2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-4空间向量的应用1-4-1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的平行 学案.docx

学习任务第2课时空间中直线、平面的平行核心素养必备知识,情境导学探新知情境趣味导学预习素赤感知1 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2 .熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.(重点、难点)借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升数学运算及逻辑推理素养.情境与问题:平行是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？知识点空间中直线、平面平行的向量表达式位置关系向量表达式线线平行设人，分别是直线4,4的方向向量，则h"1妗j"几R,使得尸4Jh线面平行设是直线/的方向向量,是平面。的法向量,U*则1/a=_1z?今A=O面面平行设打，生分别是平面a,尸的法向量，则a/R,使得=久展J思考，(1)设直线/的方向向量为，向量46是平面a内的两个不共线向量，若1/a,则向量，a,6有什么关系？(2)根据上述问题，试研究证明直线与平面平行的另一种方法.提示(D三向量共面，即H=xa+yb.(2)若直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面，则直线与平面平行.体验)(1)若平面户外的一条直线/的方向向量是=(1,2,-3),平面S的法向量为=(4,-1,-2),则/与£的位置关系是.(2)若两个不同平面明后的法向量分别为片(1,2,-1),r=(-4,-8,4),则平面。/的位置是.W1/(2)(1)由=(-1)×4+2×(-1)+(-3)X(-2)=0知,1/.由片=一4知uv,所以a/.关键能力合作探究释疑难疑难问题解感学科素兼形成I1类型I直线和直线平行【例1】在长方体被TM由G4中，B=3tAI=4,AAI=2,点、W在棱BB1上,且掰=2的，点S在棱加上，且SI=2SD,点M4分别为44,%的中点.求证：制做.证明法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得«3,0,今，N(0,2,2),以3,2,0),4,则欣后分别为删MS的方向向量，所以届=(一3,2,后=(一3,2,I所以庙二底所以而忌因为腑S所以价S.法二：设48=a,AD=b,AA=cf-ff-I则拗=姐+SM+AxN=-C-a+-A,O乙RS=RC+CD-VDS=Jb-a-i-c.乙J所以加，=启，所以欣丘又施加M所以助V丑S.<J5思领悟'向量法证明直线平行的两种思路跟进训练1.如图所示，在四棱锥月月战中，底面力伙刀为矩形，切平面力及力，为炉的中点,川为庞的中点，DM=牺,DA=DP=ItCD=tI.求证：助V初.Mc证明法一：由题意知，直线为,DC,外两两垂直.如图所示，以为坐标原点,的，DC,0所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，则O(O,o,o),j(i,0,0),5(,2,o),P(O,o,),40,1,9，0,p卷,.g,0),所以4p=(1,0,1),.%V=Q(,0,所以MM=I仍故AP.法二：由题意可得.就三砺+加T砺+疝E赤4乂；(应+加=7+÷=S乙c乙乙4X*4X+"而=(茄+旃=淳所以MW/AP.* 类型2直线和平面平行【例2】(对接教材PM例3)如图，四棱锥月力"力中，E11平面4M9,阳与底面所成的角为45°,底面力以力为直角梯形，NABC=NBAD=9。°,PA=BC=AD=.问：在梭PD上是否存在一点£,使得龙平面阳小若存在，求出£点的位置，若不存在，请说明理由.尝试与发现在梭刃上是否存在点区可假设存在，从而诙=4而，则4的取值范围是什么？解分别以力氏AD,4夕为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，如图Y外与底面所成的角为45°,且PA1ABt：.PA=AB=1,则P(0,0,1)"(1,1,0),。(0,2,0),J(0,0,0),从而力g(O,2,O),CP=(1,-1,1),/=(0,2,-1).假设在棱加上存在符合题意的点£,则无=4通(OW4W1),则)=(0,24，一人)，所以为=+匠'=(-1,241,1一人).* ：Ab=(Qt2,0)是平面处8的一个法向量，* 由6F平面PAB可得握上前,即金茄=0,11-24-1=0,解得=-t即PE=WPa乙乙即存在点E为外的中点时C以平面PAB.1 JS思领悟证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.跟进训练2 .在正方体4¾N-4844中，MN分别是S,G名的中点.求证：MM平面证明法一：如图，以为原点，DA,DC,如所在直线分别为a轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则(0,0,0),(1,0,1),庾1,1,0),«0,13,G，1于是加=(1，。，1)，而=(1,1,0),呼=&0,J.设平面4切的法向量为A=(x,y,z),±M,aZH=*+z=O,贝M-即,1DB,nDB=-y=Ot取x=1,则y=1,z=-1f所以平面4切的一个法向量为A=(111).