2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-5-2 椭圆的几何性质 学案.docx

2.5.2椭圆的几何性质新课程标准解读核心素养1.掌握椭圆的简单几何性质直观想象2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想数学运算及读I教I材知识梳理吁以本为本抓双基购情境导入“天宫一号”的运行机迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.问题你知道椭圆有什么样的性质吗？町新知初探知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形A嶙/2%4把bjfy2i标准方程1+.=g>b>0)5+=m>>>o)范围-目一目WyWb-bWxWbR-HWyWa顶点4(一小0。42(4,0。氏(0,b),&(0,b)AI(0,a),½(0,4),B(b,0),B2(b,0)轴长长轴长=额，短轴长=%对称性对称轴X轴和y轴,对称中心（0,0）离心率g=(0<g<1)二屯占一占椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.回做一做1 .椭圆言+；=1的长轴长为（）A.2B.4C.8D.45解析:C由言+；=1,可得。=4,所以长轴长为2a=8.故选C.2.椭圆x2+4V=4的离心率为（）A1B1c4d2C3D近42解析：DVx2÷4=4=>÷y2=1,.q2=4,Z>2=1.*.c2=a2-b2=3,6=£=牛.故选D.3.已知椭圆的焦距为8,离心率为0.8,则椭圆的标准方程为.2c=8,e=0.8,解得岸=岳+/,4=5,<b=3,若椭圆的焦点在X轴上，可得椭圆的标准方程为,+卷=1,若椭圆的焦点在y轴上，、c=4,可得椭圆的标准方程为W+卷=1.答案：去+=或会+A4式>研I题I型典例精析学用结合通技法题型一椭圆的几何性质角度一由椭圆方程研究几何性质【例1】（1）椭圆W+曰=1的焦距等于2,则m的值为（）B.9A.6C.6或4D.9或1(2)(多选)关于椭圆3x2+4y2=12有以下结论，其中正确的有()A.离心率为TB.长轴长是C.焦点在)，轴上D.焦点坐标为(-1,0),(1,0)解析椭圆5+5=1的焦点在X轴时，有C=Vm5.由题意得2c=2,M-5=2,解得m=6.椭圆蓝+彳=1的焦点在y轴时，有C=小二最由题意得2c=25-m=2t解得m=4.故选C.(2)将椭圆方程化为标准方程为曰+9=1,所以该椭圆的焦点在X轴上，故C错误；焦点坐标为(一1,0),(1,0),故D正确；。=2,长轴长是4,故B错误；因为=2,Z>=3,所以c=1,离心率e=2=/,故A正确.故选A、D.答案(I)C(2)ADI通性通法I用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式：(2)确定焦点位置；(3)求出a,b,c;(4)写出椭圆的几何性质.注意长轴长、短轴长、焦距不是,b,ct而应是,b,C的两倍.跟踪训练+=1的短轴长1 .(多选)已知椭圆捻+方=1与椭圆卷+汽=1有相同的长轴，椭圆盘与椭圆若+看=1的短轴长相等，贝M)A./=25B.1r=25C.2=9D.b2=9解析：AD因为椭圆拈+气=1的长轴长为10,且椭圆*+=1的短轴长为6,所以椭圆f+七=1中，=5,b=3,即标=25,按=9.故选A、D.a-b-2.已知椭圆C：曰+=1的长轴长为4,则C的焦距为.解析：因为椭圆C5+=1的长轴长为4,所以2赤=4,解得机=4,所以¢2=4-3=1,即c=1,故。的焦距为2c=2.答案：2角度二椭圆离心率的求法【例2】(1)椭圆C点+E=1(>b>O)的一个焦点是圆M：(x3)2+y2=的圆心，且。的长轴长为10,则该椭圆的离心率等于;(2)已知,Ac分别是椭圆上的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于X的方程0+2bx+c=0无实根，则椭圆E的离心率e的取值范围是.解析(1)由圆M的方程可得圆心M(3,0),所以由题意可得c=3,由题意24=10,所c3以0=5,所以椭圆的离心率6=£=亍sIfs1(2)由题有=4b2-4c,v0,即一c2c<O,故居+e1>0,得e<T或e>,而(Xev1,所以21答案(1)|(2)(夸，1)I通性通法I求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知aC可直接利用0=5求解.若已知,b或b,C可借助于。2=按+C2求出C或4再代入公式e=?求解；(2)方程法：若4,C的值不可求，则可根据条件建立a,b,C的关系式，借助于/=尻+/,转化为关于出C的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以的最高次幕，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.跟踪训练1 .若一个椭圆长轴长与焦距之和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是()A.解析：B由题意可得4b=2o+2c,平方得4b2=g+c)2,3所以4(标一c2)=02+2°+c2,3a2-2ac-5c2=0,5+2e-3=0,解得e=g(负值舍去).2 .已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为.