2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-3空间向量及其运算的坐标表示1-3-2空间向量运算的坐标表示 学案.docx

1.3.2空间向量运算的坐标表示核心素养学习任务1 .掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直.(重点)2 .掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.(重点、难点)1 .通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算素养.2 .借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算及逻辑推理素养.必备知识*情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知情境与问题:平面向量运算的坐标表示：设&=(团，)>b(Z>i,Z>2),A(xt),(x2t，则6±b=(a±"a±),Aa=(4a,4a)(4£R),ab=ab+a2b2.你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？知识点1空间向量运算的坐标表示设a=E,改,&),b=(b,M6，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a+。=(a+,&+,曲+)减法b=(&b,改Z,a?)数乘46=(4句，-z%4既)，HWR数量积ab=ab+)+mA思考1.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？提示空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.体验1.已知空间向量m=(1,3,5),D=(2,2,4),则曲+=一，39-n=,(2励(3z?)=.(-1,-1,1)(5,-11,19)168f÷=(1,-3,5)÷(-2,2,-4)=(-1,3-=3(13,5)(2,2,4)=(3,9»15)(2,2,4)=(5,11,19)；(2曲(-3a)=(2,-6,10)(6,-6,12)=2×6+(-6)×(-6)+10×12=168.知识点2空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设3(ci,cfe»&3)»b(,b,bz,bi)»则平行E为a"b(bO)06=42劭=4及，a2=人员,a3=t>AR)垂直(a_1b)a1bia5=0台&仇+及6+&方=0（6,b均为非零向量）模a=ya6=<+益夹角公式aba心+C0Sa*b迎+温+£+发3思考>2.若a=E,4,a3),b=(b,M&),则一定有工=方=去成立吗？提示当A,坛坊均不为O时，母二牛=告成立.bbibi体验豳.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)若a=(1-2,1),a+b=(T,2,-1),则b=(-2,4,-2).()若a=(1,2,0),6=(-2,0,1),则Ia=Ib()若a=(0,0,1),6=(1,0,0),则&_16.()(4)在空间直角坐标系中，若4(1,2,3直6(4,5,6),则施=(一3,-3,-3).()(5)己知a=(M,y,z),若Y=M=Zi=I,则a为单位向量.()提示(I)Jb=a+b-a=(1,2,1)(1,2,1)=(2,4,2).Ja=12÷22+02=5,b=-22÷02+12=5,所以6=b.J由ab=0,得&_1b.(4) ×由力(1,2,3),8(4,5,6),得茄=(41,52,63)=(3,3,3).(5) ×若小=n=z=1,则aI=12÷12÷12=3,所以a不是单位向量.知识点3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设1E,bs,ci),B(a2,MC2),则(1)AB=(缶-ai,从一七,a一。)；(2)djiB=AB=/&2-a：+=-c/.思考，3.己知点力(x,y,z),则点4到原点的距离是多少？提示IOA=I0A=A"+y+z'.体验3.若点(0,1,2),6(1,0,1),则花=,A=(-1,-1)3AB=(1,-1,-1),IAB=12+-1j÷-1,=3.关健能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成I类型I空间向量的坐标运算【例1】(1)若向量a=(1,1x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(ca)2b=-2,则X=.(2)已知0为坐标原点,At-C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3).求点尸的坐标，使赤=；(法一罚.(1)2c6=(0,0,1a)»2b=(2,4,2),由(ca)2b=-2得2(1A)=-2,解得x=2.(2)解拓=(2,6,-3),而=(-4,3,1),法一赤=(6,3,-4).设点的坐标为(x,y,z),则4F=(-2,y+1,z2),*/(ABAC)=AP=,-2)，"=5,y=g,z=0,则点尸的坐标为(5,0).广JS思领悟关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.