2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-4空间向量的应用1-4-1用空间向量研究直线平面的位置关系第3课时空间中直线平面的垂直 学案.docx

第3课时空间中直线、平面的垂直学习任务核心素养1 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2 .熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.(重点、难点)借助用空间向量证明线面和面面垂直的学习，提升数学运算和逻辑推理素养.必备知识'情境导学探新知情境趣味导学预习素养您为情境与问题:因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行和垂直问题.上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题.知识点空间中直线、平面垂直的向量表达式位置关系向量表达式线线垂直设直线九A的方向向量分别为1,“2，则台JJ,=0线面垂直设直线/的方向向量为，平面a的法向量为Z2，则7±P/n>八R,使得"=Iz?面面垂直设平面O,的法向量分别为1,.,则a±=0体验)思考辨析(正/。的打“J”，错误的打“X”)(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.()(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.(4)若两平面a,万的法向量分别为小=(1,O,1),42=(0,2,0),则平面a,5互相垂直.()提示(DX两条直线可能异面垂直.(2) 根据线面垂直的定义可知.(3) X也可能平行.(4) 由Az2=0知一"，从而“_1£.关健能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成类型1直线和直线垂直【例1】(对接教材P32例4)如图，ANBC和aao所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2,NABC=/DBC=2Q°,E,产分别为力C,。的中点.求证：EF1BC.证明法一：(基底法)设胡=a,BC=b,BD=c,则S,b,c为空间的一个基底.：AE=EC,DF=FC,r1:EFAD,且即=评,而=1(c-a).端C=b,AB=BC=BD=2,/ABC=/DBC=於,>>11：.EF*BC=-(ca)b=(cbab)=0,EF1BCf：.EF1BC.法二：(坐标法)由题意，以点6为坐标原点，在平面0%内过点8作垂直于胸的直线为X轴，a1所在直线为y轴，在平面力比'内过点5作垂直SC的直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得8(0,O,O),4(0,-1,3),Z?(3,-1,0),C(0,2,0),所以0,3,叫樗,a°)所以谦=惇，0,一平)，瓦?=(0,2,0),因此沸瓦=0,从而无立所以ER1BCd思领悟s用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤(1)基底法：选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为己知)为空间的一个基底；把两直线的方向向量用基底表示；利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直.(2)坐标法：根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；计算两直线方向向量的数量积为0;由方向向量垂直得到两直线垂直.跟进训练1.己知正三棱柱力加的各棱长都为1是底面上回边的中点，N是侧棱CG上的点，且0-%Nh求证：ABdMN.证明设48的中点为。，作gA41.以。为坐标原点，所在直线为X轴，冗所在直线为y轴，劭所在直线为Z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得/(一/0,0)，.0,o),(o,乎,o),G乎'I)眼"1)科为纪的中点,乎°).-,乎,J耘=(1,0,1), 11jw.=-4-0+-=0. 新J_耘， .阳_1MM口类型2直线和平面垂直【例2】如图，在四棱锥小力用力中，处_1底面力现刀，垂足为力，ABVAD,垂足为4ACICD,垂足为GNABC=6。°，PA=AB=BC,E是。的中点.求证：AE1CIh(2)求证：如_1平面力比：尝试与发现证明线面垂直，可以证明直线的方向向量与平面的法向量平行，若不求平面的法向量,可用什么方法证明线面垂直？证明(1)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系,P设PA=AB=BC=1,则4(0,0,0),双1,0,0),P(0,0,1).因为/力比'=60°,AB=BCt所以为正三角形.所以4'里/1亚a4,4,2/设(0,%0),由4CJ_或得3=0,贝IJ尸羊，贝IJ彳0,乎,0),所以工(一发W，0),又成=(；,平，；)'所以力万CP=TX)+坐X幸=0,/4。4所以瀛J_五?，即力反16Z?.