2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-1-1 第二课时 空间向量的数量积 学案.docx

第二课时空间向量的数量积新课程标准解读核心素养1.掌握空间向量的数量积及其性质直观想象2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义数学运算Sr读I教I材知识梳理°以本为本抓双基泣情境导入如果一个物体在力广的作用下产生位移S,那么力尸所作的功W=Q<$=阳|，cos6,为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念.问题(1)空间向量的数量积的定义是什么？(2)空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律样吗？/新知初探知识点空间向量的数量积1.空间向量的夹角ab.向量的项A叫示如果a,b)=-2-,那么向量a,b互相垂直,记作aI2.空间向量数量积的定义已知两个非零向量a,b,则Ia11b1COSa,b>叫作a与tb.)的数量积(也称为内积)，记作已知两个韭重向量Q,b,在空间任取一点0,作况=Q,Oii-b.则/AOA叫做向量Q与b的央角3 .数量积的几何意义(1)向量的投影如图所示，过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a1也a(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a，的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影矛的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.4 .空间向量数量积的性质(1)a±b<=>ab=0;(2)88-8p-8;(3)abab;(4)(za)b=(ab);(5)ab=ba(交换律)；(6)(a+b)c=ac+bc(分配律).口想一想1 .当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？提示：0°180°2 .空间向量a在向量b上的投影是向量吗？提示：是向量.侈做一做1 .下列命题中正确的是()A. (ab)2=a2b2B. ababC. (ab)c=a(bc)D.若a_1(bc),则ab=ac=O解析：B对于A项，左边=IaF1b12cos2(a,b),右边=IaFIb，左边右边，故A错误.对于C项，数量积不满足结合律，C错误.在D中，Va(b-c)=0,Aabac=0,.,.ab=ac,但ab与ac不一定等于零，故D错误.对于B项，Vab=abcos<a,b>,IWcos<a,b)1,abab,故B正确.2.己知向量e”e2,3是两两垂直的单位向量，且a=3e+2e2-9,b=e+2e3贝IJ(6a)Qb)=()A.15B.3C.-3D.5解析：B:向量e,e2,e3是两两垂直的单位向量，且a=3e+2e2-e3,b=e+2e3,.(6a)(Jb)=3ab=3X(3e)+2e?e3)(e+23)=9eF-6e3F=3.故选B.3.如图，空间四边形ABCO的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是48,解析：B依题意，EtEG分别是AB,AD.OC的中点，所以尸GAC,FG=AC,A8C是等边三角形，且边长为1.所以FGAB=AC=：.故选B.金研I题I型典例精析)学用结合通技法-题型一数量积的运算角度一空间向量数量积的运算【例1(链接教科书第11页例5)已知正四面体OA8C的棱长为1,如图所示.求：diOAOBi(2)CA+OB)CCA+CB).解在正四面体OA8C中，|次|=|面|=|0?|=1.(tob>=(foc>=Cobic>=60o.>>>>1(1)OA-OB=OAI1OBICoSNA08=1×1×cos60。=?(2)(oa+)(c+c)=(0+7-c+W-c)=(S7+BCA+OB-2OC)=+2OAOB2OAOC-irff2OB0C=2+2×I×1Xcos60o-2×1X1Xcos60°+122×1×1×cos600=+1-1+-1=1鼠母题探究(变条件，变设问)在本例条件下，若E,尸分别是。4OC的中点，求：京Ai(2)京A；(3)EFCB.,>J-41_»一'，A1:,A,_，A.二A.1(3) EFCB=1ACCB=习ACCBcos<AC,CB)=ECOS1200=一不角度二空间向量的投影【例2】(2023辽宁营口市庙二月考)已知a=4,空间向量e为单位向量，a,e)=2亍，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为()A.2B.-2C.D.2解析由题意，a=4,e=1,<a,e>=与，则空间向量a在向量e方向上的投影2aeIaIIe1COSTf1数量为丁：=-4X习=-2.故选B.ee×答案BI通性通法I求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积;(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式ab=ab卜COS<a,b>求解.