2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-1空间向量及其运算1-1-2空间向量的数量积运算 学案.docx

1.1.2空间向量的数量积运算核心素养学习任务必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.（易1.通过学习空间向量的数量积运算，培养数混点）学运算素养.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运2.借助投影向量概念的学习，培养直观想象算律及计算方法.（重点）素养.3.了解投影向量的概念以及投影向量的意3.借助利用空间向量的数量积证明垂直关义.（难点）系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数4.能用向量的数量积解决立体几何问题.（难学运算素养.点）情境与问题:回忆平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角如何定义，并尝试总结两者的不同之处.知识点1空间向量的夹角夹角的定义已知两个非零向量围b,在空间任取一点0,作精=aOB=b,则N力如叫做向量6,b的夹角，记作”，b；.（2）夹角的范围空间任意两个向量的夹角。的取值范围是O,.特别地，当，=殳时，两向量同向共线；当时，两向量反向共线，所以若则（a,b）=0或丸；当a,=了时，两向量垂直,记作山.思考，1（1）对空间任意两个非零向量a,b,储，历，"，给，-a,-b）有怎样的关系？(2)对空间任意两个非零向量a,b,<a,粉，(-a,b)(a,-b)有怎样的关系？提示(a,b)=(b,a)=a,b).(2) a,b)=(a,b)=J1-(a,6.体验1.如图所示，在正方体版45G中,(1) 而=；(2) (M6U1)=；(3)(赢血=；(4)花，扇】=.Jt3丸1、一一一Jt了(2)万(4)(1)(M4G=(AS,AC)=；(2)(AB,O4)=<=-<A0=牛;(3) AB,AM=AB,AD)=；(4)茄，扇】=而赢=五.1情境与问题:回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由.知识点2空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量ab,则IaIb1CoS3,检叫做6,b的数量积，记作a6.即ab=a61cosa,6；.规定：零向量与任意向量的数量积为。.(2)空间向量的数量积的性质6e=ea=acos(,e)(其中e为单位向量)；a_1bab=0；当a½jb同向时，ab=Iab,当a与6反向时，ab=ab：®aa=s=Ia2或a=aa=a.b若a,b为非零向量，则COSa,b1)=r-;aD(6)a1a历(当且仅当a,。共线时等号成立).(3)空间向量的数量积的运算律(4a)b=4(a6),R:ab=ba(交换律)；(a+b)c=ac+bc(分配律).思考)2(1)对于向量&b,c,由Ab=ac,能得到b=c吗？(2)对于向量a,b,c,(ab)c=a(6c)成立吗？为什么？提示不能.例如，在正方体46aM心G中，崩砺=崩就=0,但茄，就不相等.(2)不成立.例如，任取三个不共面向量a,b,c,(ab)。是一个数与向量。作数乘，a(。)是一个数与向量a作数乘,而a,。不在同一个方向上,所以(a。)。与a(6。)不可能相等.kk提醒对于向量ab,若ab=k,则不能写成a=%或b=*,向量没有除法.体验2.正方体4%D45G的棱长等于2,则正法=.4=j=22,(AC,耘)=60。,.ACM='ACMcos60o=22×22×=4.知识点3向量6的投影(1)向量6向向量从直线力的投影如图，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面。内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量6共线的向量c,C=acosa,b佚，向量C称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量&向直线/投影(如图).(2)向量a向平面£的投影如图,向量a向平面f投影,就是分别由向量a的起点4和终点作平面f的垂线，垂足分别为4,8',得到向量4,向量称为向量a在平面£上的投影向量.这时，向量a,A,B,的夹角就是向量8所在直线与平面£所成的角.体验/3.思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)向量&在向量b上的投影向量与向量6的方向相同.()(2)向量a在直线/上的投影向量C与向量ac垂直.()(3)向量a在平面用上的投影向量为c,则向量a所在直线与平面后所成的角为c.()提示(I)X当a，b*时，反向.(2) 根据向量向直线的投影定义可知，。与6c垂直.(3) 根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确.