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导数与三角函数五大命题热点解析，不得不看!高中数学由于导数的引入，使得研究函数单调性和最值的方法更加丰富。三角函数也是函数，当然也可以借助导数来研究三角函数问题。对于三角函数的单调性、奇偶性、对称性、最值问题、含参问题或者相关综合性问题，借助导数进行研究能更充分地考查数学思想方法，运算求解能力，综合应变与解题调控能力，也能很好地彰显考生解题方法的灵活性，多样性与独创性，从而备受命题者的青睐。不少高考试题和高三综合试题均在三角函数和导数交汇处进行命题，以下举例说明。命题点一借助导数研究三角函数的单调性,奇偶性,对称性问题角度一：单调性题目涉及到三角函数在某个区间上单调，求参数的取值范围。可以利用导数与单调性的关系进行求解。若f(x)在(a,b)上单调递增,则P(X)NO;若f(x)在(a,b)上单调递减,则f'(x)0例1若/(x)=COSX-Sinx在-冬是减函数,则a的最大值是_解析:/(x)=-sinx-cosx=-V2sin则/(工丫0在工-4同上恒成立.即sinO在X-4司上恒成立.Tc结合W(X+R的图像可知'0的最大值是了例2.函数/(X)=cos2x+a(sinx-cosx)在区间OA上单调递增,求翔Q的取值范围.解析:f(X)=-2sin2x+6r(cosx+sin-2sin2x+(cosx÷sinx)0,整理得令g(x)=4sinXcosxcosx+sinx4sinxcosxr,=,z、1,只需“g(x)acosx÷sinx又g(X)=4血"K=2麻募=0而72.cosx+sinx2sinxcosx所以4JI.角度二：奇偶性问题可导奇函数的导函数为偶函数，可导偶函数的导函数为奇函数。例3.若/(x)=sin+6cosX-C；是偶函数，ab工0I3J则,b满足的关系式为解析:f(X)=QCOSX+一3o令f(0)=O得+b-=O,即a+-Jib=0.例4.已知函数/(x)=1+2COSXeOS(X+3w)i禹函数,其中3w则关于g(x)=cos(2x-9)的正确描述是A. g(x)在上的最小值为T.12J.IJTB. g(x)图象可由/(x)先向上平移2个单位,再向右平移个单位得到C. g(x)图象可由/(X)先向左平移W个单位得到D. g(x)图象可由/(x)先向右平移;个单位得到解析:由/(x)=1+2COSXCOS(x+39)是偶函数，得/(x)=-2(SinKCOS(x+30+coSXSin(X+3p)=-2sirQr+幼为奇函数.k冗令/(O)=O得sin3a=0,所以33="打，3=丁AwZ3I又所以。=g，此时/(x)=-s2x,(x)=cos2x-y.i½C角度三：对称性问题三角函数的重要特征之一为：当X=XO为对称轴时，函数值取到最大值或者最小值。结合图像不难发现此时函数在最高点或最低点处的切线斜率为0,则f,(Xo)=OOBMBSBOBSMMBBMBOBAMMBOBMBMBIMMBMBMBOBIMMBMBSB«MBMB例5.设当x=8时，/(x)=Sinx-2cosx取最大值,贝IJCOSe=_解析:由已知有/=0.ft(X)=CoSx+2SinX,令f(夕)=cos夕+2Sine=0.由cosd+2Sind=O,得.05sin=或<Q2cos=-15.S5sin=(舍去).a25cos=15cos2+sin26=1例6.函数/(x)=sin(x+>)-2cos(jx+),Q<<f图象关于直线x=1对称,求sin2的值.解析：/(x)=;TeOS(;TX+0)+2;TSin(;TX+w),令/(1)=0,得乃cos(+w)+2TSi1(%+w)=0.-cos-2Sin3=0,化简得tanp=一：.则sin2w=tan?=一±1+tan*5命题点二借助导数求三角函数的最值问题试题借助导数考查三角函数的单调性，进而求出最值。例7.已知/()=2SinX+sin2x,求/(x)的最小值。解析:f(x)=2cosx+2cos2x=4cosx-1I2cosX+1).1T171令/(X)0,得3cosx1,即2Att-hxK2左乃+1,keZ.令/(x)0,得-1cosx',冗、Tt即2k+X2k+或2k冗一冗X2k,keZ.33因此当x=2k-jkwZ时/(%)取到最小值.此时72-y=2sin2,-y+sin22'-y=简析:借助导数研究该三角函数的单调性,极值,进一步求出最小值.事实上可以把X限制在0,2句范围内.令f(x)=0,5笈得玉=4，x2=W,七=亍根据闭区间上连续函数的最值定理，只需计算出/(O),“，/弓)苧)然后取最小者,故/(x)的最力能为-孚.例8.已知函数/(x)=COSXSin2x,下列结论中错误的是()A.y=/(X)的图像关于点(万,0)中心对称B.y=/(x)的图像关于直线X=W对称C(x)的最大值为D.f(可既是奇函数又是周期函数.解析：/(x)=Cosxsin2x=2sinx-2sinj.令r=sinx-w.则/(r)=2r-2f.令/(。=0,得G=-曰,G=日当r1T时,/(r)<0,/(1)在止1T单调递减.jr§*§时,/(r)>O,(r)在re-3*3卜调递增当rw4时,/(r)<O,(r)在rw与1单调递减.