跟进训练1.已知a+b=(2,y2t2y),a-b=(0,0),则6=,b=ab=(1,2,3)(1,O,3)4Va+=(2,2,23),a-b=(O,2,O),.2a=(2,22,23),2b=(2,O,23),a=(1,2,3),b=(1O,3),a=1×1+2×0÷3×3=4.I1类型2利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题【例2已知6=(+1,1,2),b=(6,2/7/-1,2).若ab,分别求人与/的值；若Ia=邓,且与C=(2,2,4)垂直，求a.(2)(对接教材P20例题)在正方体"6ZM心G中，已知区F,G,分别是M,BC,CD和4G的中点.求证：A庆GE,ABdEH;4G_1平面EFD.解因为6瓦所以设(4+1,1,2Q=A(6,2加一1,2),4+1=6h14=A=£，所以1=A2加-1,解得'524=2A初=3,所以A=,加=3.O因为Ia=5Ra1c,4+12+12÷22=5,所以421+1-2X1-4X24=0,化简得，5+24=3,2-22=0,因此6=(0,1,2).(2)证明如图，以力为坐标原点，AB,AD,所在直线分别为X轴、y轴、Z轴,K1IMb?0M?b°)建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则力(0,0,0),M1,0,0),。(1,1,0),(0,1,0),4(0,0,1),笈(1,0,1),G(1,1,1).由中点坐标公式,得4阳=(1,0,1),期=G0,-I,EH=因为法=2法，MZz=1×+1×=0,所以法忌ABxVEH,即力台施，ABx1EH.4仁$1'1)，DF=>O1Z½'=(1,O,BI因为4G以=5-5+0=0,>>11AiGZ½'=5+O-5=0,乙乙所以祀，扇了乙1法所以4GJ_M,AxG1DEy因为DFCDE=D,所以4611平面回叨.1JS思领悟1 .判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解.2,利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.跟进训练2 .已知6=(3,2X1,1),6=(+1,0,2).若6_1_b,则P=；若a/b>则+=.3 77Tn由a_1b，得ab=3(+1)+2=0,OIU解得=:.由aA得¥,且24一1=0,解得=<，=1»所以4OO1OZ7+，口类型3利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题【例3】在棱长为1的正方体力伏笫4区中，EtZ7分别为4劭的中点，点G在梭CD上,且Ge=:切，为GG的中点，应用空间向量的方法求解下列问题：求EF与GG所成角的余弦值；求方的长.解建立如图所示的空间直角坐标系公必，则有O,C(0,1,0),G(0,1,1),(1,1,1),於&2t0J(°,仇2)=(?.i必=乎.1又跖616,=-×0+-×Acos嬴GG)=3EFGG_851I丽|懑=坐X*17,即异面直线EF与GG所成角的余弦值为尊.,O用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？提示(I)根据条件建立适当的空间直角坐标系;(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；通过向量的坐标运算求夹角和距离.跟进训练3.在直三棱柱47348G中，AC=BC=I,BCA=90°,44=2,。为44的中点.(1)求瓦的长；求COS向,诵，cosiBAifCB1>f并比较(BQf豆，(M,谦的大小.解建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,由已知,得C(0,0,0),/4(1,0,0),8(0,1,0),65(0,0,2),0(1,0,1),(O,1,2),(1,0,2).丽=(1,-1,1),ZJ1=(0,1,2),函=(1,-1,2).(1) BQ=f+-12+12=3.而函=0-1+2=1,I励=iI法=0+12+22=5,Acos威谦=I-1厂二里.3×515VMSi=O-I+4=3,IBAi=1+1+4=ICBiI=5,.COS(BAx,CB1)xy1。VO<<<1,：,(BQ,谦,就西w(,J).又y=cosX在(0,热内单调递减,(BQ,瀛>就,学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1.己知a=(1-2,1),a-b=(1,2,1),则b=()A.(2,4,2)B.(2,4,-2)C.(2,0,2)D.(2,1,3)B6=(&+6)-&=(-1,2,1)(1,2,1)=(2,4,2),故选B.2 .已知空间直角坐标系"*彩中的点力(2,-1,-3)关于双加平面的对称点为8,则的值为()A.B.4C.6D.2TC/1(2,1,3)关于XQF平面的对称点为(2,1,3),所以IAB=y222H1+I2H3-32=6.故选C.3 .已知向量6=(2,3,1),6=(2,0,3),则a(a+b)=().21B.-21C.20D.-20A向量6=(2,-3,1),6=(2,0,3),所以a÷b(4,3,4),所以a(a+6)=2X4-3X(-3)+1X4=21.故选A.4 .已知a=(1,X,3),6=(2,4,y),若ab,则x1