2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2-5直线与圆圆与圆的位置关系2-5-1直线与圆的位置关系第2课时直线与圆的方程的应用 学案.docx

1 .能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.(重点)2 .会用“数形结合”的数学思想解决问题.(难点)通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知第2课时直线与圆的方程的应用核心素养学习任务情境与问题:有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2m,水面宽12m.当水面下降1m后，水面宽多少米？如何才能正确地解决上述问题？知识点用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题.第二步：通过代数运算，解决代数问题.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.体验敷一涵洞的横截面是半径为5m的半圆，则该半圆的方程是()A. ÷y=25B. ÷=25(y0)C. (x÷5)2+=25(y0)D.随建立直角坐标系的变化而变化D没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D.关健能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成类型1圆的方程的实际应用【例1】(对接教材'例题)某圆拱桥的水面跨度为20m,拱高为4m.现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系，使圆心，在y轴上.依题意，有4(一10,0),8(10,0),P(0,4),(一5,0),£(5,0).设这座圆拱桥的拱圆的方程是V+(y物'F(r>0)，102÷2=/,02+,-42=?,解得Z?=-10.5,r=14.5,所以这座圆拱桥的拱圆的方程是+(y+10.5)2=14.52(0y4).把点的横坐标X=-5代入上式，得产3.1.由于船在水面以上高3m,3<3.1,所以该船可以从桥下通过.1辰思领悟建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题.跟进训练1.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()人.2.4米B.3.5米C.3.6米D.2.0米B以半圆直径所在直线为X轴，过圆心且与彳轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.易知半圆所在的圆的方程为f+=3.62(y0),由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x=O.8或X=0.8,代入/+/=3.6)得产3.5(负值舍去).口类型2直线与圆的方程的实际应用【例2】如图，某海面上有0,45三个小岛(面积大小忽略不计)，力岛在。岛的北偏东45°方向距。岛4嗦千米处，8岛在。岛的正东方向距。岛20千米处.以。为坐标原点，O的正东方向为X轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆。经过0,AfB三点.(D求圆。的方程；(2)若圆。区域内有未知暗礁，现有一船在。岛的南偏西30°方向距。岛40千米处，正沿着北偏东450方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？解(D由题意，得4(40,40),8(20,0),设过0,力，8三点的圆。的方程为V+7+以+小产=0,'F=O,则(4()2+402+40Z)+40E+Q0,.2O2+2OH-A=O,9=-20,解得E=-60,F=O,；圆。的方程为X÷/2060y=0.(2)该船初始位置为点D,则(一20,-203),且该船航线所在直线/的斜率为1,故该船航行方向为直线h-+20-203=0,由(D得圆。的圆心为C(IO,30),半径r=10T5,由于圆心C到直线1的距离d=1QV10ib,故该船有触礁的危险.1泼现规律试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤.提示(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素;(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；还原：将运算结果还原到实际问题中去.跟进训练2.台风中心从4地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市8在/1地正东40km处，则城市8处于危险区内的时间为小时.1如图，以力地为原点，力笈所在直线为X轴，建立平面直角坐标系，则以"40,0)为圆心，30为半径的圆内的'之间(含端点)为危险区，取蒯V的中点£,连接BE,BN,RM,则题_1MV,BN=BM,力能为等腰直角三角形，因为/必=40,所以Z½'=20km,在R1ABEN中，NE=7b'-BE=3则JW1=20,所以时间为1h.”类型3与圆有关的最值问题【例3】已知点P(M力在圆GV+/6x6y+14=0上.(1)求%勺最大值和最小值；(2)求V+7+2x+3的最大值与最小值；求x+y的最大值与最小值.尝试与发现式子3,X/+y况t=ax+by各有什么几何意义？根据几何意义，能否求各式Xa的最值？解方程X÷/6-6y÷14=0可化为(13)?+(y3)2=4.(1)(表示圆上的点尸与原点连线的斜率，如图(1),显然尸0(。为坐标原点)与圆相切时,斜率最大或最小.设切线方程为y=M(由题意知，斜率一定存在)，即k-y=Q,由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长，可得U=?,解得仁学所以我最大值为9+2149-25j最小值为一f12+2+3=(+1)2+2,它表示圆上的点到E(一,o)的距离的平方再加2,所以当点尸与点£的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值.如图(2),显然点£在圆。的外部,所以点P与悬后距离的最大值为I+2,点夕与点/距离的最小值为I四|一2.又CE=3+12+32=5,所以+y÷2÷3的最大值为(5+2尸+2=51,最小值为(52尸÷2=11.设叶尸4则表示动直线尸一叶力在J/轴上的截距，如图(3),显然当动直线y=-+。与圆J-3)2+(y3)2=4相切时，取得最大值或最小值.此时圆心。(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2,则耳之%=2,即|6一引1+1=22,解得b=6±25,所以叶y的最大值为6+21最小值为6-2班.辰1思领悟与圆上点(筋0有关的最值问题的常见类型及解法形如E=仁形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点36)和点(x,力的直线的斜率的最值；(2)形如e=ax+"形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如E=(X-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.跟进训练3.已知实数筋y满足方程(x-2)2+=3.(1)求%勺最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值；(3)求V+/的最大值和最小值.解方程(才-2-+/=3表示以点(2,0)为圆心，5为半径的圆，V(1)设；=4，即y-kx=0,当直线P=M与圆相切时，斜率A取得最大值和最小值，此时考二°J=1解得A=甲+1÷3.故3的最大值为小，最小值为一4.(2)设yx=b,即才一y+"=0,当y=x+6与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，此时j=/,即6=-2±#.故yX的最大值为一2+加，最小值为一2一十.(3)V+/表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2,故(V+/)BnX=(2+3)2=7÷43,(÷)i=(2-3)2=7-43.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1.已知直线/：xy+4=0与圆C-1)2+(y-1)2=2,则圆。上的点到直线/的距离的最小值为()A.2B.3C.1D.3A由题意知，圆C上的点到直线/的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线/的距离减去圆的半径，即“；：?一巾f2.已知圆。与直线y=x及彳一9一4=0都相切，圆心在直线y=-X上，则圆C的方程为()A. +1)2÷(y-1)2=2B. (z÷1)2+(y+1)2=2C. (a-1)2+(y-1)2=2D. -1)2+(y+1)2=2D由题意可设圆心坐标为(a,a),则Ia+aIa+4-4,解得a=1,所以圆心坐41标为(1,-1),又主=2八所以，=地，所以圆的方程为(¥1尸+(7+1)2=2,故选D.3.已知实数X,y满足方程V+-4-4y+7=0,则yA的最小值是.1,-2方程2+-4-V+7=0可化为(x-2)?+(y-2)2令y-x=b,则y=x+4力是直线y=x+b在y轴上的纵截距，当直线y=x+8与圆1BPIb=y2fb=±y2t相切时，6取得最大值和最小值，又圆心(2,2)则2京°因此y-x的最小值为一14.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小72路方程可用-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是2从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2,-3)到直线-y+2=0的距离减去圆的半径2,即2÷3+22+-22=-2.T隔国DD困I一回顾本节知识，自主完成以下问题:1 .用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？提示2 .与圆有关的最值问题有哪些类型？提示形如=曰的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.Xa形如X=ar+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.形如(-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.