关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成I1类型I空间向量的数量积的计算【例1】(对接教材P?例题)如图所示，在棱长为1的正四面体4仇中，E,尸分别是AB,49的中点，求：旗BAi而'砺；谦云；mCD.¼,1,I->>解(I)EFBA=qBDBA=BDIBAcos(BDfBA)=JCoS60°=7.24谦'BD=BDBD=2=.>>"DC=-BDDC乙1 -A>>=-)Z7cosaBD,DC)=Jcos120°=7.2 4亚'cd=7b(ad-aC)=崩'AD-'ABAC=I法11防ICoS<At砺-耘I而ICoS拓，AC)=cos60o-cos600=0.厂思领悟求空间向量的数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入公式ab=abcos&b)求解.IJ跟进训练1.(2023云南昆明高二月考)已知单位向量a,8满足b=(a+b,则(a+gq6=()31A.5B.1C.5D.0DVa,b是单位向量，,/=8=1.：a=a-b».a÷2aA÷A2=1,故ab=-,1+妁b=aA÷Z>2=-1+=0.故选D.2.己知空间四面体ZMB。的每条棱长都等于1,点£,6分别是AB,49的中点，则应CD等于()1 133A.-B.-C.D.4444B如图：Y点£,产分别是力8,49的中点，J第=5初,.空间四面体3力8。的每条棱长都等于1,.每个面都是等边三角形，'而CD=EF-1)C=BD方C=-1bDC=-1)BDCcosy=-×1×1×=-；,故选B.I1类型2利用数量积证明空间中的垂直关系【例2】如图所示，已知三棱柱4跖43G,平面4/1CG_1平面力ZABC=90o,NBAC=30°,AiA=AiC=ACfE,户分别是4G45的中点.证明：EFVBC,证明连接4£(图略)，平面447G_1平面力应；A1A=AiC,£是月。的中点，则有4£1平面仍C,亦即有瀛访=0,谦武(荷i+启访=一诵应'+瀛访=诵BC.又,：AB&AB,/是/!出的中点，：.Xf=AB=-.VZABC=9O0,.BAC=0,-:EFBC=一SBABC=Q,：.EF1BCt即瓯180.厂侬现规律用数量积证明线线垂直的步骤是什么？提示：(1)把儿何问题转化为向量问题；(2)用已知模和夹角的向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题.跟进训练3.已知空间四边形力比中，/AOB=4BOC=4AoC,且OA=OB=OC,M,"分别是力,%的中点，G是楸'的中点，求证：OG1BC.证明连接没/AOB=/BoC=/AOC=。,又设以=6,OB=b,OC=c,则IH=IbI=Ic1-A1-A-又OG=KoM+0211fIf=-OA+-OB+OC乙乙乙1 、f=-(a÷6+C),BC=C-b.-A-AJOGBC=-(a+c)(c-b)4=(acab-bc一8+d6C)4=(acos0acos0a'+a)=0.OGVBC,即用_18C.I1类型3利用数量积求夹角【例3】已知能，平面力用且四是NQ90°的等腰直角三角形，四边形力能4和国GC都是正方形，若AB=a,求异面直线物I与47所成的角.解如图所示，因为丽=诙+法，AC=B+BC,所以威AC=（函+茄）（崩+南=BAAB+BA访+丽防+谦BC.因为AB工BC,BR1AB,BB1BC,所以亚瓦三0,法诵=0,耘而=0且加亚=一次所以诙五二一一.又阳IHC=I刚ACcos（BAtAO,»a1所以CoSB,AC）=-；=1=-J.2a2a2又因为（菰M0,所以丽，M=120°,又因为异面直线所成的角是锐角或直角，所以异面直线力】与力C所成的角为60°.1JS思领悟利用向量求异面直线夹角的步骤跟进训练4.已知空间四边形物比各边及对角线长都相等，E,尸分别为力况位'的中点，则异面直线OE与跖所成角的余弦值为.-如图，设凉=a,OB=b,OC=c,且a1=b=c=1,易知NAOB=/BOC=/AOCO1=->则ab=bc=ca=.J/H1*因为在'=(4+M=(a+b),凝=0F-OB=OC-而=TC氏所以您'9'=(a+b)&-©=&-c+c2a*b-3=T*又因为I谦=I而=幸,所以COSSe,BP)OEBF0EBF23,9所以异面直线位与"'所成角的余弦值为三.I1类型4利用数量积求两点间的距离【例4】如图所示，在平行四边形4"力中，AB=AC=,40=90°,沿着它的对角线”将折起，使44与必成60°角，求此时反间的距离.B,间的距离可用I砺I表示，结合题中已知的条件，如何转化向量励解:'/I390°,而折0,同理可得而赤=0."8与切成60°角，（嬴CD）=60°或向C0）=120°.又砺=赤+正+而，：.BD2='BA2+J2÷2+224+24H-267Z=3+2×1×1×cos（BA,CE.，当万，cb）=60°时，I防=4,此时以间的距离为2；当（而，cb）=120°时，I砺=2,此时次。间的距离为明.厂思领悟求两点间距离的方法U）取以两点为起点和终点的向量；（2）用已知夹角和模的向量表示该向量；（3）利用才=|司2,计算出I6|,I（S即为所求距离.跟进训练5.如图所示，在平面角为120°的二