又脉=&0,T)(1,1,1)=0,所以械！.又J他平面48，所以如平面AxBD.>>1¼1I,>I.'>,>法二：/4GAJGJ=心一/C=("4一，)=亍%,所以MMzM,又J的平面4微所以JW平面ABD.->1-111-1>1>法三：WV=GV-G仁5。台一5。仁5的一541=3(如+胡)一5(48+劭)=5%一5%"即乙乙乙乙乙W乙乙.而可用诵与施性表示，故点与心防是共面向量，又助W平面4劭，故朗，平面4必类型3平面与平面平行【例3】己知正方体力成力力心G的棱长为2,E,夕分别是能，如的中点，试用向量的方法证明平面49£平面BCF.证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyzi则(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),C(0,2,2),£(2,2,1),F(0,0,1),8(2,2,2),所以西=(0,2,1),而=(2,0,0),病=(0,2,1),讪尸(2,0,0),设1=(m,ZI)是平面力比'的法向量，则以_14,1.AE,%=2x=0,即.z?i力£=2h+z1=0,Xi=O,I=-271.令z1=2,则M=-1,所以可取m=(0,1,2).同理，设止=(照，必，Zz)是平面区G/7的一个法向量.由n_1m,n>A.C1fA阳=2刑+z2=O,得_,nGA=2x2=0,=0,Z2=2yz.令Z2=2,得度=1,所以m=(0,1,2).因为I=几，即必所以平面49%平面BCF.广JS思领悟证明面面平行问题可用以下方法去证明：(1)转化为相应的线线平行或线面平行；(2)分别求出这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行.本题采用的是方法(2),解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法.跟进训练3.在直四棱柱/"943G中，底面4%力为等腰梯形，AB"CD,AB=4,BC=CD=2,AAi=2,尸是棱/切的中点.试用向量的方法证明：平面力平面R笫.证明因为48=4,BC=CD=2,尸是棱月8的中点，所以BF=BC=C汽,所以应户为正三角形.因为力犯9为等腰梯形，AB=4,BC=CD=2,所以/为=/力8660°.取"的中点机连接M则匕力8,所以K1S以为原点，。"为X轴，De为y轴，能为Z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则。(0,0,0),4(0,0,2),J(3,-1,0),F(3,1,0),6,(0,2,O),G(0,2,2),所以防=(0,0,2),DA=(小,1,0),6F=(3,-1,0),云=(0,0,2),所以茄五，DACF,所以如1，DA/CF,因为加IU平面Q平面A4以，所以CG平面44.因为的u平面A4以，涧平面AAxIXD,所以6F平面力4.又CFCCG=C,6FU平面FCG1口;U平面FCG,所以平面4平面FCCx.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .若不重合的直线一的方向向量分别为6=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则()A.h/12B.71±C.；1,12相交但不垂直D.不能确定1 22A因为F=F=二一，所以aA又直线九A不重合，所以九心平行.3662.如果直线1的方向向量是a=(-2,0,1),且直线/上有一点不在平面上，平面a的法向量是b=(2,0,4),那么()A.71aB.1/aC./CD.1与斜交BV直线1的方向向量是a=(-2,0,1),平面a的法向量是b=(2,0,4),ab=-4÷0÷4=0,直线/在平面。内或者与平面。平行，又直线/上有一点夕不在平面a上，1/a.3 .已知平面。平面B,=(b-1,1)是平面a的一个法向量，则下列向量是平面£的法向量的是()A.(1,1,1)B.(-1,1,-1)C.(-1,-1,-1)F).(1,1,-1)B因为a/y所以两个平面的法向量应共线，只有B选项符合.4 .已知罚=(1,5,2),加=(3,1,2),应=C¥,3,6),若应平面则X=.5 设平面力比'的法向量为A=(a,b,c),nA=O,fa÷5-2c=0,则即,'而=0,1+6+2c=0,+得，2a+36=0,7令a=3,则b=2,C=一11=(3,-2,j.龙、平面ABC,.,.DE=0,.3x+(-3)X(-2)+6乂卜习=0,X=5.5.已知/*且/的方向向量为(2,m,1),平面a的法向量为(1，2j,则初=8设a=(2,m,1),b=(1,2).因为7。，所以a_1_6.于是ab=2+%+2=0,则勿=-8.IIE1/BD困I"回顾本节知识，自主完成以下问题：1 .两直线平行的向量表达式是什么？提示设以分别是直线4的方向向量，则"AO"""2<=>m几R,使得“=人人2 .直线和平面平行的向量表达式是什么？提示设是直线/的方向向量，是平面a的法向量，且Ra,则/妗UA=O.3 .平面和平面平行的向量表达式是什么？提示设n,无分别是平面明£的法向量，贝IJ。f今XR,使得I=>.4 .证明线面平行有哪些方法？提示证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;证明直线的方向向量与平面