2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-2-3 直线与平面的夹角 学案.docx

1.2.3直线与平面的夹角新课程标准解读核心素养1.理解直线与平面的夹角定义直观想象2.能用向量方法解决线面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用数学运算Cr读I教I材知识梳理°以本为本抓双基杀情境导入迈克尔杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈克尔杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.问题45度到底指的是哪个角呢？知识点直线与平面的夹角1.直线和平面所成的角A线身平面.1I直线与面的央前为对打线与平面的夹角为o平面的科级与它在平曲内号或“今曲府量工的射影所成的校角.称为这条斜线与平面所成的危的想一想斜线与平面的夹角为o,y,对吗?提示：错误.斜线与平面的夹角为（0,y）.2.最小角定理最小角定理最小角.定理平面的斜线和它在平面内的螳所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中观小的角:心占一*占1f>八>、在公式中，令仇=90。，则CoS8=coscos90°=0.8=90°,即当OM_1OB时，有OM_1OA,此即三垂线定理;反之，若令8=90°,则coscos2=0.Vi90o,2=90o,即当OMYOA时，有OM_108,此即三垂线定理的逆定理.由此可知三垂线定理及其逆定理可以看成是此公式的特例.3.用空间向量求直线与平面的夹角如果V是直线/的一个方向向量，n是平面Q的法向量，设直线/与平面。所成角的大小为a则O=W=（v，n）或J=v,n特别地CoSO=Sinv,n或Sin=Icos(v,n)|.口想一想直线/的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示：不是.直线和平面的夹角为y-<s,n>.回做一做1 .已知向量m,n,分别是直线/的方向向量和平面。的法向量，若COS<m,n)=一看则直线，与平面所成的角为()abt解析：A设直线/与平面所成的角为仇则SinO=IeoS<m,nI=/.：0,三.=看.选项A正确，选项B、C、D错误，故选A.2 .已知平面的一个法向量为n=(1,1,0),则X轴与平面所成角的大小为(解析：C依题意X轴的方向向量可以为m=(1,0,0),设X轴与平面所成角为仇则sinnmnm1×22,因为ew0,3,所以=：亍，故选c.3 .在正方体ABCr)-A由IG。中，CB与平面AAcIC所成角的大小为.解析：如图，连接BiG交4G于O,连接。C,因为几何体是正方体，所以0囱，平面AAiCiCf所以NBCo是CB与平面AAeC所成角，设正方体的棱长为1,则05=-,CBi答案：30°广研I题I型-典例精析>学用结合通技法题型一利用定义求直线与平面的夹角【例1】如图，正四棱锥P-ABCo底面边长为班，高为1,E为PC中点,求直线BE与平面必。所成的角.解如图，连接80,交AC于点。，连接尸O,则P。为正四棱乐锥P-ABCo的高，所以尸。=1,因为PoJ_底面ABC。,所以尸。_16O,/7：又BD1AC1POHAC=Ot所以BO_1平面PACt连接EOt则NBEO为直线BE与平面用。所成的角，在R1ZP04中，因为Po=1,OA廿二=3,所以¾=2,0E=P=f在RtZ8OE中，因为Bo=小,所以tan3E0=铝=小，即NBEo=60。.所以直线BE与平面¾C所成的角为60°.U匕I通性通法I求直线和平面所成角的步骤(1)导找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.。跟踪训练1 .在长方体A8CQ-48CD中，AB=2,AD=a,AAi=a,则直线BC与平面ABCz)所成的角是()A.450B.90°C.正切值为2D.正切值为T解析：A长方体ABeD-A11Gz)I中，直线B】B_1平面A8C。，所以NB1CB就是直线BC与平面ABCD所成的角，在RtZB8C中，BC=AD=at88=AA1=,所以tanNBiCB=罂=1,所以NB1CB=45°.故选A.2 .如图，空间四边形ABe。中，平面ABD_1平面BCO,/840=90。，KAB=AD,则AD与平面BCD所成的角是()A.30°C.60°解析：B如图，过点A作AE_1BO,垂足为E因为平面ABo_1平面BCD,AE±BD1平面ABO平面BCD=BD,所以AE_1平面BCD,所以A。与平面BCz)所成的角是NAQE,因为NBAo=90。，J.AB=AD,所以NADE=45。.所以Ao与平面BCO所成的角是45。.故选B.【例2】(链接数科书笫45页例1)如图，NBoC在平面内，04题型二利用COS6=cos8COS&求直线与平面夹角是的斜线，若/AO8=NAOC=60。