、直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程.本章核心素养直观想象主要涉及以下内容.利用图形判断或证明空间中直线、平面的位置关系，巧建空间坐标系.题型五利用空间向量证明平行、垂直问题【例6】如图,在多面体ABCDEF中,平面A。M_1平面ABCD,F(四边形AZ)M为正方形，四边形ABCO为梯形，且ANBAD/'/抬1T=90。，AB=AD=,BC=3.忆M0BC(1)求证：AF±CDi(2)线段80上是否存在点M,使得直线CE平面AfM?若存在，求需的值；若不存在，请说明理由.解(1)证明：因为四边形AQM为正方形，所以A1AQ,又因为平面ADfT11平面ABCD,平面AoMr1平面ABCD=AD,所以AE1平面ABCn所以Af1CZ(2)因为NBAO=90。，所以A8,ADtA/两两垂直，UZ/以A为原点，向量词，而前所在的直线为X,y,z轴，k建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0),8(1,O,O),C(1,3,C0),0(0,1,O),E(0,1,1),尸(0,0,1).假设线段8。上存在点使得直线CE平面AFM.设需=0,1),因此可/=zBD(20,1),所以M的坐标为(1一九tO).CE=(-1,一2,1).设平面AFM的法向量为n=(x,y,z),前=(0,0,1),方丁=(1一九Ai0),所以n二(一九1九0),因为直线CE/n±AFnAF=Of21=o,n±A7nA7=ox,(IT)+.=°，平面"M,所以有WFJ_n=/12(1T)=On4=§,即需=,题型六空间坐标系的建立【例7】如图，直三棱柱ABCA向0中，ZBAC=90o,AB=AGD,E分别是A41、BC的中点.(1)证明：OE_1平面BCGBI；(2)已知Bc与平面BCo所成的角为30°,求二面角ABC-Bi的余弦值.解(1)证明：如图建立空间直角坐标系，设AB=AC=2,AEAAi=2r,r>0,国合则。(0,0,。，3(2,0,0)rC(0,2,0),B(2,0,2。，E(1,°卜状1'"/1J一一一,DE=(11,0),函=(0,0,2/),BC=(2t2,0),DE两=(1,1,0)(0,0,2r)=0,DEC=(1,1,0)(-2,2,0)=0,DE-1BCi即DE1BBi,DE±BCt又BBIeBC=B,，OE_1平面BCCB.(2)设平面BC。的法向量为m=(x,y,z),又丽k=(-2,0,/),同=(-2,2,0),2x+rz=0,-2x+2v=0,BDm=(-2,0,t).(x,y,Z)=0,即<5Cm=(-2,2,0)(x,y,z)=0,令X=/,可得m=Q,八2),.8C与平面BC。所成的角为30。，又函=(2,-2,2r),>1cffm1/.cos(m,CB>=sin30o=z,即:=z,ICB11m14z1-：'8+424+5=亍解得啦，m=(2,2,2),又。Ei.平面BeC1BI,W=(1,1,0)为平面BCGS的一个法向量,mDE.,.cos<m,DE=:ImHOE1222=m也=2,二面角D-BC-B1的余弦值为