解析：依题意可得2c22仇即c2A所以修»,从而C2*?,即2/2/,/=Q所以e2塔.又因为0<e<1,所以椭圆离心率的取值范围是坐，1).答案:惇1)题型二利用几何性质求标准方程例3(箧接教科书第141页练习A2题)求适合下列条件的椭圆的标准方程：4(1)长轴长是10,离心率是g；(2)在%轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)设椭圆的方程为点+a=1(a>8>0)或，+条=I(a>b>0).由已知得2=10,=5.c4又Te=二=.c=4.a5/.2=2-c2=25-16=9.二椭圆方程为芯+1=1或1+/=1(2)依题意可设椭圆方程为，+£=1(心比>0).如图所示，ZXAiEb为等腰直角三角形，。尸为斜边4A2的中线(高)，且IoW=c,AA2=2b,则c=b=3ta2=b2+c2=1Sf故所求椭圆的方程为QS=1I通性通法I利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：（1）确定焦点位置；（2）设出相应楠圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）：（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有加=。2C?,e=（等.Gr跟踪训练已知椭圆一个焦点（2,0）,离心率为右则椭圆的标准方程（）A.+=1B.x2+j=1解析：D因为椭圆一个焦点（2,0）,所以椭圆的焦点在横轴上，且c=2,又因为该椭1c1/圆的离心率为2，所以有G=Ina=4,所以=层一/=164=12,因此椭圆的方程为京+题型三椭圆的实际应用问题例4（隹接教科书第140页例4）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）尸2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点4离地面最近的点）距地面439km,远地点8（离地面最远的点）距地面2384km,并且&，A,B在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.解如图，建立直角坐标系，使点A,B,B在1轴上，尸2为椭圆右焦点（记F1为左焦点），B（设椭圆的标准方程为热+£=1（心0）,则-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810,+c=O8+O尸2I=F2B=6371+2384=8755,.a=7782.5=7783.b=ya2c2=«（+c）（4c）=8755X68107721,卫星运行的轨道方程是益亲+y=1I通性通法I解决椭圆的实际问题的基本步骤(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系：(3)利用楠圆知识及其他相关知识求解.田跟踪训练嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论：焦距长约为300公里；长轴长约为3988公里；两焦点坐标约为(0,±150)：离心率约为忌.则上述结论正确的是()A.C.B.D.解析：C1004依题意40(H3476-2-=ac3476-2-十CI1838=-c,2138=4+ca=988,C=I50,2c=3OO,正确；2=3976,错误；焦点坐标为(0,±150),正确；离心率就，正确.所以正确的为.故选C.园随堂检测1 .椭圆CY+y2=1,下列结论不正确的是()SA.离心率e=2B.长轴长为4C.焦距为25D.短轴长为1解析:D因为椭圆C：+j2=1,所以=2,b=tC=小,因此离心率e=坐，故A正确；长轴长为2=4,故B正确；短轴长为2b=2,故D错误；焦距为2c=25,故C正确.故选D.2 .已知椭圆C的短轴长与焦距相等，则其离心率e等于（）解析：B设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2/2b、2c,由题意可得2b=2ct；.b=c,a=yb2+c2=y2hte=j"=乎故选B.3 .若中心在原点，焦点在X轴上的椭圆的长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程（）解析：A由已知得0=9,2c=gX2q,.c=g4=3,=标一/=72.又焦点在X轴上，v22椭圆方程为言+=1.o1/Z4.（多选）已知椭圆的标准方程为,+5=1（加>0）,并且焦距为6,则实数?的值可能是（）A.4B.34C.6D.33解析：AB.2c=6,.c=3.当椭圆的焦点在X轴上时，由椭圆的标准方程知“2=25,由标=拄+c2,得25=/+9,:./=16,又加>0,故阳=4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知屋=加，尻=25.由/二分+/,得帆2=25+9=34,又m>0,故加=取.综上可知，实数机的值为4或R.5.直线y=2x1过椭圆盘+方=Im>/»0）的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为解析：直线y=2-1与y,4轴的交点为（0,-1）,Q,0）,二直线y=2-1过椭圆点+,2I宗=1（4>b>O）的一个顶点和焦点，且椭圆的焦点在X轴上，."=1,C=/,a2=>2÷c2=1÷44即=享'125答案当