注意在求两个向量夹角时，要注意向量的方向.Gf跟踪训练1.在棱长为1的正方体A848CQ中，设7*=a,AD=b,A4?=c,则a(b+c)的值为()A.1B.0C.-1D.2解析：B由题意可得A8_1Az),AB-1AAit所以a_1b,a±c,所以ab=0,ac=0,所以a(b+c)=ab+ac=O,故选B.2.在四面体OABC中，棱。4,OB,OC两两垂直，且OA=1,08=2,OC=3,G为ABC的重心，则OG(OA+08+OC)=.解析：由已知次ob=oa=off-"5?=o,且/=f+3?+力?)，故灰Coa-ob+-c)=(W+ob+c)2=("2+ob2+"c2)=(1+4+9)=y.14答案：y题型二空间向量的夹角【例3】己知空间四边形OABe各边及对角线长都相等，E,尸分别为A8,OC的中点，求向量碇与方产夹角的余弦值.解如图，设。4>=a,OB=b,OC=c,且IaI=IbI=IC1=1易知ZAOB=ZBOC=ZAOC=y,则ab=bc=ca=.'：OE=(0A+M)=(a+b),BF=0F-0B=OC-0B=C-b,.,.OEF>=(a+b)(jc-b=ac+bc-ab-|b2=.又留I=7百=坐，,一>一>、OEBF2.cosOE,BF-=一OEBF向量0点与0产夹角的余弦值为一半I通性通法I求空间向量的夹角ab求两非零向量的夹角。或其余弦值一般利用夹角公式COS=J求解，当夕WabOab>0,8w借，eab<0转化为解不等式(组).【注意向量海与向量的夹甭为NBAC而与H的夹角为ZBAC.。跟踪训练如图，在正方体ABCD-4BGD中,EtF,G,“分别为AA,AB,BB1tBCi的中点,则向量了F与出的夹角等于(A.45°C.90oD.120°解析：B因为E,F,G,”分别是所在棱的中点.所以由三角形中位线定理可得,了才与石君同向共线，,与阮T同向共线，了天，G)=(MT,在正方体中AAiBG为等边三角形，Cfe,gh）=（前，bc）=60。，故选B.题型三利用空间向量的数量积求距离例4已知正方形ABCD,ABEF的边长均为1,且平面ABCD1.5Fff1ABEF,点M在AC上移动，点N在B尸上移动，若ICMT8N=(0<<2).(1)求线段MN的长；(2)当。为何值时，线段MN最短?解（1）由已知得=1F=2,即MN的长度为2J+<«<2)(2)由(1)知当=乎，即M,N分别是AC,B尸的中点时，MN的长度最小，最小值为乎.I通性通法I1 .求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用同=口,通过计算求出同，即得所求距离.2 .本例中M,N分别为AC,8尸上的动点，因此CM,BN的长度是变量，故MN的长度是一个关于。的函数，MN长度的最小值的求解用到了二次函数的有关知识，体现了函数思想的运用.Z跟踪训练平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)A8)-ABGd过顶点A的三条棱的夹角分JTJTJT别是.，彳，y,所有的棱长都为2,则AG的长等于()A.32B.23C.25-2D.25+2解析：DVACT=AB+AD+47,ac=(4?+a?÷aa)=12+"3"2+aa2+2(.AA1)-AHAAIA1)AAh4×3+22×2×+2×2×+2×2×-)=20+42=25+2,故选D.园随堂检测1.在正方体ABCD-A归IGU中，下列各对向量夹角为45。的是（）A.7?与求IB.AR*与&AC.7*与川万D.7?与瓦不解析：AA、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45。，135。，90°,180°,故选A.2 .在空间四边形ABCO中，ABCD+ACDB+ADBC=()A.-1B.0C.1D.不确定则a与b的夹角解析：B如图，令谪=a,AC=b,AD=c,则海CD+ACDB-VADBC,=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a),=ac-ab+ba-bc+Gb-Ga=O.故选B.3 .已知空间向量a,b,C满足a+b+c=0,a=2,b=3,c=4,为()A.30oB.45°C.60oD.以上都不对解析：D设a与b的夹角为伍由a+b+c=O,得a+b=-c,两边平方，得a?+2ab÷b2=c2,因为a=2,b=3,c=4,所以4+2X2X3CoS6+9=16,解得COSO=I，故选D.4 .（多选）已知长方体A8CD-ASGO,则下列向量的数量积可以为。的是（）B.BDACD.BDBCA.ADBCC.BadT解析：ABC如图所示，若AA1=AO,则AQ"18C,A正确；若AB=AD,则BDi±ACtB正确；TAB1平面AADDf，AB_1AD1,C正确；8。和BC分别为矩形AN1CB的对角线和边，两者不可能垂直，D错.故选A、B、C.5 .如图所示，平行六面体ABCZ）-A1BQG中，AB=Az）=1AA1=1,NOA8=60。，NOAA1=N84=45。，则AG=.解析：在平行六面体ABCD-ABCD中，T=AB+AD+aa7,所以ITF=ISrF=I7百f+ad+25*+21DA7=42÷4D2+A412+2M*10cosZ