又/(T)寸=0,/半J=挈，所以/()的最大值为43故C答案错误.例9.某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆。的一段因孤P.V（P为此图瓠的中点）和线段MN构成.已知图。的半径为40米,点P到AG的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚I内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为RCDP,要求43均在线隹M,N上,CQ均在圆诋上.设OC与MV所成的角力仇用8分别表示矩形ABCD和ACDP的面积,并确定sin8的取值范围.啕（2）若大棚/内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当夕为何值时,能使甲,乙两种蔬菜的年总产值最大.解析:由题意不难求出第一步，矩形ABCD的面积为800(4sin夕cos6+cos),CDP的面积为为1600(cos夕一sin8cos夕)，sin6e1).设甲种蔬菜单位面积年产值为4匕乙种蔬菜单位面积年产值为3k,则甲,乙两种的年总产值为：4k-800(4sincos+cos¢)+3左1600(CoSe-Sin6cos6),化简得8000左(sincos+cos夕).记/(6)=sins+cos3则f()=-2sin2-sin+1=-(2sin-1)(sin+1),令f(8)=0,令H=?.易知当8=?时/(8)有最大值，此时甲,乙两种蔬菜的年总产值最大.命题点三借助导数求三角函数的极值点问题试题结合三角函数的图象与性质，紧扣极值点的概念进行求解。要求对极值点的概念有深刻的认识。例10.若函数/(x)=；sin2x-COSX-OX在(0,乃)上有两个极值点,求a的取值范围解析:f(x)=-2sin2x+sinx-+1.r=sinx,由于XW(O7),所以，W(OJ.此时有/(x)=-I11+r+1-a.画出r=sinx,Xe(O和Iy=-2r?+r+1,Ze(O的图象如图，.当a0时,由图3可知/()0,此时不符合题意：当0<1时,由图3可知r=q£(0J),由图可知Ittw有两个极值点玉,毛，符合题意.9当1<<d时,由图3可知，=小。3£(01)，O由图可知此时有四个极值点,不符合题意.Q当口9时,由图3可知/()WO,此时不符合题意;O综上，OVa1.图例11.设函数/(X)=XSinX+coSX-千,则下列是磴/(x)极力倦点的是(4A-T解析：/(X)=HCOSX-!).令f(X)=O,得X=O或COSX=画出y=Cosx和y=的图象(如图),例12.已知函数/(x)=sin2x-2>3cos:x+1(tw>O)在区间2x-(i2)内没有极值点,则3的取值范围是解析：/(x)=2Sin+1,7=£,显然2万一工,2解得0<s<4f(X)=4G8S2x-jj.由已知有f(x)0或f(x)0.当/(x)0时,CGXaI30.-33因为XE(匹2万),所以23X-ge2-,<23得3,结合O<d?<得0<d).12242244当/(x)O时，cos2x0.因为xw(心2万),所以j1-I)冗23乃、,冗一4得上SoU,结合O<°<1得上4o122421224综上,有G的取值范困是;O,MI2451112?24命题点四借助导数求三角函数的零点问题借助导数考查三角函数的零点问题,经常与零点存在性定理一起使用，证明在某个区间内存在唯一零点。例13.已知函数/(X)=等+sinx,若/(x)在区间一,0和区间Ij内各有一个零点,则的取值范围是()A(-oo5-1)B(-oo,)C(,+oo)D(1+oo)解析:令/(x)=+asinX=O,得COSX+vsinX=0.令g(X)=CoSx+xsinx,间晚化成g(x)在区间-会0，口区间上内各有一个零点.©<01所以g(x)在!。弓存在唯一的一个零点.显然g(x)为偶函数，因此只需考查g(x)在1这个区间内的零点情况即可.当420时,g(X)>0恒成立,无零点.v时，g(x)=(-1)sin%+xsx<0,故g(x)在IOA；单调递减又g(0)>0,g结合g(x)为偶函数,可知在；也存在一个零点.因此4<0符合题意.例14.已知函数/(x)=sin(fi>x+),t>O,O<q<笈,周期为产,图象的一个对称中心为；：,0；将函数/(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移W个单位长度后；2得到函数g(x)的图象.忖)求函数/(')和g(x)的解析式.是否存在/"|看'：；,使得/(%),g(x。)，/(%)g(%)按照某种顺序成等差数列港存在请确定X0的个数;若不存在,说明理由.解析：/(x)=cos2x,g(x)=sin2x.(由呈略)当XW弓号I时;，SinX<4,0<cos2xv；,所以sinX>cos2x>sinxcos2x.问题转化为方程2cos2x=sinx÷sinXCOS2x在内是否有解.令h(x)=sinx+sinxcos2