，OA=OB=OC=a,8C=%,求OA与平面Q所成的角.解如图，过点A作A"_1a,则NAO”为40与平面。所成的角,cos60°=cosZO=cosZAOC=cosZAOH×cosZBO/=COSNAO”XCOSNC。.：.cosZBOH=cosZCOH,"BOH=ZCOH.又YOB=OC=a,BC=y2a,/.OB2+OC1=BC21：.NBoC=90。.：.NBoH=45。，,/cosZAOB=cosZAOHcosN80”,.*.cos600=COSNAocos45o.cosZAOH=.NAO"=45°,即AO与平面所成的角为45°.I通性通法Icos8=coscos82的应用（1）利用公式COS8=cos1cos62求直线与平面的夹角，应明确图形中仇<9,当夕=90。082=90。，即符合三垂线定理；由O<cos2<i所以COS8vcos8=8<6,即仇为所有。角中最小的角.。跟踪训练PA,PB,PC是从P点引出的三条射线，每两条射线的夹角为60。，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为（）A.B.半CYDY解析:C如图，,:ZCPA=CPB,：.PC在平面APB内的射影P”是NAPB的平分线.zr-p.vCosZCMcos60o3COS乙Cz/H/mA-CCC。八。"""。cosZHFAcos3003题型三利用空间向量求直线与平面的夹角【例3】如图，在四棱锥P-ABCZ）中，B4_1底面ABCD,四边设直线MN与平面PC。所成角为仇则SinO=m26形ABCO为正方形，M,N分别为AB,P£的中点.(1)求证：MN平面PBG(2)若抬=AO,求直线MN与平面PCO所成角的正弦值.解(1)证明：取PC中点为E,连接BE,NE.VE,N分别为PC,PO的中点，：.ENCD,EN=CD.又四边形A8C。为正方形，.CDABfCD=AB.又.M为AB的中点，：,ENBM,EN=BM,.四边形BMNE为平行四边形，：.MNBE,又BEU平面PBC,MNa平面PBC,MN平面PBC.(2)以A为坐标原点，AB,ADyAP所在直线分别为x,y,Z轴Zk建立空间直角坐标系.设4=AO=2,则。(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),(1,八A0,0),MO,1,1),MN=(-t1,1),同=(2,2,-2),PD=(0t2,-2),4设平面PeD的法向量为m=(x,ytz),市m=0,2x+2y-2z=0,PDm=0,I通性通法I用法向量求线面角的正弦值的流程图找直线的方向向量找平面的法向量计算COSS,。转化为SinG=Ie(js<s工ICZf跟踪训练如图，在四棱锥P-A5C。中，。，底面48。，四边形A8C。为正方形，且PQ=AS=I,G为BC的重心，则PG与底面ABC。所成的角。满足()A.夕=彳C.tanO=毕解析：B以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1),A(1,O,O),B(191,0),C(0,1,0),所以G住，,Oj,-1).平面ABCO的一个法向量为n=(0,0,1),则SinB9=cosPd,n>I=+(-D2=嚼，所以PG与平面ABC。所成角的余弦值为1Z34因随堂检测1 .若直线/与平面所成角为T，直线在平面内，且与直线/异面，则直线/与直线。所成角的取值范围是()A.B.22,TC.D.解析：D由最小角定理知直线/与直线。所成的最小角为，又/,。为异面直线，则所成角的最大值为三.2 .已知平面的一个法向量为n=(1,1,0),则y轴与平面a所成的角的大小为()C.y解析：B易知y轴的方向向量为m=(0,1,0),解得cos<n,m>|=(1,-I,O)(O,1,O)2H"、上d布=看，=V故选民3 .在正三棱柱ABC-A由IG中，AB=1B=22,点。是棱881的中点，则AO与平面AAiCiC所成角的大小为()atbC.D.y解析：B如图，取AC,A1G的中点分别为M,M,连接MMI,BM,这点、D作DN/BM交MM1于点、N,则易证ON_1平面AGC,连接4V,则ND4N为40与平面ACC所成的角.在RIZOVA中，sin由DN21NDAN=而=忑=力ZDAN=.4 .设平面的一个法向量为n=(1,2,一2),点A,8住,AB=(0,2,1),则AB与Q所成角的正弦值为.解析：设AB与所成角为仇根据向量的夹角公式，可得AB与平面。所成角的正弦值为sin。=cos(n,ABI=答案帮5 .在正三棱锥P-48。中，M=4,=3,则侧棱以与底面ABC所成角的余弦值为解析：如图，在正三棱锥P-ABC中，以=4,AB=木,设P在底面上的射影为0,则。为448C的中心，由已知求得AO=I,又以=4,.*.cosNfiAO=鬻=；.即侧棱R1与底面ABC所成角的余弦值为:.答案：7