法一：由(1)知力8=(1,0,0),力£=(",乎，g设平面力座的一个法向量为A=(x,y,z),则，ABA=O,AE=0,即，x=0,%+坐y+*=0,令尸=2,则=(0,2,3).又否)=(,乎，-A显然而=乎/2,所以为A,所以而J_平面力眼即如_1平面力质法二：由知力E=乎,),於G乎，)-*-*3231z、又AE/=÷×q+×(-1)=°，zxJ4所以反江立即PDA.AE.由知耘=(1,0,0),所以而诵=O,所以PIX1AB.又力8月£=4所以外_1平面力跖.广JS思领悟证明直线与平面垂直的方法(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明.(2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的.跟进训练2.如图所示，在正方体4¾办力心G中，E,产分别是做，笈的中点.求证：叫平面BxAC.证明法一：设力4=6,AD=c,AA=则EF=EA+BF=1>1>>-BBBM=5GU+励1 -1=-(AA-AD-A)=g(a+b+c).,耘=孤忌=a+b,-A-A，斯施=$(a+b+c)(a÷A)=(A'-a2÷cacb)=(A-'a2÷0+0)=0.：,而工嬴BJEF1ABx.同理，EF1BxC.又ABcBt=R,ABit笈8平面区/C,:.EF1平面BM.法二：设正方体的棱长为2,以为原点，DA,DC,所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则4(2,0,0),C(0,2,0),台(2,2,2),£(2,2,1),H1,1,2).，旗=(一1,-1,1),法=(0,2,2),而=(-2,2,0).：.EF-A=(-1t-1,1)(0,2,2)=(-1)×0+(-1)×2÷1×2=0,EFAC=(-1f-1,1)(-2,210)=2-2÷0=0,虱法，EF-1ACf:EF1AB,EFVAC,又阳M0=力，孙4CU平面8/G哥工平面B1AC.法三：由法二得法二(0,2,2),就=(-2,2,0),谦=(-1,-1,1).设平面尻4C的法向量A=(x,y,z),贝J8=0,AC=0,(2y+2z=0,即2x+2y=0.取x=1,则y=1,z=-,z?=(1,1,1),：.EF=n.：.EF/n,哥工平面风4C.类型3平面和平面垂直【例3】如图所示，在直三棱柱力加48C中，AB1BCfAB=BC=2,BB=1,E为BR的中点，证明：平面4£G_1平面力4GC.证明由题意得力8,BC,8加两两垂直.以6为原点，BhB3即分别为y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则力(2,O,O),4(2,0,1),C(0,2,0),G(O,2,1),O,o,3则就=(0,0,1),AC=z(-2f2,O),ACi=(-2,2,1),强(一2,0,习.法一：(利用平面的法向量)设平面加的一个法向量为S=(小，nz1).JJi,44=0,则.AC=Ot令汨=1,得M=1z1=(1,1,0).设平面力EG的一个法向量为生=(X2,%z2).2照+2度+z2=0,22÷=0,乙AACi=O,AE=O令勿=4,得泾=1,y=-1.=(1,1,4).V1=1×1÷1×(-1)÷0×4=0.平面/阅_1平面力4GC.法二：(利用线面垂直)取力G的中点。，连接旗(图略).则(1,1,=(1,1,0),砺Z=0,ED-AC=O,：.ED1AQtED工AC,又/1GrMC=4,ACx.ICu平面44GC,£_1平面GC,又U平面加G,，平面力_1平面/M4C.1辰思领悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟进训练3.在四棱锥S48力中，底面4筋是正方形，4S_1底面4%为，且AS=AB,£是SC的中点，求证：平面8区1平面力应证明设AS=AB=T,建立如图所示的空间直角坐标系，则H1,O,O),2(0,1,0),4(o,o,o),rd,o),s(o,o,D,5,法一：连接47,交加于点0,连接在；则点。的坐标为&去0)易知行=(0,0,1)，施=(,0,；),OE=AS,OE/AS.又力S_1底面4筋，龙_1平面力Mz又OEU平面BDE,：,平面BDE1平面ABCD.法二：设平面应应的法向量为n=(必y,z).-/11n易知(1,1,0),BE=5,2,小IBD,VBEyBD=-y=0,叫-1Iz?iBE=2+7+2=0.取x=1,则y=1,z=0,可得平面笈见的一个法向量为S=(1,1,0).3S，平面力犯9,平面力四的一个法向量为n：=AS=(0,0,1).Vf11A-0,平面B施上平面ABCD.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1.已知直线人的方向向量a=(1,2,-2),直线A的方向向量6=(2,3,.若71±72,则m=()A.1B.2C.：D.3B由于所以a_1b,故ab=-2+62R=0,即卬=2.2 .若平面的法向量分别为8=(2,1,0),6=(1,2,0),则。与£的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定BVab=2×(-1)+(-1)×(-2)=0,：,a1b,：.1t故选B.3 .如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2,点/是棱力力的中点，点尸(O,y,Z)是正方体的面